2024-2025版高中数学第二章数列2.4.1等比数列学案新人教A版必修5

PAGE2.4等比数列第1课时等比数列学习目标1.理解等比数列的定义.(数学抽象)2.驾驭等比数列的通项公式及其应用.(逻辑推理、数学运算)3.了解等比数列与指数函数的关系、能在详细情境中识别数列的等比关系,能利用等比数列解决相应的问题.(逻辑推理、数据分析)必备学问·自主学习导思1.类比等差数列,等比数列是如何定义的?如何定义等比中项?2.类比等差数列的通项公式,等比数列的通项公式怎样?如何推导?1.等比数列的概念一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,用q表示(q≠0).(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必需“从第2项起”.(2)怎样利用递推公式表示等比数列?提示:QUOTE=q(n≥2)或QUOTE=q(q≠0).2.等比中项在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.(1)G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满意的关系式是什么?提示:a与b同号,满意的关系式是G2=ab.(2)假如2,a,4成等比数列,如何求a?答案唯一吗?提示:由QUOTE=QUOTE得a2=8,即a=±2QUOTE,答案不唯一.3.等比数列的通项公式首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an=a1qn-1.(1)等比数列的通项公式是an=2n-1,其图象是由什么样的点组成的?与函数y=2x-1的图象有什么关系?提示:通项公式为an=2n-1的图象是由离散的点构成的,这些离散的点都在函数y=2x-1的图象上.(2)除了课本上采纳的不完全归纳法,你还能用什么方法推导等比数列的通项公式.提示:还可以用累乘法.当n>2时,QUOTE=q,QUOTE=q,…,QUOTE=q,所以an=a1·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE·QUOTE=a1·qn-1.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列肯定是等比数列. ()(2)若G是a与b的等比中项,则G=QUOTE. ()(3)若a,G,b满意G2=ab,则a,G,b肯定是等比数列. ()提示:(1)×.应等于同一个常数.(2)×.G=±QUOTE.(3)×.如0,0,0满意02=0×0,但不是等比数列.2.已知2,b,8是等比数列,则实数b= ()A.6 B.4 C.-4 D.4或-4【解析】选D.因为2,b,8成等比数列,所以b=±QUOTE=±4.3.(教材二次开发:练习改编)等比数列{an}中,a2=2,a5=QUOTE,则公比q=.

【解析】由定义知a2=a1q=2,①a5=a1q4=QUOTE,②所以②÷①得q3=QUOTE,所以q=QUOTE.答案:QUOTE关键实力·合作学习类型一等比数列基本量的运算(逻辑推理、数学运算)1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6A.4 B.3 C.2 D.QUOTE3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=QUOTE,则{an}的通项公式an=.

【解析】1.选C.设公比为q,则QUOTE=QUOTE=q3=-8,则q=-2,则a1=QUOTE=-QUOTE.2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以QUOTE,且q>0,解得a1=QUOTE,q=2,所以公比q=2.3.设等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a3=-2,a1+a3=QUOTE,所以QUOTE两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q为整数可得,q=3,a1=QUOTE.所以an=3n-2.答案:3n-2利用基本量结合方程思想运算(1)a1和q是等比数列的两个基本量,解决本题时,只要求出这两个基本量,其余的量便可以通过通项公式列方程(组)得出.(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中随意三个就能求出另外一个,解题时常列方程(组)来解决.【补偿训练】1.已知等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a1= ()A.1 B.-1 C.3 D.-3【解析】选B.等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a1=QUOTE=QUOTE=-1.2.已知等比数列{an}中,a6=4,a8=8,则a10的值是 ()A.5 B.6 C.14 D.16【解析】选D.依题意,设公比为q,等比数列{an}中,a6=4,a8=8,所以QUOTE=QUOTE=q2=QUOTE=2,又QUOTE=QUOTE=q2=2,所以a10=a8×q2=8×2=16.3.已知a1=QUOTE,an=QUOTE,q=QUOTE,则n=.

【解析】因为a1=QUOTE,q=QUOTE,an=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE×QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以n-1=3,所以n=4.答案:4类型二等比中项的应用(数学运算)【典例】已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.四步内容理解题意条件:b是a,c的等比中项.结论:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.思路探求证明(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2)即可书写表达【证明】b是a,c的等比中项,则b2=ac,且a,b,c均不为零,又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.题后反思本题的关键是用递推法分析出ab+bc与a2+b2和b2+c2的关系.等比中项法证明等比数列“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab(a,b均不为0)”,可以用它来推断或证明三个数成等比数列.1.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是.

【解析】设三边为a,aq,aq2(q>1),由勾股定理(aq2)2=(aq)2+a2,所以q2=QUOTE.较小锐角记为θ,则sinθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与QUOTE的等比中项,则k等于 ()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选B.因为an=(n+8)d,又QUOTE=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去),k=4.【拓展延长】等比中项的留意点1.留意非零.若b2=ac且ac≠0,则a,b,c成等比数列.这里要留意条件ac≠0;若只有条件b2=ac,我们得不到a,b,c成等比数列的结论.2.留意个数.当a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.3.留意从第2项起.在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.【拓展训练】(1)三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c=.

【解析】由题意得2b=a+c①,c2=ab②,由①得c=2b-a③,将③代入②得a=b(舍去)或a=4b,所以c=2b-a=2b-4b=-2b.则a∶b∶c=4∶1∶(-2).答案:4∶1∶(-2)(2)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减安排的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.

【解析】设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得QUOTE,28,28q石,所以QUOTE+28+28q=98,所以q=2或QUOTE.又0<q<1,所以q=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=.

【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125类型三等比数列的推断与证明(逻辑推理、数学运算)角度1利用定义证明等比数列

【典例】已知数列{an}满意a1=1,2an+1=3an+1.证明:{an+1}是等比数列.【思路导引】证明QUOTE为常数,或整体构造证明.【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=QUOTEan+QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE是以QUOTE为公比的等比数列.若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,证明:{an+1}是等比数列.【证明】因为an+1=2an+1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,所以{an+1}是以2为公比的等比数列.角度2已知Sn与an的关系证明等比数列

【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满意Sn=QUOTEan+b(n∈N*,b∈R,b≠0).(1)求证:{an}是等比数列;(2)求证:{an+1}不是等比数列.【思路导引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)考查出数列的前三项进行证明.【证明】(1)因为Sn=QUOTEan+b,所以当n≥2时,Sn-1=QUOTEan-1+b,两式相减得Sn-Sn-1=QUOTEan+b-QUOTEan-1-b,所以an=QUOTEan-QUOTEan-1,所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,故{an}是公比为3的等比数列.(2)由(1)知a1=-2b,所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,(a2+1)2=1+36b2-12b.(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1}不是等比数列.数列{an}是等比数列的推断方法(1)定义法:若数列{an}满意QUOTE=q(q为常数且不为零)或QUOTE=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法:对于数列{an},若QUOTE=an·an+2且an≠0,则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.1.已知数列的前n项和为Sn=2n+a,试推断{an}是否是等比数列.【解析】an=Sn-Sn-1=2n+a-2n-1-a=2n-1(n≥2).当n≥2时,QUOTE=QUOTE=2;当n=1时,QUOTE=QUOTE=QUOTE.故当a=-1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2;当a≠-1时,数列{an}不是等比数列.2.已知数列的前n项和为Sn=2-an.求证数列{an}是等比数列.【证明】因为Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1,所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,所以an+1=QUOTEan.又因为S1=2-a1,所以a1=1≠0.又由an+1=QUOTEan知an≠0,所以QUOTE=QUOTE,所以数列{an}是等比数列.【拓展延长】推断数列为等比数列时,依据定义,是从第2项起,后一项与前一项的比是同一非零常数,需验证n=1时是否成立.【拓展训练】已知数列{an}的前n项和Sn满意关系式lg(Sn+1)=n(n=1,2,…),试证明数列{an}是等比数列.【证明】由已知可得Sn=10n-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(10n-1)-(10n-1-1)=9×10n-1,又当n=1时,a1=S1=9也满意上述通项公式,所以数列{an}的通项公式an=9×10n-1.而当n≥2时,QUOTE=QUOTE=10为一常数,所以数列{an}是等比数列.【补偿训练】数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=QUOTESn,n∈N*.求证:数列QUOTE为等比数列.【证明】因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2×QUOTE,所以QUOTE=2,又QUOTE=QUOTE=1,所以数列QUOTE是以1为首项,2为公比的等比数列.课堂检测·素养达标1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6= ()A.15 B.24 C.32 D.64【解析】选C.设公比为q,由a1=1,a4=8可得公比q=2,故a6=a1q5=32.2.下面四个数列中,是等比数列的是 ()A.q,2q,4q,6q B.q,q2,q3,q4C.q,2q,4q,8q D.QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE【解析】选D.A项不符合等比数列定义;B,C两项中q不等于0时是等比数列,q=0时不是等比数列;D项符合等比数列的定义,公比是QUOTE.3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1=.

【解析】因为12=a3=2a2,所以a2=6.因为6=a2=2a1,所以a1=3.答案:34.已知等比数列{an}的公比为2,若a1+a3=4,则a2=.

【解析】由等比数列{an}的公比为2,a1+a3=4,所以a1(1+22)=4,解得a1=QUOTE,则a2=QUOTE