34　二次函数y=ax2bxc的图象与性质(第1课时)

十九二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第1课时)【A层基础夯实】知识点1y=ax2+k的图象和性质1.函数y=x2+1的图象大致为(B)2.对于二次函数y=2x25,下列说法正确的是(C)A.有最大值5 B.有最大值5C.有最小值5 D.有最小值53.(2024·汕尾质检)下列关于抛物线y=x2+3的说法错误的是(C)A.函数有最大值为3B.函数的对称轴为y轴C.x>0时,y随x的增大而增大D.函数的顶点为(0,3)4.(2024·龙岩期中)若二次函数y=x2+k的图象经过点(1,y1),(3,y2),则y1<y2(选填:“>”“<”或“=”).

5.已知抛物线y=2x2+(m1)x+m+3的对称轴是y轴.(1)求m的值;(2)求出抛物线的表达式并说明抛物线的增减性.【解析】(1)∵抛物线y=2x2+(m1)x+m+3的对称轴是y轴,∴m1=0,∴m=1;(2)∵m=1,∴抛物线的表达式为y=2x2+4,当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大.知识点2y=a(xh)2的图象和性质6.将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3(x+2)2,则这个平移过程正确的是(C)A.向上平移2个单位长度B.向下平移2个单位长度C.向左平移2个单位长度D.向右平移2个单位长度7.对于二次函数y=(x1)2的图象的特征,下列描述正确的是(D)A.开口向上 B.经过原点C.对称轴是y轴 D.顶点在x轴上8.若点A(2,y1),B(1,y2),C(4,y3)在抛物线y=2(x+1)2上,请将y1,y2,y3按从小到大的顺序用“<”连接:y1<y2<y3.

9.已知函数y=4x2,y=4(x+1)2和y=4(x1)2.(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象;(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;(3)试说明:分别通过怎样的平移,可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4(x+1)2和函数y=4(x1)2的图象;(4)分别说出各个函数y值随x变化的规律.【解析】(1)如图所示:(2)y=4x2开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),y=4(x+1)2开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0),y=4(x1)2开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0);(3)y=4(x+1)2由抛物线y=4x2向左平移1个单位得到,y=4(x1)2由抛物线y=4x2向右平移1个单位得到;(4)y=4x2:当x<0时y随着x的增大而减小,当x>0时y随着x的增大而增大;y=4(x+1)2:当x<1时y随着x的增大而减小,当x>1时y随着x的增大而增大;y=4(x1)2:当x<1时y随着x的增大而减小,当x>1时y随着x的增大而增大.【B层能力进阶】10.(2024·广州期中)若点(x1,y1),(x2,y2)在二次函数y=13x2+5的图象上,且0<x1<x2,则A.5<y1<y2 B.5<y2<y1C.y2<y1<5 D.y1<y2<511.(2023·广东中考)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为(B)A.1 B.2 C.3 D.412.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(B)13.已知抛物线y=a(xh)2的形状与抛物线y=2x2的形状相同,且顶点坐标为(2,0),则a+h=0或4.

14.如图,两条抛物线y1=12x2+1与y2=12x21分别经过点(2,1),(2,3),且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为815.已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(xh)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.(1)求直线l的函数表达式;(2)若S△AMP=3,求抛物线的表达式.【解析】(1)设一次函数表达式为y=kx+b,把A(4,0),B(0,4)分别代入表达式得4k+b=0b=4,解得k(2)设M点的坐标为(m,n),∵S△AMP=3,∴12×(41)n=3,解得n把M(m,2)代入y=x+4,即2=m+4,得m=2,∴M(2,2),∵抛物线y=a(xh)2的顶点为P(1,0),可得y=a(x1)2,把M(2,2)代入y=a(x1)2,得2=a(21)2,解得a=2.∴函数表达式为y=2(x1)2.【C层创新挑战(选做)】16.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)经过点P(3,0),Q(1,4).(1)求抛物线的表达式;(2)若点A在直线PQ上,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC.①当Q与A重合时,求C到抛物线对称轴的距离;②若C在抛物线上,求C的坐标.【解析】(1)将P(3,0),Q(1,4)代入y=ax2+c得:0=9a+c4=∴抛物线的表达式为y=12x2+9(2)①过C作CH⊥AB于H,交y轴于G,如图:当A与Q(1,4)重合时,AB=4,GH=1,∵△ABC是等腰直角三角形,∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形,∴CH=AH=BH=12AB∴CG=CHGH=1,而抛物线y=12x2+92的对称轴是y轴(x=0),∴C②过C作CH⊥AB于H,如图:设直线PQ的表达式为y=kx+b,将P(3,0),Q(1,4)代入得:0=3k+b4=∴直线PQ的表达式为y=2x+6,设A(m,2m+6),则AB=2