2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE2.3数学归纳法内容标准学科素养1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题.提升数学运算增加逻辑推理拓深直观想象授课提示：对应学生用书第44页[基础相识]学问点eq\a\vs4\al(预习教材P92－95，思索并完成以下问题)1．对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.试验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？提示：成立．2．能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？提示：不能，上面的等式只对n取1到50的正整数成立．学问梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0起先的全部正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示思索：1.数学归纳法中两个步骤的作用及关系是怎样的？提示：步骤①是命题论证的基础，步骤②是推断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不行，假如只有步骤①缺少步骤②，则无法推断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；假如只有步骤②缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②就没有意义了．2．试体会数学归纳法与归纳推理的区分与联系．提示：区分：归纳推理是一种推理方法，作用是提出猜想，但是不能确定猜想是否正确；数学归纳法是一种演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的证明过程．联系：与正整数有关的命题，一般须要先由归纳推理得出猜想，再用数学归纳法证明猜想是正确的；用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不行，且步骤(2)中必需用到归纳假设．[自我检测]1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝eq\f(1－a2n＋2,1－a)(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为()A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4解析：等式“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝eq\f(1－a2n＋2,1－a)(a≠1)”左端和式中a的次数由0次依次递增．当n＝k时，最高次数为(2k＋1)次，用数学归纳法证明，在验证n＝1时，左端的计算所得项为1＋a＋a2＋a3.答案：C2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明，错误是________．解析：本题中其次步假设n＝k时等式成立，证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用假设条件，这与数学归纳的要求不符．答案：未用归纳假设授课提示：对应学生用书第44页探究一用数学归纳法证明等式[例1]用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．依据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．方法技巧用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的状况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，削减了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．跟踪探究1.求证：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，右边＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)，左边＝右边．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，则当n＝k＋1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,2k－1)－\f(1,2k)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2k＋1)－\f(1,2k＋2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,2k)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2k＋1)－\f(1,2k＋2)))＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1).即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．探究二用数学归纳法证明不等式[例2]求证：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n)＞eq\f(5,6)(n≥2，n∈N*)．[证明](1)当n＝2时，左边＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＝eq\f(57,60).故左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立，即eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＞eq\f(5,6)，则当n＝k＋1时，eq\f(1,k＋1＋1)＋eq\f(1,k＋1＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋1)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＞eq\f(5,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1))).(*)法一：(分析法)下面证(*)式≥eq\f(5,6)，即eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)－eq\f(1,k＋1)≥0，只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0，只需证9k＋5≥0，明显成立．所以当n＝k＋1时，不等式也成立．法二：(放缩法)(*)式＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＋eq\f(5,6)＝eq\f(5,6)，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．延长探究把本例改为求证eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…eq\f(1,n＋n)＞eq\f(11,24).(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝eq\f(1,2)＞eq\f(11,24)，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…eq\f(1,k＋k)＞eq\f(11,24)，则当n＝k＋1时，eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＞eq\f(11,24)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)，∵eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(2k＋1＋2k＋1－22k＋1,2k＋12k＋1)＝eq\f(1,2k＋12k＋1)＞0，∴eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＞eq\f(11,24)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＞eq\f(11,24)，∴当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知对于随意正整数n，不等式成立．方法技巧用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要留意n0不肯定为1，若n＞m(m为正整数)，则n0＝m＋1.(2)证明不等式的其次步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，肯定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种详细形式：一是干脆给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对其次类形式往往要先对n取前几个值的状况分别验证比较，以免出现推断失误，最终猜出从某个n值起先都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪探究2.用数学归纳法证明：eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N*)证明：①当n＝1时，左边＝eq\r(2)，右边＝2，eq\r(2)＜2成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1成立．则当n＝k＋1时，左边＝eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋k＋2k＋2)＜eq\r(k＋12＋2k＋2)＝eq\r(k＋22－1)＜k＋2，∴n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可知，eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N*)．探究三归纳——猜想——证明[例3]若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,3n＋1)＞eq\f(a,24)对一切正整数n都成立．(1)猜想正整数a的最大值；(2)并用数学归纳法证明你的猜想．[解析](1)当n＝1时，eq\f(1,1＋1)＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋3)＝eq\f(13,12)＝eq\f(26,24)，即eq\f(26,24)＞eq\f(a,24)，所以a＜26，而a是正整数，所以猜想a的最大值为25.(2)证明：下面用数学归纳法证明eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,3n＋1)＞eq\f(25,24).①当n＝1时，已证．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,3k＋1)＞eq\f(25,24).那么当n＝k＋1时，eq\f(1,k＋1＋1)＋eq\f(1,k＋1＋2)＋eq\f(1,k＋1＋3)＋…＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋1＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,3k＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,3k＋4)－\f(1,k＋1)))＞eq\f(25,24)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)＋\f(1,3k＋4)－\f(1,k＋1)))＝eq\f(25,24)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6k＋1,9k2＋18k＋8)－\f(2,3k＋1)))＞eq\f(25,24)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6k＋1,9k2＋18k＋9)－\f(2,3k＋1)))＝eq\f(25,24)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3k＋1)－\f(2,3k＋1)))＝eq\f(25,24)，即当n＝k＋1时不等式也成立．依据①②，可知对随意n∈N*，都有eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,3n＋1)＞eq\f(25,24).所以正整数a的最大值为25.方法技巧1.“归纳—猜想—证明”的一般环节2．“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．(2)由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题，及求使命题成立的参数值问题．(3)给出一些简洁的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对随意正整数n都成立的一般性命题．跟踪探究3.考察下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？解析：由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…，猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5…·(2n－1)，下面利用数学归纳法进行证明．(1)当n＝1时，猜想明显成立；(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]所以当n＝k＋1时猜想成立．依据(1)(2)可知对随意正整数猜想均成立.授课提示：对应学生用书第46页[课后小结]在应用数学归纳法证题时应留意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不肯定是1.(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项