安徽省A10联盟2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

安徽省A10联盟20232024学年高二下学期6月月考数学试题第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则若，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据导数的运算法则求出导函数，再代入计算可得.【详解】因为，所以，又，即，解得.故选：B2.已知数列等比数列，且则的值为（）A. B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的性质计算得，从而可得，再利用对数运算性质计算即可.【详解】由等比中项性质可知，又.故选：D3.如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（）A. B.C.是的极大值点 D.是的极小值点【答案】C【解析】【分析】由题意，求得函数在处的切线方程，得到，通过对其求导分析，得出的单调性，极值和值域，即可一一判断选项正误.【详解】因函数在点处的切线为，即，则，于是，，由图知，当时，，此时，当时，，此时.对于B项，由上分析，B项显然错误；对于C,D项，由上分析，当时，单调递增；当时，单调递减,即当时，取得极大值，且，故C项正确，D项错误；对于A项，由上分析时，取得极大值，也是最大值，则有，故A项错误.故选：C.4.某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A.决定系数变小 B.残差平方和变小C.相关系数的值变小 D.解释变量与预报变量相关性变弱【答案】B【解析】【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，故A、C、D错误，B正确.故选：B.5.已知则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得.【详解】由题知，，，，又，则故选：C【点睛】关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用求得.6.有3对双胞胎站成一排拍照，恰有一对双胞胎相邻的站法有（）A.144种 B.240种 C.288种 D.336种【答案】C【解析】【分析】将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6，选一对双胞胎相邻，分类讨论这对双胞胎分别站在1，2号、2，3号、4，5号、5，6号和3，4号的情况，利用分类加法计数原理即可得解.【详解】将位置从左往右依次编号1，2，3，4，5，6，当恰有一对双胞胎站在1，2号，则再选一对双胞胎站在3，5号，另外一对双胞胎站在4，6号即可，且每对双胞胎中的两人可以交换位置，从而有种站法；当恰有一对双胞胎站在2，3号、4，5号或5，6号时，情况同前面一样，从而共有种站法；当恰有一对双胞胎站在3，4号，则从余下的两对双胞胎中各任选一人站在1，2号即可，从而有种站法．综上可知，总站法有（种）．故选:C．7.已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由已知等式交叉相乘后得到，仿写作差后得到，进而得到，然后利用裂项相消法求出不等式左边的最大值即可.【详解】因为，所以，即，即，则，与上式作差后可得，因为正项数列，所以，所以，因为，，所以，所以实数的最小值为，故选：B.8.已知正实数，满足，则的最大值为（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】正实数满，变形为，构造函数，则，利用函数的单调性可得，通过换元可得，令，，利用导数研究函数的单调性即可得出结论.【详解】∵正实数满足，∴，且，构造函数，则，，∴时，，函数在上单调递增，∴，∴，则，令，，，令，，，∴函数在上单调递减，又，则上，上，∴时函数取得极大值，即最大值0.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病真否有关，调查了400人，得到如图所示的列联表，其中，则（）患疾病不患疾病合计过量饮酒不过量饮酒合计400参考公式与临界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A.任意一人不患疾病的概率为0.9B.任意一人不过量饮酒的概率为C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为D.依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关【答案】ACD【解析】【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判断AB，利用条件概率概念求解判断C，求出的观测值，即可判断D.【详解】由已知得，又，所以.任意一人不患疾病的概率为，所以A正确；任意一人不过量饮酒的概率为，所以B错误；任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为，所以C正确；对于D，列联表如下：

患疾病不患疾病合计过量饮酒30120150不过量饮酒10240250合计40360400则的观测值，由于，依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关，所以D正确.故选：ACD10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（）A.B.1225既是三角形数，又是正方形数C.D.，总存在，使得成立【答案】BCD【解析】【分析】用累加法求出、，再用裂项相消法可判断A；分别令和，看有无正整数解即可判断B；将放缩后用裂项相消求和即可判断C；取即可判断D.【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有，利用累加法，得，得到，n=1时也成立；正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有，利用累加法，得，得到，n=1时也成立.对于A，，利用裂项求和法：，故A错误；对于B，令，解得；令，解得；故B正确；对于C，，则，整理得，，故C正确；对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，故D正确.故选：BCD.11.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（）A.若，则这样的数列共有360个B.若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个C.若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个D.若，则这样的数列共有71个【答案】AD【解析】【分析】根据对称性可得，即可判断A，对于B：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断B，对于C：对的位置分类讨论，对于D，分、、三种情况讨论.【详解】解：对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误；对于C：从1，2，3，4，5，6中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；故满足条件的总个数为：个，故C错误．对于D：若则这样的数列有个，若则这样的数列有个，若则这样的数列有个，所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确；故选：AD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______．【答案】1215【解析】【分析】根据正态分布的对称性，求得的值后，利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.【详解】，，，．展开式第项：，．故答案为：1215.13.小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）【答案】2520【解析】【分析】考查排列问题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，则由每一串只能从上往下吃可知每一串冰糖葫芦相对位置是已定的，所以根据定序问题处理即可求出答案.【详解】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，则因为每一串只能从上往下吃，所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的，所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种.故答案为：2520.14.已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，分且和且，两种情况讨论，构造函数，利用导数和基本不等式，求得函数的最值，即可求解.【详解】因为关于的不等式对任意均成立，①当对任意均成立时，可得对任意均成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，又由对任意均成立，可得对任意均成立，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以.②当且对于任意均成立时，结合①可知且，此时无解.综上可得，实数实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划、某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额（单位：百万元）对年收入的附加额（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：投入额234568911年收入的附加额3.64.14.85.46.27.57.99.1（1）求证：，；（2）求年收入的附加额与投入额的经验回归方程．若投入额为13百万元，估计年收入的附加额．参考数据：，，．参考公式：在经验回归方程中，，．【答案】（1）证明见解析（2）；百万元【解析】【分析】（1）根据题意，结合数据的平均数的计算公式，准确化简，即可得证；（2）由统计图表中的数据，求得，，利用公式求得，进而得到，得出回归直线方程，令，求得的值，即可得到答案.【小问1详解】证明：由；又由.【小问2详解】解：由统计图表中的数据，可得，，所以，又因为，可得，所以年收入的附加额与投入额的线性回归方程为，当时，可得百万元.16.已知数列满足，且．（1）求证：是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由，且得，从而得证.（2）先由（1）求得数列的通项公式，进而用错位相减法和等差数列前n项和公式即可求解数列的前项和.【小问1详解】因为，且，所以即，所以是以为首项，为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）得，故所以，所以，令①，所以②，所以由①②得，故,所以.17.某大学为了研究某个生物成立了甲、乙两个小组，两个小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为．假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败．（1）甲组做了4次试验，求至少1次试验成功的概率；（2）若甲、乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和对立事件概率的求法即可得到答案.（2）首先得到的可能取值，再分步骤写出分布列，最后计算期望即可.【小问1详解】记甲组做了4次实验，至少1次试验成功的概率为事件，则事件的对立事件为:甲组做了4次实验均失败，所以.【小问2详解】由题意得，可能的取值为0，1，2，3，4，则，，，，故的分布列为01234所以18.已知函数．（1）求函数的极值；（2）当时，讨论函数零点的个数．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）研究导函数正负情况结合极值定义即可求解.（2）先由（1）得函数的单调性和最小值，通过研究其最小值正负情况即可求解函数零点个数情况.【小问1详解】由题函数定义域为R，为增函数，所以当时，恒成立，此时为R上的增函数，无极大值也无极小值；当时，令，故当时，，在上的单调递减，当，，在上的单调递增，