第4章　第6讲　第1课时　正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理必备知识自主学习1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝eq\o(□,\s\up3(1))b2＋c2－2bccosA；b2＝eq\o(□,\s\up3(2))a2＋c2－2accosB；c2＝eq\o(□,\s\up3(3))a2＋b2－2abcosCeq\f(a,sinA)＝eq\o(□,\s\up3(4))eq\f(b,sinB)＝eq\o(□,\s\up3(5))eq\f(c,sinC)＝2R常见变形cosA＝eq\o(□,\s\up3(6))eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\o(□,\s\up3(7))eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\o(□,\s\up3(8))eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝eq\o(□,\s\up3(9))2RsinB，c＝eq\o(□,\s\up3(10))2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\o(□,\s\up3(11))eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝eq\o(□,\s\up3(12))sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数eq\o(□,\s\up3(13))一解eq\o(□,\s\up3(14))两解eq\o(□,\s\up3(15))一解eq\o(□,\s\up3(16))一解eq\o(□,\s\up3(17))无解3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R)(R为外接圆的半径).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆的半径).常用结论►(1)三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π，变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).(2)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sinC．②cos(A＋B)＝－cosC．③sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).④coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B．()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()2．(教材改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)3．(教材改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝．4．(教材改编)在△ABC中，已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，则C＝．关键能力互动探究命题点1利用正弦定理、余弦定理解三角形eq\x(例1)(1)(2024·山西太原质检)在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝eq\r(2)，则B等于()A．30° B．60°C．150° D．30°或150°(2)(2023·北京卷T7)在△ABC中，(a＋c)·(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，则C＝()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)命题点睛►1．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).2．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．eq\x(针对训练)(2023·天津卷T16)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝eq\r(39)，b＝2，A＝120°.(1)求sinB的值；(2)求c的值；(3)求sin(B－C)的值．命题点2判断三角形的形状eq\x(例2)(1)在△ABC中，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形(2)在△ABC中，eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为等边三角形．命题点睛►判断三角形形状的两种思路(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．eq\x(针对训练)1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形2．(2024·河南商丘质检)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为直角三角形．命题点3三角形的面积问题eq\x(例3)(2023·全国乙卷理T18)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．命题点睛►三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．eq\x(针对训练)(2023·新课标Ⅱ卷T17)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为eq\r(3)，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝eq\f(π,3)，求tanB；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.拓展培优10三角形中的射影定理设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA．以“a＝bcosC＋ccosB”为例，b，c在a上的射影分别为bcosC，ccosB，故名射影定理．其证明如下：[证明]如图，在△ABC中，AD⊥BC，则bcosC＝CD，ccosB＝BD，故bcosC＋ccosB＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcosC＋ccosB，同理可证b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA．eq\x(例)(1)(2023·全国乙卷文T4)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝eq\f(π,5)，则B＝()A．eq\f(π,10) B．eq\f(π,5)C．eq\f(3π,10) D．eq\f(2π,5)(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若ccosB＋bcosC＝asinA，S＝eq\f(\r(3),12)(b2＋a2－c2)，则B＝()A．90° B．60°C．45° D．30°eq\x(体验练)1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝3，且sin2eq\f(A＋B,2)＝eq\f(3,4)，b＝3，则a＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(3,2)C．3 D．3eq\r(3)2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acosB＋2cosA，2b＝c，若cosC＝－eq\f(1,4)，则△ABC的面积为．课时作业[基础巩固练]1．(2023·辽宁丹东二模)△ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，A＝60°，则cosB＝()A．±eq\f(\r(2),2) B．±eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)2．(2023·四川成都二模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB＝eq\f(20,3)，bsinA＝4，则a的值为()A．6 B．5C．4 D．33．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinA＋bsinB－csinC＝eq\f(\r(6),2)asinB，则cosC＝()A．eq\f(\r(6),8) B．eq\f(\r(6),6)C．eq\f(\r(6),4) D．eq\f(\r(6),3)4．(2023·山东济宁二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，A＝eq\f(π,4)，则cosC＝()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(3\r(10),10)C．eq\f(3\r(5),10) D．eq\f(\r(5),5)5．已知△ABC的面积为S＝eq\f(1,4)(b2＋c2)(其中b，c为△ABC内角B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰三角形但不是直角三角形D．等腰直角三角形6．(2024·广东广州质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，且c＝6，则△ABC的外接圆的半径为()A．6eq\r(3) B．6eq\r(2)C．3eq\r(3) D．3eq\r(2)7．(2023·北京西城二模)在△ABC中，若a＝2，tanA＝－eq\f(4,3)，cosB＝eq\f(4,5)，则b＝．8．(2023·陕西宝鸡三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c＝4，且满足cosC＝sinC，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝c－2eq\r(3)cosA，则a等于．9．(2024·江西九江质检)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA＝(c－b)sinC＋bsinB，bc＝6，则△ABC的面积为．10．(2023·山东青岛三模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csinB＝(2a－c)tanC．(1)求角B；(2)若c＝3a，D为AC的中点，BD＝eq\r(13)，求△ABC的周长．11．(2023·全国甲卷文T17)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\f(b2＋c2－a2,cosA)＝2.(1)求bc；(2)若eq\f(acosB－bcosA,acosB＋bcosA)－eq\f(b,c)＝1，求△ABC面积．[能力提升练]12．(2024·山西运城质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(a2,b2)＝eq\f(sinAcosB,sinBcosA)，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形