2024-2025学年广东省华南师大附中高三（上）月考数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省华南师大附中高三（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是(

)A.1 B.2 C.4 D.82.直线l过抛物线C:x2=−4y的焦点，且在x轴与y轴上的截距相同，则l的方程是A.y=−x−1 B.y=−x+1 C.y=x−1 D.y=x+13.已知x>0，y>0，则(

)A.7lnx+lny=7lnx+4.函数f(x)=aln|x|+1x的图象不可能是(

)A. B.

C. D.5.已知a，b，c满足2a=3，bln2=1，3c=2A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c6.若正数x,y满足x2−2xy+2=0，则x+y的最小值是(

)A.6 B.62 C.27.已知a>1，b>1.设甲：aeb=bea，乙：A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知正实数x1，x2，x3满足x12+2x1+1=x12x1A.x3<x2<x1 B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=x3A.fx有两个极值点 B.fx有一个零点

C.点0,1是曲线y=fx的对称中心 D.直线y=2x10.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)⋅f(x−y)=f2(x)−f2(y)A.f(3)=2 B.f(x)为奇函数 C.f(2)=0 D.k=111.已知函数f(x)=ln2x，曲线C:y=f(x).过不在C上的点P(a,b)(a>0)恰能作两条C的切线，切点分别为(x1,f(A.a>e B.2a=e(b+1) C.x1<a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某中学的A、B两个班级有相同的语文、数学、英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有

种不同的排课方式.(用数字作答)13.已知函数y=f(x+2)−1为定义在R上的奇函数，则i=14051f(i−2024)=14.一段路上有100个路灯L1，L2，⋯，L100一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个k∈{1,2,3,⋯,100}，当第k名行人经过时，他将所有下标为k的倍数的路灯Lk，L2k，⋯的开关状态改变.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2csin(1)求C；(2)若tanA=tanB+tanC，a=2，求△ABC的面积．16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=5，点E是线段AD的中点，

(1)证明：PE//平面BDM;(2)求平面AMB与平面BDM的夹角．17.(本小题12分)

某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：性别速度合计快慢男生65女生55合计110200(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？

(2)现有n(n∈N+)根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．

(i)当n=3，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；

(ii)求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为22n−1⋅n!(n−1)!(2n)!．P(0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63518.(本小题12分)

费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径.在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值(光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积).一般而言，空气的折射率约为1.如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN为6，且MN与x轴交于点(−2,0).平行于x轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点(2,0)处并在此成像.(提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射)

(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．

(2)设曲线F为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F交于A，B两点，交y轴于点H，交x轴于点Q(点Q不与F的顶点重合).若HQ=k1QA=k2QB19.(本小题12分)已知函数f(x)=e(Ⅰ)当a=12时，记函数f(x)的导数为f′(x)，求(Ⅱ)当a=1，x≥1时，证明：f(x)>(Ⅲ)当a≥2时，令g(x)=ex[a+1−f(x)]，g(x)的图象在x=m，x=n(m<n)处切线的斜率相同，记g(m)+g(n)的最小值为ℎ(a)(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数)

参考答案1.B

2.A

3.D

4.D

5.A

6.A

7.A

8.A

9.ABC

10.BCD

11.BCD

12.8

13.4051

14.10

15.解：由题可得2csinB=2bsinC=2b.

(1)sinC=2b2b=22，所以C=π4或3π4;

(2)因为tanA+B=−tanC=tanA+tanB1−tanA·tanB，

可得tanA+tanB+tanC=16.解：(1)连接EC交BD于N，由E是AD的中点可得DE=1则△DEN与△BCN相似，所以EN=1又PM=12MC又MN⊂平面BDM，PE⊄平面BDM

所以PE/​/平面BDM;(2)∵PA=PD，点E是线段AD的中点，

∴PE⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，

∴PE⊥平面ABCD，

如图，建立空间直角坐标系，E(0,0,0)，A(1,0,0)，D(−1,0,0)，B(1,2,0)，C(−1,2,0)，P(0,0,2)，PC=(−1,2,−2)，PM则M(−13,设平面AMB的法向量为n1=(x1,y1则AB⋅n1同理可得平面BDM的法向量为n2=(1,−1,0)，

所以cos<所以平面AMB与平面BDM的夹角为π

17.解：(1)补全列联表如下：别速度合计快慢男生6535100女生4555100合计11090200则K2=200(65×55−35×45)2100×100×110×90=80099≈8.08>6.635，

所以有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关；

(2)(i)易知X的所有可能取值为1，2，3，

此时P(X=1)=X123P861所以E(X)=1×815+2×615+3×115=2315；

(ii)证明：不妨令绳头编号为1，2，3，4，…，2n，

可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外还有2n−2种可能，

假设绳头1与绳头3打结，

那么相当于对剩下n−1根绳子进行打结，

不妨设n(n∈N∗)根绳子打结后可成圆的种数为an，

那么经过一次打结后，剩下n−1根绳子打结后可成圆的种数为an−1，

所以an=(2n−2)an−1，n≥2，

即anan−1=2n−2，

an−1an−2=2n−4，

，…，

a18.解：(1)设C上任意一点T(x0,y0)，x0<0，光线从点N至点(2,0)的光程为δ1，

光线穿过凸透镜后从T点折射到点(2,0)的光程为δ2，

则δ1=1×32+42=5，δ2=2×(x0+2)+1×(x0−2)2+y02，

由题意得δ1=δ2，则2(x0+2)+(x0−2)2+y02=5，化简得1−2x0=(x0−2)2+y02，

所以1+4x02−4x0=x02+4−4x0+y02，所以x02−y23=1．

令y0=0，得x0=−1，

所以C19.解：(Ⅰ)当a=12时，f′(x)=(Ⅱ)当a=1，x≥1时，f(x)=ex2+xex，∴f′(x)=(ex)2+2−2x2ex，

则ex>x+1>0，∴(e∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，

∴f(x)≥f(1)=e(Ⅲ)当a≥2时，g(x)=−eg′(x)=−(ex−a)(ex−