高考总复习文数（人教版）讲义第06章数列第3节等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n项和考点高考试题考查内容核心素养等比数列的定义2016·全国卷Ⅰ·T17·12分等比数列的通项及前n项和公式逻辑推理等比数列的通项公式与前n项和公式2017·全国卷Ⅱ·T17·12分求通项公式数学运算2015·全国卷Ⅱ·T9·5分通项公式数学运算命题分析本节内容的考查以等比数列通项公式、前n项和公式及利用等比数列的性质解题为主，难度中低档.1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq\f(an＋1,an)＝q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))3．等比数列的常用性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)；(2)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,r)；(3)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠提醒：辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数列一定是等比数列．()(2)等比数列中不存在数值为0的项．()(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(4)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝eq\f(a1－an,1－a).()(6)q＞1时，等比数列{an}是递增数列．()(7)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq，则m＋n＝p＋q.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×(7)×2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列解析：选D由等比数列的性质得，a3·a9＝aeq\o\al(2,6)≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D．3．(教材习题改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31 B．32C．63 D．64解析：选C由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C．4．在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，则a6＝________.解析：由题意得，a2·a4＝a1·a5＝16，所以a2＝2，所以q2＝eq\f(a4,a2)＝4，所以a6＝a4q2＝32.答案：325．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴eq\f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6.答案：6等比数列的基本运算[明技法]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).[提能力]【典例】(1)(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏解析：选B设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.故选B(2)(2018·赤峰模拟)设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝()A．4 B．5C．6 D．7解析：选C设等比数列{an}的公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝eq\f(a3,a1)＝4.又{an}的各项均为正数，所以q＝2.而Sk＝eq\f(1－2k,1－2)＝63，所以2k－1＝63，解得k＝6.[刷好题](2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，∴a1(1＋q)＝－1，①a1(1－q2)＝－3.②②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2.∴a1＝1，∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.答案：－8等比数列的性质及应用[明技法]等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[提能力]【典例】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,8)解析：选C方法一∵a3a5＝aeq\o\al(2,4)，a3a5＝4(a4－1)，∴aeq\o\al(2,4)＝4(a4－1)，∴aeq\o\al(2,4)－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝eq\f(a4,a1)＝eq\f(2,\f(1,4))＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2)，故选C．方法二∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3将a1＝eq\f(1,4)代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝eq\f(1,2)，故选C．(2)(2018·临沂检测)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝()A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50解析：选A依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20＞0，因此，S20＝30，S20－S10＝20，S40＝70＋80＝150.[刷好题]1．(2018·广州综合测试)已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9A．10 B．20C．100 D．200解析：选Ca7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝aeq\o\al(2,4)＋2a4a6＋aeq\o\al(2,6)＝(a4＋a6)2．(2018·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al(3,1)q3与a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aeq\o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.答案：14等比数列的判断与证明[明技法]等比数列的判定方法(1)定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．[提能力]【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．证明：∵an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an,∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2∴b1＝a2－2a1∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．[母题变式1]在本例的条件下，求{an}的通项公式．解：由题意知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,4)，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首项为eq\f(1,2)，公差为eq\f(3,4)的等差数列．所以eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n－1)·eq\f(3,4)＝eq\f(3n－1,4)，所以an＝(3n－1)·2n－2.[母题变式2]在本例中，若cn＝eq\f(an,3n－1)，证明：{cn}为等比数列．证明：由[母题变式1]知，an＝(3n－1)·2n－2，∴cn＝2n－2.∴eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(2n－1,2n－2)＝2.又∵c1＝21－2＝eq\f(1,2)，∴数列{cn}是首项为eq\f(1,2)，公比为2的等比数列．[刷好题](2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq\o\a