江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

南昌一中20232024学年度下学期高二期中考试数学试卷命题人：彭勇审题人：赵子锋试卷总分：150分考试时长：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】先求在处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.【详解】由题知，切线方程为，即，故选：B.2.设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.3.已知等比数列首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】取，可判断充分性；由是递增数列，结合等比数列通项公式可得，，或，，从而得成立，即可判断必要性.【详解】在等比数列中，，取，，此时，为摆动数列，故充分性不成立；若等比数列的公比为，且是递增数列，又，则，，或，，当，时，成立，当，时，成立，所以，数列为递增数列时，有成立，故必要性成立.所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.4.如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）A.在内是增函数 B.在内是增函数C.时取得极大值 D.在时取得极小值【答案】B【解析】【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.【详解】由图可知，在区间上递减；在区间上递增.所以不是的极值点，是的极大值点.所以ACD选项错误，B选项正确.故选：B5.已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出的取值范围即可．【详解】∵函数在区间上为单调递增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，由于函数在上单调递减，所以，即实数的取值范围是，故选：D.6.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.【详解】，则，所以，所以.故选：C.7.已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为（）A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)【答案】D【解析】【分析】依题意对任意，即可得到对任意恒成立，从而求出参数取值范围；【详解】解：因为，由数列为递减数列知，对任意，，所以对任意恒成立，所以．故选：D．【点睛】本题考查数列的单调性的应用，属于基础题.8.若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数讨论单调性即可判断A和B，再构造，利用导数讨论单调性即可判断C和D.【详解】令，则，令恒成立，即在定义域单调递增，且因此在区间上必然存在唯一使得，所以当时单调递减，当时单调递增，故A，B均错误；令，，当时，，∴在区间上为减函数，∵，∴，即，∴选项C正确，D不正确.故选:C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列求导结果错误的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据导数的运算公式、复合函数求导，即可逐项运算得答案.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：ABD.10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列B.若是等比数列，且，，则C.若是等差数列，则D.若，则是等比数列【答案】ACD【解析】【分析】对于AD：由与的关系求通项公式即可；对于B：作差比较大小即可；对于C：根据等差数列性质计算即可.【详解】对于A：当时，，，则，又也适合，故，所以，所以是等差数列，故A正确；对于B：，故，所以B错误；对于C：，故C正确；对于D：当时，，，则，又也适合，故，所以，所以是等比数列，故D正确；故选：ACD11.（多选）将个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为S，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据等差数列等比数列的通项公式计算判断AB,分别按行、列由等差等比数列计算可判断C,采用分组求和的方法计算可判断D.【详解】由，，得，所以或（舍去），故A正确；，故B错误；，故C正确；故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________．【答案】【解析】【分析】由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案.【详解】，由题是方程的两个不等实根，则由韦达定理，所以又是的等比中项且与同号，则.故答案为：.13.函数的极值为______.【答案】##0.375【解析】【分析】先直接求出导函数，然后判断导函数的正负性，进而判断函数的单调性，然后求得极值.【详解】函数的定义域为，则，令，得，则当x变化时，，y的变化情况如下表：x2+0+0+y递增极大值递减递增非极值递增所以当时，y有极大值，为故答案为：14.对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据数列新定义可得，从而时，，相减求得，进而求得的表达式，利用对任意的恒成立，列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意可得，∴时，，两式相减可得：，化为，时，，满足上式，故故，∵对任意的恒成立，∴，即，解得，即，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数,（1）计算函数的导数的表达式;（2）求函数的值域.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可;（2）根据,可得,函数在上是单调增函数,求出极大、极小值即可得出值域.【详解】解:（1）因为,所以.故函数的导数;（2）,,函数在上是单调增函数,所以,所以;故函数的值域为.【点睛】本题考查函数的导数的求法,以及利用导数求函数的值域,是基础题.16.为等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）；（2），时，的最小值为.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解.（2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.【详解】（1）设的公差为，由，，即，解得，所以.（2），，所以当时，的最小值为.17.已知等比数列{an}公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.【详解】详解：（Ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.已知函数，函数．（1）求的单调区间；（2）当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）求解导函数，然后分类讨论求单调区间；（2）利用参变分离法，将题目条件转化为在上有两个不同的实根，构造函数，求导判断单调性并求解最值，从而得k的取值范围.【小问1详解】由题意可得的定义域为，且．①当时，由，得；由，得．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．②当时，由，得；由，得．故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．【小问2详解】当时，令，得，即，则与的图象在上有两个不同的交点，等价于在上有两个不同的实根．设，则．由，得；由，得．函数在上单调递增，在上单调递减，故．因为，，且，所以要使在上有两个不同的实根，则，即k的取值范围为．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．19.已知函数.（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分离变量得到，利用导数可求得，由此可得结果；（2）当，时可证得，放缩可