2024-2025学年江苏省苏州市部分学校高三（上）适应性数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省苏州市部分学校高三（上）适应性数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|3≤x+lnx≤10}，则A∩Z的元素个数为(

)A.4 B.5 C.6 D.72.复数z1、z2满足z1+z2=A.22 B.1 C.23.若向量a=(1,1),b=(−2,x)，若a与a+b夹角为钝角，则A.1 B.0 C.−2 D.−14.随机变量ξ的取值集合为{xk|xk=A.E(ξ)<E(sinξ) B.D(ξ)>D(cosξ) C.E(ξ)=83π5.已知S=333，若正实数x满足SSSA.330+3−log322 B.16.如图，四棱锥A1−ABCD截取自棱长为1的正方体.其中AA1⊥平面ABCD且A1A=AB=BC=CD=DA=1.E是线段A1D上靠近A1的三等分点，F是线段BC上最靠近B的四等分点，M，N分别是棱A1CA.56633 B.133667.已知角α、β满足cos(α+β)=sinα+sinβ，则sinα的最小值为(

)A.1−3 B.−32 8.⌈x⌉表示大于或者等于x的最小整数，⌊x⌋表示小于或者等于x的最大整数.已知函数f(x)=⌈x2+3ax+a⌉,x≤0e−x,x>0且f(x)满足：对∀x1，A.−19 B.0 C.13二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=cos|x|+|sinx|和g(x)=sin|x|+|cosx|A.f(x)和g(x)均为周期函数，且2π是f(x)、g(x)的周期之一

B.f(x)和g(x)均为周期函数，且π是f(x)、g(x)的周期之一

C.f(x)的值域为[−1,2]

D.g(x)=f(x−10.如图，对于抛物线γ：y2=2px，(p>0)，F是它的焦点，γ的准线与x轴交于T，过点T作斜率为k的直线与γ依次交于B、A两点，使得恰有BT⋅BFA.k是定值，p不是定值

B.k不是定值，p也不是定值

C.A、B两点横坐标乘积为定值

D.记AB中点为M，则M和A横坐标之比为定值11.设{an}为a1=1的单调递增数列，且满足A.a2=9

B.a2025至多有22022种取值可能

C.14a1+14a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a，b∈R+，则7a13.高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞.则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为______．14.若a>0且关于x的不等式eex+e2+ae2≥四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

野餐用的三脚架三只脚长度均为r，露营结束后三脚架落在森林里，有白蚁聚集到其中一只脚啃食．

(1)求证：啃食过程中三脚架顶点的运动轨迹是一段圆弧；

(2)啃食完毕后脚长变为r2，且垂直于地面，若未损坏的两只脚所在平面与地面所成二面角为π4，求原三角架对应四面体的体积(用r表示)．16.(本小题15分)

已知椭圆γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，γ与圆x2+y2=a2−b2在第一、第二象限分别交于Q、P两点，且满足∠POQ=17.(本小题15分)

已知正整数列{an}满足a1=2，且有k=1nanak=n2对任意正整数n恒成立．

(1)求证：对任意18.(本小题17分)

“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．

(1)利用恒等式sin2θ+cos2θ=1和tan2θ+1=1cos2θ，求函数y1=x−1−x2和y2=2cosθ+3cos2θ+tan2θ−4tanθ+4的最小值．

(2)19.(本小题17分)

已知函数f(x)=x(eax−cos1x)，其中a为正实数．

(1)若a∈(2π,+∞)，讨论f(x)在(2π,a)的单调性．参考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.A

6.C

7.A

8.A

9.CD

10.ACD

11.AC

12.1297213.1

14.(0,e15.(1)证明：由题意知，原三脚架为侧棱长为r的正三棱锥，如图，

则有PA=PB=PC=r，设PO⊥平面ABC，D，E分别为AB，PC的中点，

假设白蚁聚集到脚PC进行啃食，则啃食过程中顶点P向下移动，

在△PAB中，PD的长度保持不变，故顶点P到点D的距离为定值，

故三脚架顶点P的运动轨迹是一段以D为圆心，PD为半径的圆弧；

(2)解：由题意，啃食完毕后脚长变为r2，且垂直于地面，如图所示，

则PE=r2，且PE⊥平面ABE，则PE⊥AB，

由PA=PB，D为AB中点，可得PD⊥AB，

又PD∩PE=P，所以AB⊥平面PDE，

又DE⊂平面PDE，所以DE⊥AB，

故∠PDE即为未损坏的两只脚所在平面与地面所成二面角，

则∠PDE=π4，故DE=PE=r2，所以PD=22r，

从而得AB=2PA2−P16.(1)解：由对称性知，|OP|=|OQ|，

因为∠POQ=π3，PQ=1，所以△OPQ是边长为1的等边三角形，

因为Q位于第一象限，所以Q(32,12)，

代入椭圆γ的方程有34a2+14b2=1，

代入圆x2+y2=a2−b2的方程有34+14=a2−b2，

联立解得a2=32，b2=12，

所以椭圆γ的标准方程为x232+y212=1．

(2)证明：设A(m,n)，mn≠0，则直线OA的斜率为nm，且m232+n212=1，即m17.证明：(1)由题，k=1nanak=an(1a1+1a2+⋯+1an)=n2，

即1a1+1a2+⋯+1an=n2an，

则1a1+1a2+⋯+1an+1an+1=(n+1)2an+1=n2an+1an+1，

即有[(n+1)2−1]an=n2an+1，

整理得：an+1an=n+2n，

则有anan−1=n+1n−1，an−1an−2=nn−2,⋯，a2a118.解：(1)设x=cosθ，θ∈[0,π]，则y1=cosθ−sinθ=2cos(θ+π4)，

因为θ∈[0,π]，所以θ+π4∈[π4,5π4]，所以cos(θ+π4)∈[−1,22]，所以y1≥−1，

即y1=x−1−x2的最小值为−1；

当cosθ>0时，y2=2cosθ+3cos2θ+tan2θ−4tanθ+4

=4cos2θ+3cos2θ+tan2θ−4tanθ+4

=4tan2θ+4+4tan2θ−4tanθ+7

=(2tanθ−0)2+(0−2)2+(2tanθ−1)2+(0+6)2，

表示点(2tanθ,0)到点(0,2)和(1,−6)的距离之和，

所以y2≥1+(2+6)2=22+3；

当cosθ<0时，y2=2cosθ+3cos2θ+tan2θ−4tanθ+4

=−19.解：(1)因为函数f(x)=x(eax−cos1x)=xeax−xcos1x，