微积分-经管类-下册-7.1 二重积分的概念与性质

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第7章一元函数积分学多元函数积分学二重积分三、二重积分的性质第1节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质

第7章解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xOy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令2.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xOy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为

,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d

也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划二重积分存在定理:若函数定理2.定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D

上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.三、二重积分的性质(k

为常数)

为D的面积,则特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为

,则有7.(二重积分的中值定理)证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上

为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此例1.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上例2.估计的值,其中D

为解:

被积函数D的面积的最大值的最小值例3.估计下列积分之值解:

的面积为由于不等式性质即:1.96

I2D例4.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数

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