2024-2025学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5.4函数的奇偶性学案苏教版必修第一册

5.4函数的奇偶性学习任务核心素养1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．2．会推断函数的奇偶性．(重点)3．驾驭函数奇偶性的运用．(难点)1．借助奇(偶)函数的特征，培育直观想象素养．2．借助函数奇、偶性的推断方法，培育逻辑推理素养.日常生活中常见的对称现象，如漂亮的蝴蝶、建筑……并让学生自己列举生活中对称的实例，你能发觉生活中类似的数学对称美吗？学问点1奇函数与偶函数的概念(1)偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，假如对于随意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．(2)奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，假如对于随意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．假如函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？[提示]定义域关于原点对称．1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称．()(2)偶函数的图象肯定与y轴相交．()(3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数．()(4)奇函数的图象肯定过(0,0)．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×学问点2奇、偶函数的图象性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数肯定是偶函数．(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数肯定是奇函数．2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是()ABCDB[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]类型1函数奇偶性的推断【例1】(1)若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)为________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)(2)推断下列函数的奇偶性．①f(x)＝eq\f(2,|x|)；②f(x)＝eq\r(x＋1)＋ln(1－x)；③f(x)＝eq\r(4－x2)＋eq\r(x2－4)；④f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2).[思路点拨](1)视察图象的对称性．(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(－x)的关系．(1)偶[因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．](2)[解]①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝eq\f(2,|－x|)＝eq\f(2,|x|)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．②定义域要求eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,1－x＞0，))所以－1≤x＜1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．③由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,x2－4≥0，))得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f(±2)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．④由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x≠0且x≠－4，))所以函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]．此时f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)＝eq\f(\r(1－x2),x)，x∈[－1,0)∪(0,1]，所以f(－x)＝eq\f(\r(1－－x2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．推断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．[跟进训练]1．推断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.))[解](1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，－x<0，,0，－x＝0，,－x＋1，－x>0，))即f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,－x－1，x<0.))于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．类型2奇偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出访f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．[解](1)如图所示．(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：依据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画稀奇偶函数图象的问题．[跟进训练]2．如图是函数f(x)＝eq\f(1,x2＋1)在区间[0，＋∞)上的图象，请在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．[解]因为f(x)＝eq\f(1,x2＋1)，所以f(x)的定义域为R.又对随意x∈R，都有f(－x)＝eq\f(1,－x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．类型3利用函数的奇偶性求解析式【例3】(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．[解](1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.))(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)，②(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，即f(x)－g(x)＝eq\f(1,x＋1).②联立①②得f(x)＝eq\f(x,x2－1)，g(x)＝eq\f(1,x2－1).利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．提示：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.[跟进训练]3．(1)已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x(1＋x)，求f(x)；(2)若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值．[解](1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，∴f(－x)＝x(1－x)．∵f(x)为R上的奇函数，∴－f(x)＝x(1－x)，∴f(x)＝－x(1－x)．综上可知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x1＋x，,0，,－x1－x，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,x＝0，,x>0.))(2)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，∴2(m－1)x＝0.∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1.类型4奇偶函数的单调性【例4】已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a1．若f(x)为奇函数，f(3－2a)与f(2[提示]f(3－2a)＝f[－(2a－3)]＝－f(2．f(a－2)＋f(3－2a[提示]由f(a－2)＋f(3－2a)<0得f(a－2)<－f(3－2a)＝f([解]∵f(a－2)＋f(3－2a∴f(a－2)<－f(3－2a∵f(x)为奇函数，∴－f(3－2a)＝f(2∴f(a－2)<f(2a∵f(x)在[0,1)上为增函数，∴f(x)在(－1,1)上单调递增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a－2<1，,－1<2a－3<1，,a－2<2a－3，))解得1<a<2.1．函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上依据奇函数的单调性一样，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要留意函数自身定义域对参数的影响．[跟进训练]4．已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．[解]因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．又f(1－m)<f(m)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2).))解得－1≤m<eq\f(1,2).故实数m的取值范围是－1≤m<eq\f(1,2).1．(多选题)下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝2x2－3C．y＝eq\r(x) D．y＝x3AD[A、D中函数是奇函数，B中函数是偶函数，C中函数是非奇非偶函数．]2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则()A．f(1)>f(2) B．f(1)<f(2)C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能A[∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选A.]3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则肯定可得()A．a<b B．a>bC．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0C[∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴由f(a)<f(b)可得|a|<|b|.]4．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x≥0时，f