2024-2025学年浙教版九年级数学上册微专题突破《专题11 圆中的相似三角形》课件

让天下学子共享优质教育！专题11圆中的相似三角形微专题突破浙教版九年级上册【教材母题】

(教材P133作业题第4题)已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点P.(1)求证：△ADP∽△CBP.(2)判断AP·BP＝DP·CP是否成立，并给出证明．题型探究解：(1)∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADP∽△CBP.(2)成立．证明如下：∵△ADP∽△CBP，题型探究解：∵∠DPA＝∠BPC，∠PDA＝∠PBC，∴△PAD∽△PCB.∵∠CPA＝∠BPD，∠PCA＝180°－∠ACD＝∠PBD，∴△PAC∽△PDB.【变式1】1.如图，已知BC是⊙O的直径，写出图中所有的相似三角形．题型探究∵∠CDE＝∠ABE，∠CED＝∠AEB，∴△CED∽△AEB.同理可得△AEC∽△BED.综上所述，图中的相似三角形有：△PAD∽△PCB，△PAC∽△PDB，△CED∽△AEB，△AEC∽△BED.题型探究【变式2】2．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AC于点E，延长ED，交⊙O于点F，连结AD，AF.(1)求证：∠BAF＝∠DAC.(2)当AF＝8，AD＝6，CD＝3时，求⊙O的直径．题型探究解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵EF⊥AC，∴∠FAE＋∠AFE＝90°.又∵∠ABD＝∠AFE，∴∠BAD＝∠FAE，∴∠BAD－∠DAF＝∠FAE－∠DAF，即∠BAF＝∠DAC.题型探究(2)如答图，连结BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°.∵∠BDA＝90°，∴∠CDA＝180°－∠BDA＝90°，∠BFA＝∠CDA＝90°.题型探究又∵∠BAF＝∠CAD，∴△ABF∽△ACD，题型探究D学以致用学以致用设AE＝x，则BE＝5x，∴CE＝5DE＝28－25x.又∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4，解得x＝1，即AE＝1.学以致用2.如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连结AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G(不与点O，B重合)，连结OF.(1)若BE＝1，求GE的长．(2)求证：BC2＝BG·BO.(3)若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．学以致用解：(1)由题意知，∠D＝∠AGF＝90°－∠BAD，∠B＝∠D.又∵∠AGF＝∠CGB，∴∠B＝∠CGB，∴CB＝CG.又∵AB⊥CD，∴GE＝BE＝1.(2)如答图，连结OC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝∠CGB.又∵∠OBC＝∠CBG，∴△OCB∽△CGB，学以致用(3)∠CAD＝45°.证明如下：如答图，延长FO，交AC于点H.∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴FO∥BC.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴FH⊥AC，∴AH＝CH，∴FA＝FC，∴△FAC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°.学以致用(1)求证：AC＝BD.(2)若BD平分∠ABC，BC＝1，求BD的长．(3)已知圆心O在△ABC内部(不包括边上)，⊙O的半径为5.若AB＝8，求△ABC的面积．学以致用学以致用又∵∠BEC＝∠ABD＋∠BAC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝AE＝1.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC

＝∠ABD＝∠BAC，∴△CBE∽△CAB，∴BC2＝CE·AC.学以致用设AC＝BD＝x，则CE＝x－1，∴12＝(x－1)x，学以致用(3)如答图，连结OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，过点B作BG⊥AC于点G.∴∠AFO＝∠BGC＝90°.∵OA＝OB＝5，∴∠AOF＝∠C，∴△AFO∽△BGC，易知CG∶BG∶BC＝3∶4∶5.学以致用设CG＝3x，BG＝4x，BC＝5x，由(2)可