第08讲正方形的性质和判定

第08讲正方形的性质和判定知识点1：正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）知识点2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：考点剖析考点1：正方形的概念和性质【典例1】（2021秋•萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．每条对角线平分一组对角【答案】D【解答】解：矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们同时具有平行四边形的一切性质，而备选答案A、B、C具有平行四边形的性质，所以只有备选答案D符合题意．故选：D．【变式11】（2022春•双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等【答案】B【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意；C、对角线互相垂直,矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；D、对角线互相平分且相等,菱形不具有对角线相等的性质，故本选项不符合题意；故选：B．【变式12】（2020秋•罗湖区校级期末）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角【答案】C【解答】解：A、矩形的对角线相等且平分，选项错误，不符合题意；B、菱形的对角线垂直且平分，选项错误，不符合题意；C、正方形的对角线相等，选项正确，符合题意；D、矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角不是直角，选项错误，不符合题意；故选：C【典例2】（2022春•溆浦县期中）一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（）A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm【答案】C【解答】解：∵正方形的面积为8cm2，∴正方形的边长为＝2（cm），∴正方形的对角线长为2×＝4（cm），故选：C．【变式21】（2022秋•临淄区期末）如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝1cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝1cm，如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1cm，∠B＝90°，∴AC＝＝（cm）．故选：A．【变式22】（2022春•涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）【答案】B【解答】解：如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2），∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．故选：B．【变式23】（2022春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．76 B．24 C．48 D．88【答案】A【解答】解：在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，∴AE＝＝＝6，∴S阴＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝100﹣×8×6＝76．故选：A．考点2：正方形的判定【典例3】（2022秋•莱西市期末）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形【答案】D【解答】解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；D、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意；故选：D．【变式31】（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝DC时，不能判断它是菱形（对边相等是平行四边形的性质），故①错误，当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，当AC＝BD时，它是矩形，故④错误，故选：B．【变式32】（2022秋•济阳区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．故选：B【变式33】（2022春•卫辉市期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形，故②正确；∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，∴若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．故选：A．【典例4】（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【解答】解：（1）四边形MENF是菱形．理由如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，∴NE＝FM，NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M为AD中点，∴AM＝DM，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM＝CM，∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME＝MF，∴平行四边形MENF是菱形．（2）当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．∵四边形MENF是正方形，则∠EMF＝90°，又∵△ABM≌△DCM，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，∴AM＝DM＝AB，∴AD＝2AB，∴当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．【变式41】（2022秋•郓城县期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．【变式42】（2022春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：△ABF≌△DAE．（2）求证：四边形ABCD是正方形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．【变式43】（2022秋•二七区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当∠BAC＝°时，四边形ADCE是一个正方形，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，∴∠CAD＝∠BAC．∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠CAE＝∠CAM．∵∠BAC与∠CAM是邻补角，∴∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE为矩形，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD．∴四边形ADCE为正方形，故答案为：90考点3：正方形的性质与判定综合【典例5】（2022春•临沭县期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）4．（3）10．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∴正方形DEFG的面积为2×××＝10．【变式51】（2022春•赣县区校级期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）20．【解答】（1）证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形，∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形；（2）解：∵AB＝7，AE＝3，∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，∴EN＝＝5，∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20．【变式52】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明过程见解析；（2）17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝45°，∴∠AFD＝∠AEB，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又BE＝1，∠B＝90°，∴由勾股定理得，，∵四边形ABCD是正方形，∴．【变式53】（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3）5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，∵DH＝CE＝BK，∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，在△ADH和△ABK中，，∴△ADH≌△ABK（SAS），∴AK＝AH；（2）证明：∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD＝∠BAK．∴∠HAK＝90°，同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，∴AH＝AK＝HF＝FK，∴四边形AKFH是正方形；（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，∴KF＝，∵EF＝CE＝1，∴KE＝，∴AB＝KE＝3，∵BK＝EF＝1，∴BE＝BK+KE＝4，∴AE＝，故点A，E之间的距离为5．过关检测一．选择题（共10小题）1．（2022秋•浦北县期末）一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm，它就变成正方形，则矩形面积是（）A． B．9cm2 C． D．27cm2【答案】C【解答】解：设矩形的宽为xcm，长为3xcm，由题意得：x+3＝3x，解得，∴矩形的宽为，长为，∴这个矩形面积为．故选：C．2．（2023秋•福田区校级期中）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是（）A．119 B．129 C．139 D．149【答案】C【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，由勾股定理得：AB＝13，正方形的面积是13×13＝169，△AEB的面积是；阴影部分的面积是169﹣30＝139．故选：C．3．（2023秋•六盘水期中）如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A、C两点坐标分别为（﹣2，2）、（1，﹣1），则点B的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣3，﹣1）【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，AB∥CD，∵A、C两点坐标分别为（﹣2，2）、（1，﹣1），∴点B坐标为（﹣2，﹣1），故选：C．4．（2023春•和县校级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等边三角形【答案】D【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴A、C不符合题意；∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴矩形ABCD成为正方形，∴B不符合题意；∵添加△OCD是等边三角形，不能使矩形ABCD成为正方形，选项D符合题意．故选：D．5．（2023秋•三元区期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BAE为（）A．145° B．150° C．155° D．160°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，又∵△ADE是正三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠BAE＝90°+60°＝150°．故选：B．6．（2023•攀枝花）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（）A． B．2 C． D．【答案】C【解答】解：连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠ADB＝45°，∵PF⊥AD，PE⊥AB，∠BAD＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴PE＝AF，∠PFD＝90°，∴△PFD是等腰直角三角形，∴PF＝DF，∵PE：PF＝1：2，∴AF：DF＝1：2，∴AF＝1，DF＝2＝PF，∴AP＝＝＝，∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC＝，故选：C．7．（2023秋•锦江区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC＝90°，▱ABCD是矩形 B．当AB＝BC，▱ABCD是菱形 C．当AC⊥BD，▱ABCD是菱形 D．当AC＝BD，▱ABCD是正方形【答案】D【解答】解：A．有一个直角的平行四边形是矩形，故A对；B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B对；C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C对；D．对角线相等的平行四边形是长方形或正方形，故D错；故选：D．8．（2023秋•锦江区校级期中）如图，边长为的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD边长为，∴A（0，），D（，），C（，0），由B（0，0），D（，）可得直线BD解析式为y＝x，设M（m，m），AM解析式为y＝kx+b，代入得：，解得：，∴直线AM解析式为y＝x+，在y＝x+中，令x＝得y＝，∴P（，），∵PM＝PC，∴（m﹣）2+（m﹣）2＝（）2，整理得（m﹣）2＝，解得：m＝+（不符合题意，舍去）或m＝﹣，∴M（﹣，﹣），∴AM＝＝＝3﹣．故选：D．9．（2023•碑林区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若AP＝5，则EF＝（）A．5 B．5 C．2.5 D．【答案】A【解答】证明：连接PC，在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥DC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠BCD＝∠PEC＝∠PFC＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，BP＝BP，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝CP，∴EF＝AP＝5．故选：A．10．（2023秋•深圳期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④【答案】B【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故错误；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝＝＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝＝＝2，故错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故正确；∴其中正确的结论为①④，故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2023秋•山亭区期中）如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝10cm．【答案】10．【解答】解：如图，设AC与BD相交于点O，∵原来四边形为正方形，∴四条边相等，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝10cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝10cm，∴DO＝BD＝5cm，在Rt△ADO中，AO＝＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm．故答案为：10．12．（2023秋•法库县期中）如图，以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是150°．【答案】150°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，∴AB＝AD＝DC＝AE＝DE，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠EAD＝∠EDA＝60°，∴∠EAB＝∠EDC＝30°，∠ABE＝∠AEB，∠DEC＝∠DCE，∴∠ABE＝75°，∠DCE＝75°，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠EBC＝∠ECB＝15°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝150°，故答案为：150°．13．（2023春•秦淮区期末）正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．【答案】．【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝，故答案为：．14．（2023春•嵊州市期末）小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发现通过添加边、角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形．写出条件①中你认为合适的边、角或对角线的条件是对角线互相垂直（答案不唯一）．（写出一个即可）【答案】对角线互相垂直（答案不唯一）．【解答】解：∵对角线互相垂直的矩形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形，∴添加：对角线互相垂直或有一组邻边相等；故答案为：对角线互相垂直（答案不唯一）．15．（2023•西湖区校级开学）将四块直角三角形按图示方式围成面积为10的▱ABCD，其中△ABF≌△CDH，其内部四个顶点构成正方形EFGH，若∠ABF＝45°，则CD的长为．【答案】．【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝HG＝EH，∠AFG＝∠FEH＝∠EHG＝∠FGH＝90°，∴∠AED＝∠AFB＝∠CHD＝∠AED＝90°，∵∠ABF＝45°，∴AF＝BF，∵△ABF≌△CDH，∴AF＝BF＝CH＝DH，设EF＝FG＝HG＝EH＝x，AF＝BF＝CH＝DH＝y，∴BG＝DE＝x+y，AE＝CG＝x﹣y，∴▱ABCD＝2×y2+2×（y﹣x）（y+x）+x2＝10，∴2y2＝10，∴CD＝＝，故答案为：．16．（2023春•仙桃月考）如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的是①③（填序号）．【答案】①③．【解答】解：过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N，如图所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN是正方形，∴EM＝EN，∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG是正方形，故①正确；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠DCF＝90°，∴CG平分∠DCF，故③正确；∴，故②错误；当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误．故答案为：①③．三．解答题（共4小题）17．（2023秋•薛城区期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．（2）线段DF与AB有怎样的关系？请写出并证明你的结论．（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．【答案】（1）四边形ADCE为矩形，证明见解析；（2）DF∥AB，，证明见解析；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，理由见解析．【解答】（1）证明：四边形ADCE为矩形．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AN平分∠MAC，∴∠NAC＝∠MAN，∵∠NAC+∠MAN+∠BAD+∠CAD＝180°，∴∠DAE＝∠CAD+CAN＝×180°＝90°，又CE⊥AN，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）解：DF∥AB，，理由是：∵四边形ADCE为矩形，对角线DE与AC相交于点F，∴F是AC的中点，∵AB＝AC，AD⊥BC，∵D是BC的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴，DF∥AB．（3）解：当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，∴，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD．∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．18．（2023秋•法库县期中）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．（1）求证：四边形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）20．【解答】解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵BE