2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.1第2课时两个计数原理的综合应用跟踪训练含解析新人教A版选修2-3

PAGE第2课时两个计数原理的综合应用[A组学业达标]1．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为()A．15 B．12C．10 D．5解析：分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；其次类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．答案：D2．已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数为()A．125 B．15C．100 D．10解析：若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，要完成该事务，需分步进行：第一步，对于系数a有4种不同的选法；其次步，对于系数b有5种不同的选法；第三步，对于系数c有5种不同的选法．由分步乘法计数原理知，共有4×5×5＝100(个)．答案：C3．若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满意b≤4≤c，则这样的三角形有()A．10个 B．14个C．15个 D．21个解析：当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．答案：A4．把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24解析：摆好的3个座位共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择．依据分步计数原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.故选D.答案：D5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供运用，则不同的染色方法共有()A．48种 B．72种C．96种 D．108种解析：①用四色时AC同色或BD同色．当AC同色时．AC有4种涂色方法．B有3种涂色方法．P有2种涂色方法．D有1种涂色方法．共有4×3×2×1＝24种不同的涂色方法．同理当BD同色时也有24种不同的涂色方法．②用三色时AC同色且BD同色AC有4种涂色方法BD有3种涂色方法P有2种涂色方法共有4×3×2＝24种不同的涂色方法综上所述，共有24＋24＋24＝72种不同的涂色方法．答案：B6．如图所示为一电路图，则从A到B共有________条不同的单支线路可通电．解析：按上、中、下三条线路可分为三类：上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有2×2＝4(条)．依据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8(条)．答案：87．4名同学分别报名参与学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报法有________种．解析：由于每个同学报哪个运动队没有限制，因此，每个同学都有3种报名方法，4个同学全部选完，才算完成这件事，故共有3×3×3×3＝81种不同的报法．答案：818．两人进行乒乓球竞赛，实行五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不怜悯形)共有________种．解析：由题意知，竞赛局数最少为3局，至多为5局．当竞赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种；当竞赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最终一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，所以共有6种情形；当竞赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最终一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以竞赛局数为5局时共有2×6＝12(种)，综上可知，共有2＋6＋12＝20(种)．答案：209．某文艺小组有20人，其中会唱歌的有14人，会跳舞的有10人，从中选出会唱歌与会跳舞的各1人参与演出，且既会唱歌又会跳舞的至多选1人，有多少种不同的选法？解析：第1类，首先从只会唱歌的10人中选出1人，有10种不同的选法，从会跳舞的10人中选出1人，有10种不同的选法，共有10×10＝100种不同的选法；第2类，从既会唱歌又会跳舞的4人中选1人，再从只会跳舞的6人中选1人，共有4×6＝24种不同的选法．所以一共有100＋24＝124种不同的选法．10．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，有多少不同的种植方法.解析：分别用a，b，c代表3种作物，先支配第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再支配其次块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：abc第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．(2)若第三块田放a：aba第四块有b或c2种方法：①若第四块放c：abac第五块有2种方法；②若第四块放b：abab第五块只能种作物c，共1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．[B组实力提升]11.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，比3542大的四位数的个数是()A.360 B．240C.120 D．60解析：因为3542是能排出的四位数中千位为3的最大的数，所以比3542大的四位数是千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120个比3542大的四位数．答案：C12.4位同学参与某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必需从甲、乙两道题中任选一题作答，答对甲题得100分，答错得－100分；答对乙题得90分，答错得－90分．若4位同学的总得分为0，则这4位同学不同的得分状况的种数是()A.48 B．36C.24 D．18解析：分两类：第一类，都选甲题，则两人正确两人错误，全部可能的状况有6种；其次类，都选乙题，则两人正确两人错误，全部可能的状况有6种；第三种，若两人选甲题，两人选乙题，并且一对一错，则全部的状况有6×2×2＝24(种)．综上，这4位同学不同的得分状况的种数为6＋6＋24＝36.答案：B13.成都市的出租车车牌号规定为“川A·T××××”的格式，其中后四位为数字，那么成都市最多可以有________辆出租车．解析：后面四位每一位都可以在0～9这10个数字中任选1个数，且可以重复，故一共可以组成10×10×10×10＝104个车牌号，即最多有104辆出租车．答案：10414.用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法？解析：法一：分类：第一类，A，D涂同色，有6×5×4＝120种涂法，(用三色)其次类，A，D涂异色，有6×5×4×3＝360种涂法，(用四色)共有120＋360＝480种涂法．法二：分步：先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最终涂A，D区域，各有4种涂法，所以共有6×5×4×4＝480种涂法．15.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？解析：完成这件事可分为三类：第一类是个位数字为0的比2000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；其次步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，有3种选法．由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.其次类是个位数字为2的比2000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；其次步，选取百位上的数字，