【2023届新高考数学考前模拟冲刺卷】 模拟冲刺仿真卷03 （新高考）解析版

绝密★考试结束前

【2023届新高考考前模拟冲刺卷】模拟冲刺仿真卷03（新高考通用）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

2023年高考临近，在原有江苏省、广东省、湖南省、湖北省、山东省等10个省市纳入新

高考范围基础上，浙江省高考数学今年从新高考自主命题卷调整为新高考全国卷，安徽省、

山西省、吉林省、黑龙江省、云南省，5省高考数学今年从老高考全国卷调整为新高考全国卷，

针对新高考出题的最新动态和命题趋势，特推出《2023届新高考考前模拟冲刺卷》以供大家

参考！

一、2023高考四大趋势

❶落实立德树人，鲜明体现时代主题

❷高考由“考知识”向“考能力”转变

❸聚焦“关键能力”和“思维品质”的考察

。高考由“以纲定考”到“考教衔接”转变

数学：出题方式发生重大变化，数学考试出题将加入复杂情景，重点强调数学思维方法考察，比以往

的数学难度更大。

二、2023年新高考数学命题方向

<|新高考数学卷以情境作为依托，呈现出新气象，营造出“理念新、内容新、结构新”的新氛围。

国高考卷预期会继续强化情境类试题的命制，侧重知识的应用性:情境类试题可以分为:课程学习情境、

探索创新情境、生活实践情境。

跟意板块知识均有可能命制压轴题，不固化试题的位置；

❹!、题的最后两题不再是函数唱主角，数列、三角、立体几何、新定义等内容将登场

教材有而新教材删减的内容，原则上不会考查，新高考主干知识的试题量明显增加。

三、2022年新高考卷试题整体分析

今年数学新高考I卷，难度堪称十几年来的最高，今年数学新高考I卷试题难度大，主要体现在基础

性题型偏少，难题量比往年增加，总体计算量比往年增加较大。今年新高考I卷题型难中易比例大概4:3:3,

体现出综合性、创新性的考查。在考查学科素养方面，突出理性思维和数学运算的考查。在试题的设置上，

体现了数学思维的灵活性以及数学思想方法的应用，增加了综合性、探究性和创造性试题内容，突出数学

学科在高考中的选拔性功能。今年数学新高考I卷高考很好的贯彻了深化考试内容改革.试题设置上，给

人第一感觉就是中规中矩，考题中没有出怪题、偏题，但真正在两个小时内要完成考卷，考出理想分数却

是非常不容易，其中，除了考题总体计算量偏大外，更加体现了命题者在问题设置、考查的角度上非常有

考究。试题从考查的知识点来看，都是高中数学的主干知识，但题目的问法更加灵活，这就意味着我们更

加需要重视学生对数学知识的理解和思维能力的培养。

四、2023年高考备考建议

❶重视教考衔接

❷研究高考命题方向

❸夯实基础，落实“四基”

。加强学生运算素养的培养

❺重视学生思维的训练

2022年新高考数学卷，很好地落实了“立德树人，服务选才，引导教学”的核心功能，坚持高考的核心

价值，突出学科特色，重视数学本质，体现新课改理念.试卷的灵活性难度有所提高，计算量也相对偏大，

对学生的心理素质要求较高。此外，试卷命题符合高考评价体系要求，很好地发挥了高考的选拔功能，对

中学数学教学改革发挥了积极的导向作用。我们教师要指导学生从整体上架构起高中知识体系，系统学习

各章节知识，打通各个章节的联系，综合学习和运用所学知识，才能在考试时游刃有余。2023年新高考数

学备考中，大家一起加油，为学生决战高考保驾护航。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.若昔=i，则z（2+l）的实部为（）

A.1B.2C.3D.10

【答案】C

【分析】根据复数运算法则可求得z,结合共甄复数定义和复数乘法运算可求得z（2+l）,根据实部定义可

得结果.

【详解】==i,••.z=2+（l+i）i=l+i,.-=1-i,

.-.z（z+l）=（l+i）（2-i）=3+i,则z仁+1）的实部为3.

故选：C.

2.若忖=应,忖=1,且aJLA,则（a+b”的值为（）

A.-1B.1C.,/2D.>/3

【答案】B

【分析】由（。+可力=a力+时和己知条件可得答案.

【详解】因为所以a-b=0，

由卜卜庭,忖=1,得

（a+b）-b=a.b+（b）=1.

故选:B.

3.已知[x]表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]=3,[-4.2]=-5,方程〔3/-2x]=0的

解集为A,集合8={地2/-76+片>0},且AB=R,则实数。的取值范围是（）

QQ

A.Tva<0或一B.一lva<0或一<。（3

33

88

C.一IKaKO或一工。<3D.一IWaWO或一<。43

33

【答案】A

【分析】由[3f_2x]=0求出集合A,分〃>0,。<0和。=0三种情况求出集合8,结合AB=R,即可得

出答案.

0y2_10

【详解】由[3f-2x]=0,得043/-2x<l,即[?一”，，解得一：<0或?4x<1,

—2x<1J3

所以A二|x|-^<x<0ng-1<x<1j,12x2-7ax+tz2=（3x-tz）（4x-a）>0,

当a>0时、8=x>'I•或x<：）,

a

8

由4B=R,得，解得六a<3；

g〉23

.4-3

、"la<0时，B=1x|"或

山4B=R,得2>」n-l<a<0；

33

当°=0时-，3={x|xw0},满足AB=R9

Q

综上所述实数。的取值范围是-IvaWO或14a<3,

故选：A.

4.已知A民CD四点都在表面积为100兀的球。的表面上，若A£）是球。的直径，且3c=3百，NBAC=120,

则该三棱锥A-BCD体积的最大值为（）

A.3gB.6石C.—>/3D.

【答案】B

【分析】设△ABC的外接圆半径为广，圆心为。一根据正弦定理可求r,根据几何关系可求。到平面4BC

的距离为定值200-当△4BC面积最大时，三棱椎A-BCO体积最大，利用余弦定理、基本不等式、三角

形面积公式可求△ABC面积的最大值，即得.

【详解】设球。的半径为R，因为球。的表面积为100兀，故4成2=100兀，即R=5,

♦:BC=36，ZBAC=120°,设△ABC的外接圆半径为r,圆心为Q,

，根据正弦定理知，税叵_=2r,即r=3,

sin120°

二版|=河2_0用=>/52-32=4,

是直径，O是中点，故。到平面4BC的距离为2|OQ|=8,

在AABC中，根据余弦定理得，BC2=AB2+AC'-2ABAC-cosABAC，

即27=AB2+AC2+ABAC>2AB-AC+ABAC,

：.AB-AC^9,当且仅当AB=AC时，等号成立，

△A8C面积的最大值为S='A8.AC-sinN8AC=■!■x9x且=型,

2224

，三棱锥4一BC。体积的最大值V=1x2叵x8=.

34

故选：B.

5.有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球.这6个球手感上不可

区别.今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为（）

A.—B.—C.；D.-

121223

【答案】A

【分析】设4=”从甲袋放入乙袋的是白球“，A2="从甲袋放入乙袋的是红球“，8="从乙袋中任取一球是

红球”,利用尸(8)=P(81A)P(A)+尸(814)P(4)求解即可.

【详解】设4=“从甲袋放入乙袋的是白球“，A2=”从甲袋放入乙袋的是红球“，8=”从乙袋中任取一球是

红球”:

12317

P(B)=P(B\Al)P(A,)+P(B\A2)P(A2)=~x-+~x-=-.

故选：A

6.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮

观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学

家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条

边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已

知图①中正三角形的边长为3,则图③中OM.ON的值为()

【答案】C

【分析】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得。M,ON的坐标,

再由数量积的坐标表示计算.

【详解】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

\OM\=2,OM=(2cos-,2sin-)=,

1133

II44

\MP\=-,即"尸=(§,0),

pM=g，由分形知取〃OM,所以PN=，,f),

所以CW=OM+MP+PN=

所以OM-ON=lx*+Wx毡=6.

7.在锐角三角形A8C中，点。为BC延长线上一点，且线=2,AB=5卡,AC=10,B=f,则三角形ABD的

CD4

面积为()

A.25。+⑹B,25(3叫

22

C75(3+⑹D.75(3叫

44

【答案】C

【分析】在△A8C中，利用余弦定理求解BC,根据已知锐角三角形条件排除不符合条件的解，再利用三角

形面积公式求得结果.

【详解】设CD=x，则8c=2x.

在△A8C中，由余弦定理AC2=AB2+BC2-2XABX8CCOSB，

得100=150+4X2-206X,即2虫-iogx+25=0,解得x='6±D.

当x=5(6l)时,BC=5(石一1)=*25('D；T5病。=50子相〈0,/AC5是

22x10x5(73-1)100(73-1)2

一个钝角，不合题意，舍去.

5(月+1)IO?+25(6+1产-(5#750+506I4

时，BC=5(A/5+1),cosNAC8=彳，所以NACB=；,

22xl0x5(百+1)100(73+1)23

TT\冗

又NB=3,则NBAC=碧.符合题意.

在△4姐中，8力=3x=+,则△ABQ的面积

2

1

c-R1c[715(73+1)&75(3+6)

S=—xABxBDxsinB=—x5v6x--------------x——=-----------------.

22224

故选：C.

-x2+2x+l,0<x<2

8.已知函数/(x)是定义域为R的偶函数，当xNO时，f(x)=4x-5，如果关于x的方程

-------,%>2

.x+1

时/⑺于+矶力+1=0恰有7个不同的实数根，那么，的值等于()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

-x2+2%+l,0<x<2

【分析】画出偶函I数f(x)=4x-5在R上的图象，数形结合得到/(》)=，的解得情况，从而

---,x>2

x+1

确定关于/的方程初产+川+1=0要有两个不同的解，且乙=2出=1,由韦达定理得到八"的值，进而求出

加一〃的值.

【详解】当x>2时，〃力竺，3+1)-9=4__2_,

且当x=2时，^^=1,

X+1

又/(x)为R上的偶函数，则函数图象如下所示：

当1=2时,/(x)=r有4个解，

当t«l,2)时,〃力=/有6个解，

当1=1时,f(x)=f有3个解,

当t<l时，〃x)=f无解,

要想关于x的方程机［〃同丁+硝》)+1=0恰有7个根，

则关于，的方程加2+川+1=0要有两个不同的解，设出

〃1

则4=2,L=1,由韦达定理得：1+2=,1x2=一,

mm

一13

解得：m=-,n=--,

故机一〃=g_(_|)=2.

故选：A

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分)

9.下列命题中，正确的命题是()

122

A.若事件A,8满足P(B|A)=§,P(A)=g,贝：尸(4砌=不

B.设随机变量J服从正态分布N(0,l),若PG>-I)=p,则尸(0<J<l)=?

C.若事件A,8满足0<P(A)<l,0<P(B)<l,P(A&=P(A)[1-P(B)],则A与B独立

D.某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9,方差为11；女生的平均数为7,方差为

8,则该10人成绩的方差为9.5

【答案】AC

【分析】根据条件概率公式判断A,根据正态分布的对称性判断B,根据相互独立事件的定义判断C,根据

方差公式判断D.

【详解】对于A：因为「⑺力一彳了一M一§,.♦.P(AB)=卷，故A正确.

对于B：因为&Ng),Pq>-D=p,则尸(-l<J<0)=p-g,尸(0<g<l)=p-g,故B错误.

对于C：若P(A^)=P(4)[1—P(B)]=P(A)P(L),则A与后独立，则A与8独立,故C正确.

对于D：男生成绩设为玉,七,鼻,工4，三，.•.£X；=5X9=45,

£X,2=460.

;=1

女生成绩设为乙，毛，4/9，%,，=5x7=35,

1=6

22222

8=1[(^-7)+(^-7)^(^-7)+(x9-7)+(xl0-7)]=^fx,-5x7^,

10

.•.Zx；=285.

i=6

10

所以»=35+45=80,

i=l

1101/10\i

则S2=2Z(x，-8)-Zx：T°x82=2(460+285-64x10)=10.5,故D错误.

1U；=i101/=i)10

故选：AC

2，

10.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆土+汇=1的左、右焦点分别为E，K，点A,在椭圆上，且

43

OALOB,则（）

A.当户不在x轴上时，耳心的周长为6

B.使片鸟是直角三角形的点尸有4个

C.<AB<2x/2

7

11_7

D-灰.旅

【答案】ABD

【分析】根据椭圆的焦点三角形即可判断AB,根据坐标运算以及两点间距离公式即可判断D,由D的结论，

结合不等式以及坐标运算即可判断C.

【详解】工+匕=1中a=2,/?=否,c=1,

43

对于A4PF岛的周长为归川+|尸图+忻用=2a+2c=6,故A正确,

对于B,当点尸在椭圆的上下顶点时，此时归耳|=|P闾=|可闻=2,故4PB=60,因此当点尸在椭圆上时,

/月「5不可能为直角，故当△尸耳鸟为直角三角形时，此时尸耳，耳鸟或尸用,月用，故满足条件的P有4

个，故B正确，

设4（%，乂），3（々,必）,由于。4_LO3厕由于0403=玉9+丫］丫2=°」进而得（与9）-=（丫|%『，即可

（西工2）~=9-菅）化简得:（xj+l）=1-宕,

11111111

产k+升x2+y2/x：］

22玉2+3卜工

+3+苣3+^^+3+迂

6+1----

4=44=1442

叱+同+1。明＞122+2网的

|AB|2=1*+侬2=削0川，[0却2)(福■+白■)当当

7〔I*|。也7〔山时叫

I。砰1。14V2T

且仅当即|。4|=|。同时取等号,故|A.又

|OA|2|OB|27

2।号+3需％；(U)+6=7一7,,

|AB|=犬+y；+xj+yj=x2+/2+3—W»故当W，三有一个为

0时，|4B|取最大值为近，故［4即翳匚近，故C错误,

故选：ABD

【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范

围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.另外在解析几何中还要注意

向量的应用，如本题中根据向量垂直得坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用

11.在正方体ABCD-A£Ce中，AB=1,点P满足CP=2C£>+〃CG,其中2e[0,1],//e[0,1],则下列结

论正确的是（）

A.当平面AB。时，4P不可能垂直CQ

B.若与P与平面CGA。所成角为:，则点P的轨迹长度为5

C.当4=1时，正方体经过点A、P、C的截面面积的取值范围为［无，72］

4

D.当2=4时，|'P|+|AP|的最小值为J2+&

【答案】BD

【分析】对A,作出如图空间直角坐标系A-孙z,由向量法结合向量垂直判断即可；

对B,由几何关系得出4P与平面CCQ。所成线面角NBfG,可得GP=1,则点P的轨迹是以C1为圆心,

以1为半径的!个圆；

4

对C,由2=1得点P在乌。上，利用几何关系可得aPAC的面积最值在端点及中点位置:

对D,将平面与平面ABCA沿CR展成平面图形，线段A。即为|£）P|+|AP|的最小值，利用余弦定理

即可求.

【详解】对A,建立如图所示的空间直角坐标系A-型,

z

小I____Pl

上算二二节5

xyBC

则A(0,0,0),8(1,0,0),0(0,1,0),c(l,l,o),A(0,0,1),q(1,1,1),0,(0,1,1),

所以cq=(-i,o,i),4P=4C+CP=4C+%C£>+〃CG=(—

则BA=(T,0/)，BD=(-1,1,0),设平面ABO的一个法向量为”=(x,y,z),

BAn=-x+z=0/、

所以，令x=l,则y=z=l,即平面A即的一个法向量为〃=(1,1,1),若Bf〃平面A9),

BDn=-x+y=0

则“二,=。，即％=〃，

由4PC.=4+〃一1=0,则％=〃=；,即P为CR中点时，有4P〃平面A/。，且与尸_LCQ,A错；

对B,因为用G_L平面CCQQ,连接C，，则即为4P与平面CCQQ所成角，

若用户与平面CCQO所成角为彳，则tanN8f£=^=l,所以孰夕=86=1,

即点P的轨迹是以C1为圆心，以1为半径的!个圆，于是点P的轨迹长度为B对；

对c,因为；1=1,所以点尸一定在马。上，又因为当2=0或1时，△PAC的面积取最大值，此时截面面

积为3,

设的中点为H,由图形的变化可得当点P在。H和。，运动时，所得截面对称相同，于是当〃=；时,

△PAC的面积取最小值正，此时截面面积为渔，C错；

42

对D,如图，将平面CDA与平面ABCR沿CR展成平面图形,

线段4。即为IDPI+IAP的最小值，

3冗

利用余弦定理可知\D-=4。：+0n2—2AR•ORcos==2+忘，

所以/£>=J2+夜，D对.

故选：BD

【点睛】(1)容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题.本题A中，通过线面平行得

线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；

(2)B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；

(3)C中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问

题；

(4)D中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.

12.已知关于x的方程xex-a=O有两个不等的实根力，足，且用<玄，则下列说法正确的有()

X1

A.a>-e~'B.+x2<-2.C.x2<a,D.JC,+e<0

【答案】ABCD

【分析】逐项进行判断，对A,利用导数研究函数/(x)=xe*,转化为丫="与丫=*，有两个不同的交点；

对B,构建函数F(x)=/(》)-/(-2-力，利用导数判断；对C,转化为乡-。=看-。=。(*1)；转化为

x,x2>-a,简单判断即可.

【详解】由x/-a=O=xe"=〃，

令fM=xex,f(x)=ex+xex=(14-x)ex,令/'(x)=0=x=T.

当xv-1时，/'(x)<0,；当x>T时，/r(x)>0,

所以函数fM在(f,-1)单调递减，在(-1,转)单调递增

e

要使方程有两个不等的实根，即y=。与y=xe*有两个不同的交点，

当x<0时，/U)<0,且/(0)=0,所以可知不<-1<々<0

故A正确.

e

由A可知3<T<0，—2—司>一1

构造/(x)=/(x)-/(-2-x)=3^v+(2+x)e-2-x,x<-l,

1(x)=@+l)e、+(-l-x)"2T=(x+l)(e，—e-2T)>0,

AF(x)在上单调递增，二产(%)<F(-l)=0,

.•"(玉)</(一2—王)，BP/(X2)</(-2-X,),由在(-1,茁)单调递增

所以W<-2-%=占+*2<-2,故B正确.

对于C,由占==，—-<«<0,所以x,-a=k-a=a17-1],

e2ee2\e2)

又-1<々<0,所以，->1,则1一1>0,所以诙<“，故C正确.

e为e2

对于D,由

所以X]+e*<0=x,x2+x,e*>0<=>xtx2+a>0<=>xtx0>-a,

而由C知占<。，X.x,<-l,.-.x(x2>-a,D正确.

故选：ABCD.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是得到不<7<%<0,B选项是考查极值点偏移问题，关键在于构

建函数F(x)=/(x)-/(一2-司,对C、D简单化简判断即可.

第n卷(非选择题)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知1(4-2。]的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为.

【答案】2

【分析】先算出〃，再写出通项公式，确定X的次数为整数即可

n

【详解】的展开式有〃+1项，因为仅有第5项的:项式系数最大，所以〃=8

(1\8-r(IY516

*=C；户•一2x2=q-(-2)”17

\7\7

当r=2时冬-粤=-1,当r=8时接一乎=4,符合题意

6666

所以展开式中有理项的个数为2

故答案为：2

14.数列｛叫满足4=2,*=*/(〃,)，则F-=----------------

【答案】置

【分析】由已知整理得誓=/(〃)，先利用累乘法求数列｛4｝的通项，再利用错位相减法求其前2()21项的

和，从而得到结果.

【详解】由a,川=2(〃+2)/§N*)得:%!•=亚察，

a=-^-x&zLx...x&x&xq=2"Tk」—x…x±x3x2]=(N+.

4Tka2atInn-132J'''

设s“=q+%+…+a”，

贝l]£,=2x20+3x21+4x2?+…+“N't+(〃+l)-2'i,

.•.2S,=2x2i+3x22+4x23+...+〃.2"T+(〃+l)-2",

=2+2]+2,+…+2"T-(“+1).2"=2+尘之+=2+2”_2_(〃+l>2"=f-2",

1—2

nn

Sn=n-2,E[14-4-----\-an=n-2,

20212021

S20,,=2021X2,a2O22=2023x2,

.陶必=2023乂2泡_2023

q+%+…+a,0212021x2"11"12021

故答案为：黑.

15.用max{a,。}表示。、b两个数中的最大值，设函数/。)=11^]X,皆。>0),若恒成立，则

m的最大值是.

【答案】2

【分析】1恒成立,即〃力而小山-1,利用分段函数单调性，求函数最小值.

【详解】/(x)=max||x|,-1(x>0),当0<x<l时，!>国；当x=l时，-=|x|；当x>l时，-<|x|.

IXJXXX

JO<A<1

由x>0,|乂=x,f(x)=,x'<A<,图像如图所示，

x,x>1

可得f(x)在(05上单调递减，在[l,y)上单调递增，所以“X)面,=/。)=1,贝1,即mW2,，"的最

大值是2.

故答案为：2

16.在中，BO=2OC，过点O的直线分别交直线AB,AC于M,N两个不同的点，若

AB=mAM,AC=nAN,其中办”为实数，则加?+4/的最小值为

9

【答案】-##4.5

【分析】利用AM,AN表示出A0，再利用M，O，N三点共线得到m=3-2〃，再把旭?+41转化为关于〃的

函数，即可求出最小值.

【详解】BO=2OC>故8A+AO=2OA+2AC，

:.AO=-AB+-AC=—AM+—AN

3333

.M,O,N三点共线，.•.三+彳=1即〃z=3—2〃，

m2+4/=(3-2〃)2+4/J2=8〃2-12〃+9=8("T+|

9

故4+4〃2的最小值为去

故答案为：，9

四、解答题(本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知一ABC的内角的对边分别为a,"c,且acos20-Aos2g=空£.

222

⑴求A；

(2)若点。，E,〃均在边8c上，且AO18C,AE平分/8AC,BM=CM,AO=身叵，AE=—,求

148

AM的长.

【答案】(1)与

⑵叵

2

【分析】(1)根据三角恒等变换符已知等式化简，结合余弦定理整理成/=从+,2+A，再由余弦定理得

cosA=-；,即可得角A的大小：

bc=—(h+c)

(2)解法一：由“1BC的面积公式及已知角度关系可得|，<，再由a-〃+M+bc,可得物'=15.

be----

7

〃+c=8,结合平面向量的线性运算与数量积的性质即可得A)的值，即可得AM的长.

解法二：不妨设A8>AC,由题可得N8AE=NC4£=J,cosZDAE=—=—,

3AE7

则sinND4E=；,结合三角恒等变换及三角形边角关系可得钻,AC长，结合平面向量的线性运算与数量积

的性质即可得AM，的值，即可得AM的长.

,，、k，B人2Aa+ca(l+cosB)0(1+cosA)a+c

【详解】(1)illacos——bcos----.得一^------------------乙=----,

222222

即acosB-bcosA=c+h,

2222

由余弦定理可得q*cr+c-b-_hxb+c-a二,十人，

2ac2bc

整理得/=从+,2+bc.再由余弦定理可得8sA=F+f"2_1

2bc=2

因为4«0,兀)，所以A号.

(2)解法一：由题可得A8C的面积S=LbcsinNBAC=』axAQ=1〃xAEsin^^+

2222

ZBAC

—exAEsin

22

因为NBAC=&，4。=心2AE=—.

3148

,15,,、

Z?c=—(P+CJ

所以结合储=/+/+",得be=15,0+c=8.

,15。

be----

7

uuuri/innuuii\

因为M为BC的中点，所以AM=a(A3+AC),

所以AM2=；(62+C2-A)=；[S+C)2_38C]=:,所以AM=半.

解法二：不妨设4?>AC,由题可得NBAE=NCAE=[cosZD/lE=-=—1

3AE1

则sinNOAE=',所以cosNCW=cos4一/时=；x铝+多齐等

7

c"小4二+/词」述一旦3,

(3J272714

ADAD

所以AC==3,AB=

cosZ.CADcosZBAD

uuuri/Uimuun、

因为M为BC的中点，所以A"=Q(A3+AC),

所以AM2=L(A3+AC2+2AB-AC)=2,所以AM=®.

4\/42

18.在数列｛/｝中/=2,<7n+i=2--,在数列｛%｝中％=1,

q”a2n-lain

(1)求证数列｛成等差数列并求必；

%T

1111cli/八

(2)求t证：一+—++----+—<3----------(n>1).

4a2a2n-\%〃n〃+1

71+1

【答案】(1)证明见解析，q„=—

n

(2)证明见解析

【分析】(1)条件等式两边取倒数化简变形即可；

(2)由累乘法求得生”的通项公式，对不等式进行缩放，结合裂项相消求和即可证明.

【详解】（1）由％”=2-,知4向=%二L

%/

%

即二7-一二=1，数列」一；成等差数列，

%+i-iq“-i[%-iJ

所以一L=-L7+（〃T）xl=〃，所以%=小；

q“Tq「in

（2）由上年=~=外,得稣=/2=（空耳,

。2.7/”出"T"In）

于是%+LJ•绢2・4=（竺^一（号［住T.1=（〃+D2

«2n-lain-ia\\UJ

所以+

%

4a2a2n-\。2n14a3a2n-\/\a2°4“2”,

11

<

+1-J-

n72+1

n+\nn+l

_11

所以一+一十+_1_+X<3_1__L

n〃+1•

19.如图所示,在直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形，DE=2,

平面EDCF_L平面ABCD.

⑴求证：DF〃平面ABE；

（2）在线段BE上是否存在点P,使得直线转与平面3EP所成角的正弦值为逅？若存在，求出线段族的长;

6

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，§或2

【分析】（1）根据面面垂直的性质，可得EDJ■平面A8CD,以所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明。尸〃平面43E.

⑵^P（xl,y„zl）,BP=ABE,则P（l-Z2-2Z2；l）,AP=（--2-2Z22）,利用向量表示出直线心与平面

麻产所成角的正弦值，即可求出尸点，进而得出结论.

【详解】（1）.,四边形EDCR为矩形，

又平面_L平面ABCD,平面EDCFC平面ABCD=CD.

.•.”J"平面ABCD.

在平面ABCD内过点D做DH垂直BC于H点，

则DAD/AOE相互垂直，以。为原点，

D4,£W,OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如图，

则0(0,0,0),A0,0,0),8(1,2,0),矶0,0,2),*—1,2,2).

BE=(-1,-2,2),AB=(0,2,0),DF=(-l,2,2),

设平面ABE的法向量为质=（x,y,z）,

m-BE=0-x-2y+2z=0

则得

mAB=02y=0

取z=l,得机=(2,0,1).

/.DF-m=—2+0+2=0fDF±m-

又。尸二平面ABE,;.DF7平面ABf.

(2)由(1)易知OE=(0,0,2),OF=(-l,2,2),8E=(-l,-2,2),8F=(-2,0,2),

设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),

n-BE=0

假设在线段BE上存在点P，使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为好.

6

设P(xl,yl,zl),BP=ABE,则(七一1,%—2,zj=2(-1-2,2),

解得Xf=1-A,%=2-24Z1=2',

..p(1-42-22,2/1),AP=(-A,2-2A,2A).

・直线4P与平面BEF所成角的正弦值为逅，

n-AP\

-

4M•J(一/)“+(2-2/1)2+(2L)”

解得4=］2或2=:2,

BE=\BE\=7(-1)2+(-2)2+22=3,

2

•.BP/或BP=2.

•••在线段BE上存在点P,使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为好,

2

此时=§或BP=2.

20.某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试.为了解考生的考试情

况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.

A频率

0.030

0.024

0.020

0.012

0.010

0.004

-O35455565758595初我成绩

(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值;

(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布NJ,。?)，其中〃为样本平均数的估计值，b*13,试估计

初试成绩不低于88分的人数；

⑶复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得。分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得。分,

答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为

4

3

后两题答对的概率均为1,且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为匕求y的分布列及均

值.

附：若随机变量X服从正态分布则：P(〃-b<X<〃+b)=0.6827,

P(〃一2cr<X<幺+2cr)=0.9545,尸(〃-3b<X<〃+3cr)=0.9973.

【答案】⑴62

(2)91人

(3)分布列见解析，均值为苧

4

［分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；

(2)由〃+20=62+