吉林省榆树市2025届高二数学第一学期期末调研试题含解析

吉林省榆树市2025届高二数学第一学期期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=12．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B.C. D.3．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示学生甲乙丙丁估算结果（）其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱5．已知命题：，；命题：，.则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.6．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.7．已知空间向量，且与垂直，则等于（）A.－2 B.－1C.1 D.28．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.9．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出值为（）A. B.C. D.10．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（）A.函数在上是增函数B.函数在上是减函数C.是函数的极小值点D.是函数的极大值点11．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（）A. B.C. D.12．直线被圆截得的弦长为（）A.1 B.C.2 D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线：，斜率为且过点的直线与交于，两点，且，其中为坐标原点（1）求抛物线的方程；（2）设点，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值14．若，则___________15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________.16．数列满足，，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到、两点的距离之和为4.（1）求a的值和椭圆C的方程；（2）过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P，Q，求的面积18．（12分）已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值19．（12分）已知，2，4，6中的三个数为等差数列的前三项，且100不在数列中，102在数列中.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.（1）每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？（2）每个学生不都取到自己作业的概率是多少？（3）每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？21．（12分）两人下棋，每局均无和棋且获胜的概率为，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金，（1）分别求以获胜、以获胜的概率；（2）若前两局双方战成，后因为其他要事而终止比赛，间，怎么分奖金才公平？22．（10分）如图所示，在正方体中，点，，分别是，，的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的大小

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意得，双曲线的焦距为，即，又双曲线的渐近线方程为，点在的渐近线上，所以，联立方程组可得，所以双曲线的方程为考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质2、A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A3、D【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,,,所以花瓶的容积，故最接近的是丁同学的估算，故选：D4、D【解析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，则，，，，成等差数列，设公差为，整理上面两个算式，得：，解得，故选：5、C【解析】利用基本不等式判断命题的真假，由不等式性质判断命题的真假，进而确定它们所构成的复合命题的真假即可.【详解】由，当且仅当时等号成立，故不存在使，所以命题为假命题，而命题为真命题，则为真，为假，故为假，为假，为真，为假.故选：C6、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B7、B【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算即可解决.【详解】∵∴∴，解得，故选：B.8、C【解析】建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则根据题意可得，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则.故选：C.9、A【解析】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，计算三个数判断作答.【详解】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，因，，，则，不成立，则，不成立，则，所以应输出的x值为.故选：A10、A【解析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.【详解】由图象可知，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误故选：A11、D【解析】先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，因为为抛物线上一点，，所以点的横坐标为4，当时，，所以，所以的面积为，故选：D12、C【解析】利用直线和圆相交所得的弦长公式直接计算即可.【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以由直线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）（2）为定值6【解析】（1）由题意可知：将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理可知：，，，，求得p的值，即可求得抛物线E的方程；（2）由直线的斜率公式可知：，，，代入，，即可得到：.试题解析：（1）直线的方程为，联立方程组得，设，，所以，，又，所以，从而抛物线的方程为（2）因为，，所以，，因此，又，，所以，即为定值点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.14、【解析】先求出函数的导函数，再求出，即可得出答案.【详解】解：由，得，则，所以，所以，所以.故答案为：.15、【解析】依题意，设所求的双曲线的方程为.点为该双曲线上的点，.该双曲线的方程为：，即.故本题正确答案是.16、【解析】根据递推关系依次求得的值.【详解】依题意数列满足，，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由题意可得a＝2，，求出，从而可求得椭圆方程，（2）由题意可求出的坐标，则可求出直线PQ的方程，然后将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，求出的值，从而可求出的值【小问1详解】由椭圆定义可得2a＝4，所以a＝2，又因点在椭圆C上，所以，解得：，所以a的值为2，椭圆C的方程为【小问2详解】由椭圆的方程可得，，，所以，所以直线PQ的方程为，设，，由可得，所以，，所以，所以18、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解（2）由余弦定理与面积公式，结合基本不等式求解【小问1详解】由己知可得，由，解得：，故的单调递减区间是【小问2详解】，，故，得，由余弦定理得：，得，当且仅当时等号成立，故，面积最大值为19、（1）（2）【解析】（1）确定数列为递增数列，然后由4个数确定等差数列，得通项公式，验证100和102是否为数列中的项得结论；（2）由裂项相消法求和【小问1详解】首先数列是递增数列，当2，4，6为的前三项时，易知此时，100，102都是该数列中的项，不满足题意当，2，6为的前三项时，易知此时，100不是该数列中的项，102是该数列中的项，满足题意所以【小问2详解】因为所以所以.20、（1）（2）（3）【解析】(1)根据列举法列出所有的可能基本事件，进而得出每个学生恰好拿到自己作业的概率；(2)利用对立事件的概念即可求得结果；(3)结合(1)即可得出每个学生拿的都不是自己作业的事件数.【小问1详解】设这三个学生分别为A、B、C，A的作业为a，B的作业为b，C的作业为c，则基本事件为：，则基本事件总数为6，设每个学生恰好拿到自己作业为事件E，事件E包含的事件数为l，所以；小问2详解】设每个学生不都拿到自己作业为事件F，因为事件F的对立事件为E，所以；【小问3详解】设每个学生拿的都不是自己作业为事件G，事件G包含的事件数为2，.21、（1）以获胜、以获胜的概率分别是；（2）分给分别元，元.【解析】（1）以获胜、以获胜，则分别要连胜三局，前三局胜两局输一局，第四局胜利；（2）求出若两局之后正常结束比赛时，的胜率，按照胜率分奖金.【小问1详解】设以获胜、以获胜的事件分别为，依题意要想获胜，必须从第一局开始连胜局，；要想获胜，则前局只能胜局，且第局胜利，故概率;【小问2详解】设前两局双方战成后胜，胜的事件分别为.若胜,则可能连胜局，或者局只胜场，第局胜，故概率；由于两人比赛没有和局，获胜的概率为，则获胜的概率为，若胜,则可能连胜局，或者局只胜场，第局胜，故概率.故奖金应分给元，分给元.22