易错训练：分式和分式方程（解析版）

第十二章分式和分式方程易错训练易错题型一分式值为0时求值，忽略分母不为0例题：（2024上·云南昭通·八年级统考期末）若分式，则x的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据题意可得，即可求解．【详解】解：依题意，，解得：，故选：D．巩固训练1．（2024上·广东云浮·八年级罗定中学校联考期末）分式的值为0，则的值为（

）A．2或 B．或 C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0得到，解之即可得到答案．【详解】解：∵的值为0，∴，解得，故选：D．2．（2023上·内蒙古通辽·八年级统考期末）若分式的值为零，则的值是（

）A．2或 B．2 C． D．4【答案】C【分析】本题考查了分式值为零的条件，当分式的值为0时，分子为0，分母不为0，即可得出答案．【详解】解：根据题意，得，且，解得：且，即故选：C．3．（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．【答案】【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式为零的条件，根据分式有意义分母不为零，分式为零分子为零，分母不为零进行求解即可．【详解】解：①分式有意义，，即，②分式的值为0，，得，故答案为：①；②．4．（2023秋·八年级单元测试）已知分式．(1)若分式无意义，求x；(2)若分式值为0，求x；(3)若分式的值为整数，求整数x的值．【答案】(1)或(2)(3)或4或8【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得，再解即可；（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得，且，再解即可；（3）分式值为整数，将分式变形为，再根据数的整除求解．【详解】（1）解：∵分式无意义，∴，解得：或；（2）∵分式值为0，∴，解得：；（3）∵分式的值为整数，∴或5或或，解得：或8或2或，∵且，∴整数x的值为或4或8．【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．易错题型二整式与分式混合运算易错例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简：．【答案】【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】解：．巩固训练1．（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算：．【答案】【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．【详解】解：．2．（2024·陕西西安·一模）化简：．【答案】【分析】本题考查分式的化简，掌握分式的混合运算法则，即可解题．【详解】解：．3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的通分及运算法则是的关键；（1）先进行分式的通分，在利用同分母分式的减法法则计算，然后进行约分，即可得到答案；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【详解】（1）；，；（2）=．4．（2023上·山东东营·八年级校考期中）计算题：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查分式混合运算，涉及分式加减乘除混合运算、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解决问题的关键．（1）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案；（2）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分，最后通过整式乘法计算即可得到答案；（3）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案；（4）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，因式分解，再将除法转化为乘法，约分，最后通分、利用同分母的分式减法运算计算后约分即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．易错题型三自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0例题：（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值．【答案】，．【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键．【详解】解：，，，，由题意得，且，∴时，原式，．巩固训练1．（2024·陕西西安·一模）先化简，再从，0，中选取适合的数字求这个代数式的值．【答案】，当时，原式【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件得到且，据此得到，最后代值计算即可．【详解】解；，∵分式有意义，∴，∴且，∴当时，原式．2．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值．【答案】，时，原式【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再计算除法运算，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值．【详解】∵，，∴，，∴当时，原式．3．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值．【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据分式有意义的条件得出，代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：，，，，，时，原式．4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）先化简，并从0，，2中选一个合适的数，作为a的值代入求值．【答案】，当时，原式＝1【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握运算顺序是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．【详解】解：，，，且，当时，原式．易错题型四解分式方程不验根例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)无解(2)无解【分析】本题考查了解分式方程；（1）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案；（2）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案．【详解】（1）解：方程两边同乘以得：，解得：，检验：当时，，所以是增根，原方程无解；（2）解：方程两边同乘以得：，解得：，检验：当时，，所以是增根，原方程无解．巩固训练1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】本题主要考查分式方程的求解能力：（1）方程两边同乘以得整式方程，再求解，检验即可；（2）方程两边同乘以得整式方程，再求解，检验即可；【详解】（1）解：，方程两边同乘以得：，解得，，检验：当时，最简公分母，∴是原方程的解；（2）解：方程两边同乘以得：解得，

经检验，是增根，∴原方程无解2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)方程无解(2)【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤求解即可；（2）根据解分式方程的一般步骤求解即可．【详解】（1）解：化为整式方程得，，去括号得，，移项、合并同类项得，，系数化为1得，，检验：把代入，∴是原方程的增根，原方程无解；（2）解：化为整式方程得，，去括号得，，移项、合并同类项得，，检验：把代入，∴是原方程的解．3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．（1）根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解；（2）根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解．【详解】（1）解：，，，，，经检验，是原方程的解，原方程的解为：；（2）解：，，，，，经检验，是增根，原分式方程无解．4．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)无解(2)【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化成整式方程，然后解整式方程，最后检验．（1）方程两边都乘，得，解这个方程得，经检验：是增根，原分式方程无解；（2）方程两边都乘，得，解这个方程得，经检验：是原分式方程的根，原分式方程的解为．【详解】（1），方程两边都乘，得，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，解这个方程，得，经检验：是增根，故原分式方程无解．（2），方程两边都乘，得，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，经检验：是原分式方程的根，故原分式方程的解为：．5．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可．【详解】（1）解：，，，，解得，，经检验，是原分式方程的解；（2）解：，，，解得，，经检验，不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．易错题型五分式方程无解与增根混淆不清例题：（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，则m的值为．【答案】3【分析】本题考查解分式方程，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【详解】解：方程两边都乘，得，∵原方程有增根，

∴最简公分母，解得，当时，，解得．故答案为：3．巩固训练1．（23-24八年级上·河北邢台·期末）若关于的分式方程有增根，则增根是，的值是．【答案】【分析】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先确定最简公分母，令最简公分母为，求出的值，然后把分式方程化为整式方程，再将的值代入整式方程，解关于的方程即可．【详解】解：分式方程的最简公分母为，分式方程有增根，，解得：，增根是，分式方程去分母得：，把代入方程得：，解得：，故答案为：，．2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若分式方程无解，则的值为．【答案】6【分析】本题考查解分式方程和分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解答的关键．先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根为求解a值即可．【详解】解：去分母，得：，则，∵分式方程无解，∴是分式方程的增根，∴，则，故答案为：6．3．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为．【答案】或1【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可．【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：，整理得：，关于的分式方程无解，当时，得，解得，当时，得，解得．∴的值为或1．故答案为：或1．4．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程.(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程无解，求a的值．【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；（3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．易错题型六已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是．【答案】且【分析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可．【详解】解：方程两边同时乘以，根据题意且∴∴∴k的取值范围是且．故答案为：且．巩固训练1．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．解分式方程得：，再根据其解的情况求解即可，注意分母不能为0的条件．掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：，化为整式方程为，解得：．∵该分式方程的解为正