【大学课件】《系统辨识与建模》

《系统辨识与建模》

课时：40

参考书：

1徐南荣、宋文忠、夏安邦系统辨识，东南大学出版社，1991

2方崇智、萧德云过程辨识，清华大学出版社，1988

3LjungL.AndSoderstromT.TheoryandPracticsofRecursiveIdentification,MIT.Press,

Cambridge

4［美］P.艾克霍夫系统辨识-参数和状态估计，潘科炎等译，科学出版社，1977

5［美］夏天长系统辨识一最小二乘，熊光楞、李芳芸译，清华大学出版社，1983

期刊：

1Aulomatica

2Proc.IFACIdentificationandSystemParameterEstimation

3IEEETrans.OnAutomaticControl

4自动化学报

5控制理论与应用

学习要求

1培养独立学习一门新课程的能力，为今后学习和研究打下基础（要求大家尽量少依赖听

课，多自学）。

2掌握基本的辨识理论和辨识技术

3能独立设计辨识实验，并编程计算

4学习一些现代建模技术

考核办法

给出一个数据文件，通过编程对其进行辨识，并写出报告

第一讲概论

实体与模型

实体：客观存在的事物及其运动状态，有时也称之为“系统”

模型：实体的一种简化描述。模型保持实体的一部分特征，而将其它特征忽略或者变化。

不同的简化方法得到不同的模型。

模型分类：

直觉模型：地图、建筑模型、照片、软件演示文档等

物理模型：风洞、水力学模型、传热学模型、电力系统动态模拟模型等。（缩小的复制品）

数学模型：描述实体中些关系和特征的数据模型。例如：投入/产出模型、热源与室温的

关系模型等。

数学模型

数学模型还可分为：

图表模型：如阶跃响应、脉冲响应、频率响应、温度与热电偶输出关系表

解析模型：代数方程、微分方程、差分方程、状态方程

程序模型：神经网络仿真程序

语言模型：模糊关系模型

获得数学模型的方法有：

经验总结法：模糊关系模型、静态线性关系模型

机理分析法：解析模型

实验法：图表模型

数据拟合法：解析模型、程序模型

用数据拟合法获得解析模型的过程即为系统辨识。

系统辨识

L.A.Zadehll962J：辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个

与所观测系统等价的模型。

这一定义给出了系统辨识的三要素：数据、模型类和准则。

数据：由观测实体而得。不唯一，受观测时间、观测目的、观测手段等影响。

模型类：规定了模型的形式。不唯一，受辨识目的、辨识方法等影响。

准则：规定了模型与实体等价的评判标准。不唯一，受辨识目的、辨识方法等影响。

系统辨识的三要素是评判数据拟合方法优劣的必要条件，只有在相同的三要素下，才可区分数

据拟合方法的优劣：而在不同的三要素下，这种结论也会改变。（图1）

辨识目的

明确模型应用的最终目的是很重要的，因为它将决定如何观测数据、如何选择三要素以及采用

什么数据拟合方法等。而最根本的是它将影响辨识结果。

辨识目的主要取决于模型的应用。辨识模型应用有以卜儿个方面：

图1系统辨识三要素

1验证理论模型；要求：零极点、结构（阶次及时延）、参数都准确；模型类同理论

模型。

2设计常规控制器；要求：动态响应特性、零极点、时延准确；便于分析的模型类。

3设计数字控制器；要求：动态晌应特性、时延准确；便于计算机运算的模型类。

4设计仿真/训练系统；要求：动态响应特性准确；便于模拟实现的模型类。

5预报预测；要求：动态响应特性、时延准确；便于计算机运算的模型类。

6监视过程参数，实现故障诊断；要求：参数准确；能直观体现被监视过程参数的模

型类。

10系统的定量与定性分析；要求：静态关系准确；模型简单，便于人脑判断。

辨识的一般步骤

我们将结合•个实际例子来说明辨识的•般步骤。

例：

上图为长网造纸的流程简图。对于造纸企业来说，质量控制就是要控制好成品纸的定量与水份。

而纸的定量与水份与纸浆浓度D、纸浆流量F、车速V及蒸汽压力P都有关系：

G=f（D,F,V,P）

W=g（D,F,V,P）

为了采用计算机对上述过程进行控制，需要建立数学模型。

这就是系统辨识的第一步：明确辨识目的。

为了实现这个目标，我们要进一步了解系统的一些特点。

这是第二步：收集先验知识。

经过现场调查，我们发现：

1车速调整存在同步困难，而不同步会引起断纸，因此，通常将车速设为恒定；

2流量的改变到定量的改变存在约60秒的延迟，而响应过程只有约2秒；（保持浓度

不变）

3浓度的改变到定量的改变存在约120秒的延迟，而响应过程约80秒；（保持流量不

变）

4蒸汽压力的改变到水份的改变存在约45秒的延迟，而响应过程约60秒：（保持浓

度与流量不变）

第三步：设计辨识试验。

辨识试验的目的是使采集到的数据能反映系统的动态特性，因此要对系统进行分块，设计对分

块后系统施加的激励信号，设计数据采集时的采样频率。对于本例，其中的一个分块为流量和

蒸汽压力对定量、水份的影响；

试验时，保持车速和纸浆浓度不变；

对流量和蒸汽压力，分别施加伪随机序列扰动，幅度以不引起断纸为限；

设定采样频率为2,试验时间为1000秒。

采集信号为：定量、水份、纸浆流量和蒸汽压力

第四步：现场准备。（接线图）

现场准备要做以下几件事：

向企业领导申请试验时段；

准备扰动信号发生器，并通过预发信号，检验扰动信号是否准确；

测验现场信号的干扰情况，必要时设计模拟信号滤波器；

准备模数转换设备，调好信号的零迁和放大参数；

现场接线，将生产设备、试验设备与计算机连接。

第五步：数据采集。

将采集到的数据存盘，并编写数据说明文件；

第六步：数据预处理。

对采集到的原始数据进行变送器非线性校正、数字滤波、标准化、重抽样等加工，使数据适合

辨识工具的处理，同时也应满足模型要求。

以上步骤为数据观测过程。

第七步：选择模型类。

选择模型类的工作有两部分：其一是选择应用模型，通常应依据辨识目的来选择；其二是选择

参考模型，参考模型是便于进行结构辨识和参数估计的模型

第八步：结构辨识与参数估计。

应用辨识理论和方法编制程序，对第六步所得的数据进行拟合，得到参考模型的阶次和参数。

第九步：模型检验。

对所得到的参考模型按评判准则进行检验，如不达要求，则分析问题所在，并返回到前期各相

应步骤。

第十步：模型转换。

将参考模型转换为应用模型。

第H••一步：应用评价。

从应用角度评价模型，如不符合应用要求，应分析问题所在，并返回到相应步骤。

卜图描述了辨识各步骤之间的关系。

思考题：你认为系统辨识还有用吗？

系统辨识一般流程

第二讲辨识三要素

一、数据

本节介绍辨识数据的特点及获得适宜辨识的数据的方法。

随机过程X（t）:在每一个时间点（to）上，都是一个随机变量，其概率密度函数p（x,t）随时间变

化。

平稳随机过程：在所有时间点上，概率分布都相同的随机过程，其概率密度函数p（x）不随时间

变化。

各态遍历平稳随机过程：从整个时间轴上看，每个随机事件都会发生的平稳随机过程。其谱密

度函数与概率密度函数类似。时间平均等于集合平均。

数字特征

特征随机过程平稳随机过程各态遍历平稳随机过程

4⑺三4=元

均值=Lim^J》。)力

（期望〃式'）=

值）1N

=ZJ/n五2x(z)

NfOO/VA=1

均

方=Lim^卜2")小

值次3=jx2P(xj)dx武⑺3

ttb2T_T

1N

=Lbn%£x“k)

N->ooNk=\

b”

]T

Lim^J[x”)2力

方差无⑺三或7->oo乙l_7

1N

=Lim^X^)-x]2

NT9NJt=l

自

相

函

关=

&Q],f2)=E{X(/1)x(t2)}&（7）=&（T）

数=((O，LJ

0000=&⑺।7

=J卜]%2〃2(/，了2；=LlJTl^Jx(f)xQ+T)dt

—>oc"

-00-00T-T

1AL

G,12)公曲2=Lim%£x(k)x(k+1)

N->ooNk=\

iN-l

=LimN伏)x(&+。

NTOOIV-Iy

_Lim^

-T->oo_r

cx(32)=E{[x(H-401)]*

gQ"2)=

[x(t+T)-jU]dt

[x(z)-//(r)]}x

协方2t2

=C(0t1N

差函0000x92

=J"咐)—〃,«)]口02)-

数-N->oo/Vk=\

-oo—oo

=C,⑺[x(k^-l)-x]

〃式，2)]。2(再,x2;tt,t2)dxtdx2

iN-l

LimN2口⑹幻*

=N->ooIV-I4=]

[x(Z+/)-5]

”或（0）

癖⑺=&«,，)“=&(0)

w=，-无

或⑴=/(f)一4(f)1jV

一些=L加万

=RJt,tS=%（0）-片

关家NfooIVk=i

2

a；=/?x(0)-x

C,（T）=

G(7)=R,(7)-F

R、⑺-4

勺9)=

Lim^Jx")y(f+7辿

相

互&>G，，2)=E{x(f1)y(，2)}

T—>oo乙上“

函4M

关。)=

00co1N

数=j^xyp(x,y,t,t)dxdy

2[2KQfF)=Lim%£x(k)y(k+l)

-00-00NT9N*=]

iN-l

=Limz/2>G))d+/)

Cxy(f]，，2)=E{[X(f1)-

Cvv(r)=

协）

互0、（讨2=

〃式4)][响)-勺。2)]}।T

差

方

CO00G.v（7fTl）Lim祈J[x(/)-〃j*

数

函=f

T—>oo乙1_7

-CO-00二&、3一丛丛

[y(t+r)-^y]dt

〃.v(f2)]P2(X,y；r”2)"xdy

1N

=勺(。，，2)-〃式乙)〃,“2)

-NtbNk=\

[y[k+l)-y]

iN-l

Limv2口出幻*

=NTSN-Lk=l

[y(k+l)-y]

4(f)=R,r(-T)

其它

C,,(T)=GD

说明：离散计算时假设采样时间间隔为To,则时延T=/*TO。

相关函数的性质

I必=Rv(0)，0

2R«)=&(-T)

3七(0)。段小)1

4若x(t)是周期为T的信号，则其自相关函数也是周期为T的信号。即：

x(f)=x(t+T)=>R,(r)=Rx(r+T)

5若x(t)=y(t)+z(t),且y(t)与z(。互不相关(/?"(7)三0),则

Rr(r)=Rv(r)+&(r)

6若x(t)=y(t)+z,其中y=0,z是一个常数，贝|J

7若X⑴均值为零，且不含有周期性成分，则当T很大时，X(t)与x(t+T)必然是互相独立的(不

相关)，因此，&⑺=0,T充分大。

8若x(t)均值为零，则C,(r)=&⑺。这是因为在通常情况下，C;(T)等于段«)向下平移〃工

因此，当〃：=0时，两者相等。

9对于线性系统y(k)=G(z)u(k),有/?，“«)=G⑶R,(r)

10虽然x(t)是个随机过程，但R、«)却不是随机过程，而是一个确定性的时间函数。

Parseval定理与功率谱

Parseval定理：确定性信号x(t)的总能量为：「x\t)dt=—PIIX(j(y)ll2dco

k2乃修

确定性信号x⑴的平均功率：

L加-⑺力==加1Il(9)II2ds

T—>oo乙1NTTT—>oo乙1

确定性信号X⑴的平均谱密度：

S,3)=L而二rx,(加)俨

随机性信号x(t)的平均谱密度：

1,

5,(。)=乙加"即出7(W)俨｝

Ttb2/

维纳一肯塔金关系式:

随机过程X(t)的谱密度1(0)与自相关函数&⑺构成一组傅立叶变换对:

j(UT

S,(M=£Rx(T)e-dr

&«)=115式0)〃“20

定义互谱密度为互相关函数的傅立叶变换:

S切(加)=〕：4■«)二3〃

应用维纳―肯塔金关系式，可以证明，对于频率响应为G(j。)的线性系统，在随机输入下的输

出谱密度和互谱密度分别为：

5V(⑼=11G(/⑼俨S,(⑼

S».(%)=G(/3电⑷

输出谱密度关系告诉我们：要充分激励系统，就要使输入信号的频谱“宽”于系统频谱。

白噪声

如果一个零均值、平稳随机过程的谱密度为常数，我们称之为白噪声(由白色光联想而得)。

白噪声有以下特点：

1E(w)=w=0

25“.(0)=。2,频谱宽度无限。

2

3/?u,(r)=(r^(r),其中，5(7)为Dirac函数，即0'

且［b⑺d工=1

J-OC

4无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也不影响t时刻以后的将来值。

从另一意义上说，即不同时刻的随机信号互不相关。

白噪声的用途：

1作为系统输入时，有&，、«)=g(r)，1=0/，2,…，即为系统的单位脉冲响应。

2作为被辨识系统输入时•，可以激发系统的所有模态，可对系统充分激励；

3作为被辨识系统输入时，可防止数据病态，保证辨识精度。

4在辨识过程中，以输出估计误差是否具有白色性来判断辨识方法的优劣，也可用来判断

模型的结构和参数是否合适。

5产生有色噪声。

白噪声的产生方法：

1(0,1)均匀分布白噪声：｛。=取小数｛179*聂1｝,i=l,2,3…｝,初值可取为：

盘=%5

12

2正态分布白噪声汽(〃，/)：｛〃(％)=〃+cr(Z&+(i)*i2-6)｝，

其中&为服从(0，1)均匀分布的白噪声。

有色噪声

有色噪声是指每一时刻的噪声和另一时刻的噪声相关，因而其谱密度也不再是常数。在工业生

产实际中，白噪声在物理上是不存在的，常见的往往是有色噪声。

有色噪声的表示定理：设平稳噪声序列｛e(k)｝的谱密度S,(。)是3的实函数，则必定存在一个

渐近稳定的线性环节，使得在输入为白噪声序列的情况下，环节的输出是谱密度为邑(。)的平

稳噪声序列｛e(k)｝。

白噪声线性环节有色噪声

(成形滤波器)

{w(k)}H(z'){e(k)}

M序列(二位式最大长度伪随机序列)

例：4阶M序列1111010110010001111«oooo

1I11-11-11I-1-11-I-1-11111…。。

特点：

周期性，周期长度为N=27(n为阶次)，是n个移位寄存器所能表示的最多状态数

M序列中某种状态连续出现的段称为游程。一个周期中有个游程，游程长度为1—

—n,但出现的概率是随机的。长度为1的游程有个，长度为2的游程有2n-3个，长度为3

的游程有20/个，以此类推，最后，长度为n的游程有1个。

一个周期中1的个数比0的个数多1(例中有8个1,7个0)

若以-1代替0,则序列的自相关函数RM(T)为

RM(T)=1T=i*N,i=0,1,2,...

RM(T)=1/NT=i*N+k,i=0,1,2,...,k=l,2,...N-l

图M序列的自相关函数

当N充分大时，M序列Ml：{M(k)}与它的J步移位序列M2：{M(k+D}在1=0,1，…JT

和T=产1,…N时是不相关的，即“0

M序列的频谱：设加为一步M序列信号的持续时间，NZV是一个周期的持续时间。M

序列的频谱为：

25r(N+l)a2

-------L下降3B

N2d

X

2ira2

/

nTTidinihi

47r2万0272万4彳a>

At~~AT(rad/$)

F,*-

8年Hz

图M序列的谱密度

22sin-------8

SM(⑼=亲-{演⑼+3+D[-^-演jg)]}

k=-<x>

2k00

.,In

其u中：co=-----

0°NX

上式告诉我们：

1M序列的频谱不是光滑的曲线，而是线条谱。

r\2

2M序列的直流分量(5“3=0)=犬-)与N2成正比，因此，加大N,可减少M序

列中的直流分量。

3M序列的频带为6=」一"z，因此，减少△，，可增加带宽。

3加

4谱线密度与N加成正比，

应用:

将M序列作为扰动信号有以下好处：

1幅值可取a,-a,容易选择，且当N充分大时，均值约等于0

2在一个周期内，自相关函数RM(T)近似为3函数，因此，以M序列为输入的线性系统,

其互相关函数序列等于脉冲响应序列(N大于过渡过程)

3对于多输入单输出系统，可将同一M序列的不同移位序列(例：｛M(k)｝、｛M(k+J)｝、

｛M(k+2J)｝等)作为各输入信号的扰动信号，当输出对各输入的过渡过程小于J时，可认为输入

信号之间是互相正交的。

逆重复M序列：

将M序列与方波序列相乘，得逆重复M序列，其特点为：

周期=2N,一个周期中1的个数与-1的个数相等，自相关函数RM(T)为

RM(T)=1T=i*N*2,i=0,1,2,...

RM(T)=-1T=i*N*2+l,i=0,1,2,...

RM(T)=0T=i*N+k,i=0,1,2,...,k=l,2,...N-l

用作辨识系统的扰动信号的优点在于：具有白噪声的优点，而其幅值可控。

辨识试验设计

设计原则在安全的前提下，尽可能地激励系统；保持输入输出关系；适当解耦

明确目的与要求模型用途

了解辨识对象

划清要辨识系统的边界，选好输入/输出，从边界外连入的其它信号尽量保持稳定，并作为被辨

识系统的噪声。

整体/局部——确定哪些输入需要叠加扰动信号，哪些输入要保持稳定

输入/输出/噪声——确定是多输入还是单输入(耦合关系)、确定过渡过程是否有明显差异(时

间常数)、了解噪信比的大小(滤波)及噪声类型(白色、有色)

值域范围——确定信号采集时是否需要零迁、放大

安全工况——可叠加扰动信号的类型与幅值

选择工况生产负荷、试验时间、系统区域隔离、地理区域隔离、安全措施

扰动信号设计

要点：扰动信号频带应宽于过程的工作频带；持续时间为3-5个扰动信号周期；幅值由安全工

况确定，对可中断生产的系统，且试验不引起原材料浪费的，可实施单独试验。

扰动信号类型——M序列/白噪声序列

扰动信号幅值——由安全工况确定

M序列设计——级数n、步宽Ts、正交化

设系统过渡过程时间为T,最高工作频率为fmax，(通常，fmax=(3~15)/T)则以1,5*T<(2n-1)*Ts

和为原则，选择n和Ts。

实际应用过程：

1确认系统过渡过程T;

2选择最高工作频率fmax=(3~15)/T;(设为fmax=VT)

3根据KTs>3*fmax，得出Ts=T/(3k)；

4根据L5*Tv(2"-D*Ts=(2n-l)*T/(3k)或4.5k=2--L求出n；

另一种设计方法：

1确认系统过渡过程T,选择n；

2根据nTs=(0.1~0.8)T,算出Ts=(0.1~0.8)T/n。

对于多输入单输出系统，要求(2nLl)*Ts>L5*E(输出对各输入的过渡过程时间)。

白噪声序列——1/TS>3*fmax

数据采集设计

采样间隔——满足香农定理，设采样间隔为To，l/To>2*fmax。对于有扰动信号的系统，ToVTs，

且Ts应是To的整数倍。

实验时间——数据长度：3-5个扰动信号周期，预实验1-2个扰动信号周期

物理信号处理——信号零点选择、滤波器选择、放大器选择

(现场准备

扰动信号发生器一一测试、加限幅器、选择叠加方式、接线

信号采集装置——测试、时间间隔标定、接线)

试验设计报告上述内容及人员组织，报领导批准

数据预处理

传感器非线性校正——根据传感器生产厂提供的静态非线性曲线，编制程序对相应的采样数据

进行校正。

滤波—对于输入输出加相同的滤波器，输入输出关系不变

重抽样——对于过渡过程较长的子系统，可用重抽样的方法，重新选择采样间隔，以降低模型

阶次

标准化——零均值、单位方差

目的：降低舍入误差，防止病态方程，提高计算精度

方法：y(k)+ay(k-1)=bu(k-l)+cu(k-2)+d--------------------(1)

Ey(k)/N+Zay(k-1)/N=Ebu(k-1)/N+Ecu(k-2)/N+d

y=Ey(k)/N=Ey(k-1)/N

t/=Eu(k-l)/N=Eu(k-2)/N,d=(l+a)F-(b+c)U

Y(k)=y(k)-Y,U(k)=u(k)-U

Y(k)+aY(k-l)=bU(k-l)+cU(k-2)-----------------------------------(2)

o2=£Y(k)2/N,。2产EU(k)2/N

Yo(k)=Y(k)/oy,Uo(k)=U(k)/ou

Y..(k)+aYn(k-1)=bU<,(k-1)*。J。y+cU°(k-2)*ou/oy

B=b*ou/oy,C=c*ou/oy

Yo(k)+aYn(k-1)=BUo(k-1)+CU°(k-2)------------------------(3)

b=B*Oy/Ou,c=C*0y/0u__反演公式

二、辨识准则

误差定义

参数误差:J=Xa,2/n,W=%—&，适合于算法研究

方程误差:J=£[e(k)『/Ne(k)=y(k)+6y(k-l)-Bu(k-l)-1u(k-2),J是参数的线性函数；只能

作一步预测；适合模型为：

AY=B1UI+B2U2

输出误差:J=E[e(k)]2/N,e(k)=y(k)-y(k),$(k)=f(k-l)+Bu(k-l)+3u(k-2),J是参

数的非线性函数；当输入序列已知时，可作多步预测；适合模型为：丫=24+义。，

4-2

e(k)

白化误差

加权准则：J=E[e(k)]TW[e(k)]IN

模型结构对误差的影响

模型阶次越高，J值越小，导致模型过估计

采样间隔对模型结构及误差的影响

采样间隔增大一倍，模型阶次大致减少一半；

要进行不同采样步长下模型的比较，误差公式应改为:

T2

J=E[e(k)]W[e(k)]*T0/N,T()为采样步长

三、数学模型

对象特性

静态模型输入输出之间的关系不随时间变化

动态模型未来的输入输出关系受过去及现在的状态影响，模型的有效性不随时间变化

动态建模模型的有效性随时间变化，需要经常改变

集中参数/分布参数集中参数模型只反映变量与时间的关系，用常微分方程描述；分布参数模

型反映变量与时空之间的关系，用偏微分方程描述；

序列(权函数)/方程序列(权函数)反映系统输出在标准输入下的响应：方程反映系统输入

输出的关系，给定输入可计算出系统输出；

h(T):y(t)=Jh(T)u(t-T)dT

y<n>(t)+aiy'"HI(t)+...+a“y(t)=biu®"(t-T)+...+b„u(t-T)

#=AX+BUY=CX+DU

线性/非线性线性关系是：若yi=f(ui),y2=f(u2),则ayi+by2=f(aui+bu2)

{hn(T1...T„))：y(t)=EJ...Jh„(TI...T„)u,(t-T))...U„(t-T„)dT|...dT„

放:G(X,U)=GLX+GR(X,U)Y=F(X,u)

时变/时不变模型的结构不边，但参数随时间变化。例如锅炉中的热交换器，由于灰尘的附着

而改变热交换的效率

泮(t)+a.(t)y6"(t)+...+a„(t)y(t)=b,(t)产(t-T)+...+b,„(t)u(t-x)

确定型/随机型若系统含有随机扰动，则称为随机型的。实际中很少没有随机扰动的，只是

强度不同而已。扰动强度的度量用噪信比N/Sy=ow/ox,(y=x+w)

单变量/多变量¥(S)=GI(S)U!(S)+G2(S)U2(S)

离散型/连续型y(k)=Eh(i)u(k-i)

A(q")y(k)=B(q")u(k)+w(k)

Y(zl)=G(z')U(z')

X(k+l)=Ax(k)+Bu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)

，sl

有时延/无时延Y(s)=e-sGl(s)UI(s)+e-G2(s)U2(s)

y(k)+aiy(k-l)+...+any(k-n)=b]U(k-T)+...+bmu(k-m-T)

常用模型

阶跃响应(函数、序列、曲线)

差分方程/微分方程

连续传递函数/离散传递函数

连续状态方程/离散状态方程

一般描述/典型环节

惯性环节k/(l+Ts)n

微分环节kTs/(l+Ts)n

积分环节1/Tas(l+T()s)n

惯性+微分环节k(l+aTs)/(l+Ts)n

模型间的相互转换

微分方程V—>连续传递函数VA连续状态方程

差分方程与离散传递函数：A(q')y(k)=B(q')u(k)丫(/)="卑"/)

A(Z)

微分方程与连续传递函数的关系与此类同。

差分方程、离散传递函数到阶跃响应：以阶跃信号为输入，通过计算机仿真得到阶跃响应。

阶跃响应到连续传递函数：

阶跃响应曲线转换为典型环节传递函数

1设系统传递函数为W(s),在阶跃输入下，系统响应的拉氏变换为F(s)=W(s)/s,若y(kT)

k=0,1,2,…为系统的阶跃响应序列，则F(s)的离散计算公式为F(s)=TEeskTy(kT)；

2根据｛y(kT)｝的曲线形状，可选择一个典型环节传递函数w(s),并令G(s)=w(s)/s为其阶跃响

应的拉氏变换；

3Jt=J|g(t)-y(t)|dt,等价于Js=£/m|G(s)-F(s)|,或者J=E[G(Sj)-F©)—生充分小

5—>0

4对于充分小的s,选择Sj>0,j=l,2，…,L(L大于G(s。中参数个数),可计算出F(Sj),同时

G(SJ)(以及J)中只含w(s)的未知参数;

Cr

5令——=0,求出参数，即得G(s),然后w(s)=sG(s)

d0

离散传递函数与连续传递函数：

1离散信号的保持

u(t)y(t)

------------------------------►G(s)-----------------------------►

u(z)=Z[u(t)]=Z[u(kT)]y(z)=Z[y(t)]=Z[y(kT)]

u(kT)x(t)y,(t)

--------------HL(s)|-----------------G(s)|---------------------►

u(z)=Z[u(kT)]X(s)y*(z)=Z[y*(t)]

G(z)=y*(z)/u(z)=Z[G(s)L(s)]G(s)=Z“[G(z)]/L(s)

若要求y"(z)=y(z),则应满足y"(kT)=y(kT),进而要求x⑴2u(t),这通过适当选择L(s)来实现。

LI；x⑴=u*⑴=2〃(氏7)3。一女7)，x(s)=2〃(%7)6一切=/6),L(s)=l(或T)

k=0k=0

当u(t)=6(t)时，y*(t)=y(t),故称为脉冲响应不变等效。G(z')=Z[G(s)],G(s)=Zl[G(z1)]

Ts

L2：(零阶保持器)x(t)=u(kT),kTWt〈(k+l)T,L(s)=(l-e-)/s

当u(t)=l(t)时，y*(t)=y(t),故称为阶跃响应不变等效。G(z」)=(l-z」)Z[G(s)/s],G(s)=

/限/)]/[(1七飞闪

Ts2

L3：x(t)=u(kT)*((k+l)T-t)/T+u((k+1)T)*(t-kT)/T,kTWt<(k+l)T,L(s)=(l/T+s)[(l-e-)/s]

斜坡响应不变等效。

2Z变换与逆z=eTs,s=lMz)"：(可用查表法进行)

G(z)=Z[G⑸]=G(s)ls=E(z)“，G(s)=Z-'[G(z)]=G(z)lz=eTs

近似变换：向后差分s=——

T

向前差分s=-

T

27-1

双线性变换s=--

Tz+1

离散传递函数与离散状态方程

Y(/)=^^U(z4)=H(Z-')U(z-')

X(k+l)=Ax(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)

从离散状态方程到离散传递函数:H②i)=C(zLA)"G+D

lln

从离散传递函数到离散状态方程:设A(z')=l+a1z'+...+anz',

11n

B(z)=bo+biz+......+bnz

则：010.....00gi=bi-a,bo

001.....00g2=b2-aigi-a2b()

A=.........................G=...............................

000.........01

gn-l=bn-1-a〕gn-2"......-an-2g|-3n.|bo

-a

n-an/—an-2....-^2—agn=b『a,gn-i-..............-an-igr^nbo

C=[l0..........0],D=bo

连续状态方程与连续传递函数的关系与此类同。

连续状态方程与离散状态方程：

区AX+BUY=CX+DUX(k+l)=Fx(k)+Gu(k)y(k)=Hx(k)+Eu(k)

F=eAT«I+AT,G=A'(F-I)B,H=C,E=D(阶跃响应不变)

A=lnF/T=«(F-I)/T,B=(F-I)'AG,C=H,D=E(阶跃响应不变)

辨识中的参考模型

ARMAX模型A(q-1)y(k)=SBi(q^/Fi(q!)ui(k)+D(q-1)/C(q1)e(k)