2025届北京东城区高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届北京东城区高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．已知是空间的一个基底，若，，若，则（）A B.C.3 D.3．设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A.a，b，c依次成等差数列 B.，，依次成等差数列C.，，依次成等比数列 D.，，依次成等比数列4．双曲线实轴长为（）A.1 B.C.2 D.5．过椭圆+=1左焦点F1引直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是（）A.20 B.18C.10 D.166．直线的倾斜角为（）A B.C. D.7．下列语句为命题的是（）A. B.你们好！C.下雨了吗？ D.对顶角相等8．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.A.90 B.75C.60 D.459．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（）A. B.0C. D.110．为了调查修水县2019年高考数学成绩，在高考后对我县6000名考生进行了抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是（）A.系统抽样法 B.分层抽样法C.抽签法 D.简单的随机抽样法11．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员，依照品级递减石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是（）A.石 B.石C.石 D.石12．若抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用秦九韶算法求函数，当时的值时，___________14．已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值___15．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.16．若双曲线的左、右焦点为，，直线与双曲线交于两点，且，为坐标原点，又，则该双曲线的离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到点的距离之差为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与交于、两点，若的面积为，求直线的方程.18．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与抛物线交于两点.（1）求此抛物线的方程；（2）若以为直径的圆过原点O，求实数k的值.19．（12分）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.20．（12分）记是等差数列的前项和，若.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的最小值.21．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且（1）求抛物线的方程；（2）若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值22．（10分）已知圆经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的方程;（2）过原点的直线与圆交于M，N两点，若的面积为，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.【详解】双曲线，，，因为双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，解得，所以，，，.故选：B2、C【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果【详解】，，因为，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C3、B【解析】由等差数列的性质得，利用正弦定理、余弦定理推导出，从而，，依次成等差数列.【详解】解：∵a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，依次成公差不为0的等差数列，∴，根据正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差数列.故选：B.【点睛】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.4、B【解析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.【详解】由可得：，，即，实轴长，故选：B5、A【解析】根据椭圆的定义求得正确选项.【详解】依题意，根据椭圆的定义可知，三角形的周长为.故选：A6、C【解析】设直线倾斜角为，则，再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】设直线的倾斜角为，则，∵，所以.故选：C7、D【解析】根据命题的定义判断即可.【详解】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.故选：D8、A【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.考点：频率分布直方图.9、A【解析】求出导函数，计算得切线斜率，由斜率求得倾斜角【详解】，设倾斜角为，则，，故选：A10、B【解析】考生分为几个不同的类型或层次，由此可以确定抽样方法；【详解】6000名考生进行抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本又文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好故选：B.【点睛】本题主要考查的是分层抽样，掌握分层抽样的有关知识是解题的关键，属于基础题.11、D【解析】令位官员(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)所分得的俸粮数是公差为数列，利用等差数列的前n项和求，进而求出正三品即可.【详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员所分得的俸粮数记为数列，由题意，是以为公差的等差数列，且，解得.故正三品分得俸粮数量为（石）.故选：D.12、D【解析】根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程【详解】准线方程为，则说明抛物线的焦点在轴的正半轴则其标准方程可设为：则准线方程为：解得：则抛物线的标准方程为：故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0【解析】利用秦九韶算法的定义计算即可.【详解】故答案为:014、－【解析】由双曲线的方程可得，的坐标，设的坐标，代入双曲线的方程可得的横纵坐标的关系，求出直线，的方程，令，分别求出，的纵坐标，求出的表达式，整理可得为定值【详解】由双曲线的方程可得，，设，则，可得，直线的方程为：，令，则，可得，直线的方程为，令，可得，即，∴，，，故答案为：－另解：双曲线方程化为，只是将的替换为－，故答案也是只需将中的替换为－即可.故答案为：－.15、（1）；（2）.【解析】（1）根据，且，，成等比数列，利用等比中项由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，且，，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以数列的通项公式；（2）由（1）知：，所以.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解16、【解析】根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】由直线与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，在三角形中，，所以，是以为直径的圆与双曲线的交点，不妨设在第一象限，，因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，，所以，由所以，又因为，联立可得，，因为为圆的直径，所以，即，，所以离心率.故答案为：【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】（1）本题首先可以设动点，然后根据题意得出，通过化简即可得出结果；（2）本题首先可排除直线斜率不存在时情况，然后设直线方程为，通过联立方程并化简得出，则，，再然后根据得出，最后根据的面积为即可得出结果.【详解】（1）设动点，因为动点到直线的距离与到点的距离之差为，所以，化简可得，故轨迹方程为.（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时，与只有一个交点，不符合题意，当直线斜率存在时，设其方程为，联立方程，化简得，，令、，则，，因为，所以，因为的面积为，所以，解得或，故直线方程为：或.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，能否根据题意列出等式是求动点的轨迹方程的关键，考查韦达定理的应用，在计算时要注意斜率为这种情况，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.18、（1）（2）【解析】（1）根据焦点到准线的距离，可得到，可得结果.（2）假设的坐标，得到，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，根据，可得结果.【详解】（1）由题知：抛物线的焦点到准线的距离为，∴抛物线的方程为（2）设联立，得，则，，，∵以为直径圆过原点O，∴，∴，即，解得或（舍），∴【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何关系的应用，属基础题.19、（1）（2）【解析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.【小问1详解】设事件分别表示“被评为等级”，由题意，事件两两互斥，所以，又“不被罚款”，所以.因此“不被罚款”概率为；【小问2详解】设事件表示“第单被评为等级”，，则“两单共获得的奖励为3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.20、（1）（2）4【解析】（1）根据题意得，解方程得，进而得通项公式；（2）由题知，进而解不等式得或，再根据即可得答案.【小问1详解】设等差数列的公差为，由得=0,由题意知，，解得，所以d=2所以.小问2详解】解：由（1）可得，由可得，即，解得或，因为，所以，正整数的最小值为.21、（1）（2）证明见解析【解析】(1)联立直线和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式得到，根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值，设直线的方程为，联立该直线和抛物线方程，，代入韦达定理可得到最终结果.【小问1详解】设点，，点，，联立，整理得，，由抛物线的定义知，解得，抛物线的方程