猜想01勾股定理（易错必刷27题9种题型）

猜想01：勾股定理【考点预测】题型一：勾股定理理解三角形和勾股数题型二：勾股定理与网格问题和折叠问题题型三：直角三角形三边为边长的图形面积题型四：勾股定理的数量关系题型五：勾股定理的应用问题题型六：勾股定理的逆应用题型七：勾股定理的证明和弦图问题题型八：勾股定理的综合问题【题型通关】题型一：勾股定理理解三角形和勾股数1．（2023上·广东清远·八年级校考期末）如图，在三角形中，已知，，，则的大小有可能是（）A．7 B．4 C．6 D．5【答案】D【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：在中，，则，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的内容，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．2．（2023下·河南驻马店·八年级统考期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．6，7，8 D．1，，【答案】B【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；B、∵，∴9、40、41是勾股数；C、，∴6，7，8不是勾股数；D、，均不是整数，∴1，，不是勾股数；故选：B．【点睛】此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．3．（2023下·广东佛山·八年级校考期末）如图，在中，，平分，于D，如果，那么等于（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，则计算即可．【详解】解：∵，，,∴,∵平分，，，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查的是角平分的性质和勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．题型二：勾股定理与网格问题和折叠问题4．（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设边上的高为，由题意知，，则，即，计算求解即可．【详解】解：设边上的高为，由题意知，，∴，即，解得，∴边上的高为，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理与网格．解题的关键在于熟练掌握割补法求面积以及等面积法．5．（2023·山西吕梁·统考三模）如图，在矩形纸片中，，，点是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（）

A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】设，先根据矩形的性质和折叠的性质分别表示出的长度，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形为矩形，，∴，，∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处，∴，，设，∵，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出的长，利用翻折得到，即可得出结果．【详解】解：∵，，，∴，由翻折得，∴，故选：C．题型三：直角三角形三边为边长的图形面积7．（2023下·贵州黔南·八年级统考期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为和．若，则的值是（

）

A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】连接，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，连接，

解：由题意可知：，在直角三角形和中，，即，∵∴故选B．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．8．（2023下·安徽马鞍山·八年级校考期末）中，，分别以的三边作为边长向形外作正方形，并把各正方形的面积分别记作，，，如图，若，，则的值为（

）

A．13 B．17 C．20 D．35【答案】B【分析】由，，再根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，熟练的利用勾股定理模型解决问题是解题的关键．9．（2023下·湖南娄底·八年级统考期末）如图：，，则的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】现根据正方形的性质表示出的表达式，再根据勾股定理即可求解．【详解】三个四边形都是正方形，，正方形中间的三角形为直角三角形，，即，，，，故选：C．题型四：勾股定理的数量关系10．（2021上·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．11．（2023下·山东德州·八年级统考期末）已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（

）个①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解．【详解】解：，，是中，，的对边，若，则；若，则；若，则；故①②③正确；只有当时才有，故④错误，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．（2023上·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，连接，与交于点，连接，，，，．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据旋转的性质，证明，得到，，可判定①，结合三角形内角和可判断②，过点A作，，垂足分别为M，N，根据全等三角形面积相等，底边相等可得，利用角平分线的判定可判断③，根据勾股定理可得，可判断④．【详解】解：由旋转可知：，，，∴，即，∴，∴，，故①正确；∵，∴，∴，故②正确，过点A作，，垂足分别为M，N，∵，∴，即，∵，∴，∴平分，故③正确；∵，∴，，，，∴，，∴，故④正确，∴正确的有4个，故选A．题型五：勾股定理的应用问题13．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，利用勾股定理求解即可．【详解】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，

由题意得：，，由勾股定理得：，故选：C．14．（2023下·河北邢台·八年级校考期末）如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理进行计算即可得．【详解】解：在中，，，根据勾股定理得，，在中，，，根据勾股定理得，，∴，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．15．（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）

A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，∵，，∴根据勾股定理可得：，∴，故选：A．

题型六：勾股定理的逆应用16．（2023下·吉林白城·八年级校联考期末）由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、∵，∴a、b、c无法组成的三角形，更无法构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵，∴a、b、c组成的三角形，不是直角三角形，故B不符合题意；C、∵，∴a、b、c组成的三角形，不是直角三角形，故C不符合题意；D、∵，∴a、b、c组成的三角形，是直角三角形，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知的三边满足，则是直角三角形．17．（2023下·山东临沂·八年级统考期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点B相距千米，则新建后比原来少走的路程为（

）千米

A． B．1 C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，再利用勾股定理得出的长，进而得出答案．【详解】解：千米，千米，千米，，，，是直角三角形，，∴，（千米），故新建后比原来少走的路程为（千米）．故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键．18．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若，，，则的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，然后由勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接，∵四边形是平行四边形，，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴，故选：B．

题型七：勾股定理的证明和弦图问题19．（2023下·湖南永州·八年级统考期末）勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理．下面图例中，不能证明勾股定理的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据勾股定理的证明方法可知一般通过面积法证明，据此分析即可求解．【详解】解：B，C，D选项通过面积法可以证明勾股定理，A选项不能证明勾股定理，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20．（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（

）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．【详解】解：①，，∴，整理得，故①满足题意；④或，∴，∴，故④满足题意；②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意；③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意；故选：D【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．21．（2023下·山东临沂·八年级统考期末）如图是用四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的大正方形图案．若较短直角边y为3，较长直角边x为5，则图中大正方形与小正方形面积之比为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是3和5，∴小正方形的边长为，根据勾股定理得：大正方形的边长，∴．故选：C．题型八：勾股定理的综合问题22．（2023下·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）如图，一块草坪的形状为四边形，其中∠，．求这块草坪的面积．

【答案】该草坪的面积为【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理在实际生活中的运用，直角三角形面积计算，连接，则为直角三角形，为斜边，求出，根据判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积．【详解】解：连接，

，在直角中，由勾股定理得，，，又，在中，，，即是直角三角形，，答：该草坪的面积为．23．（2023下·山东聊城·八年级校联考期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米．

(1)求滑道的长度；(2)若把滑梯改成滑梯，使，求出的长．（精确到0.1米，参考数据：）【答案】(1)米(2)5.2米【分析】（1）由题意设滑道的长度为x米，则米，米，然后在中，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）先根据勾股定理求出的长，然后结合（1）的结果利用线段的和差求解即可．【详解】（1）由题意可得：是直角三角形，，∵，∴，设滑道的长度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得：，解得：，答：滑道的长度为米；（2）由，可设米，则米，∴（米），∴，解得：，∴（米），由（1）可知，（米），∴（米）．答：的长约为5.2米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、利用勾股定理列出方程是解题的关键．24．（2023下·湖南怀化·八年级统考期末）如图，是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于E．

(1)求点E的坐标；(2)求证是直角三角形．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）如图所示，过点作于点，利用等边三角形的性质得出，再利用勾股定理得出的长，即可得出点坐标，将点代入直线即可求出函数解析式，进而求出点E的坐标；（2）根据（1）所求得出的长、的长，再利用勾股定理逆定理得出答案．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，

是边长为2的等边三角形，，，，，将点代入直线得：，解得：，∴直线的解析式为，在中，当时，，∴；（2）证明：由（1）得，，，，∵，，，，∴是直角三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理以及勾股定理逆定理和一次函数图象上点的坐标性质，解题的关键是得出点坐标．25．（2023上·江西吉安·八年级统考期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．

(1)试判断与的大小关系，并说明理由；(2)试说明三者之间的关系．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析【分析】（1）证明即可；（2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可．【详解】（1）．理由如下：∵与都是等腰直角三角形，∴，∴．∴，∴．（2）．理由如下：由（1）可得，∴，，∴，∴，∴．【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出．26．（2023下·贵州黔南·八年级统考期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

(1)海港C会受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析(2)台风影响该海港持续的时间有【分析】（1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解；（2）当时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解