5.1.1 任意角（课件）-高中数学教学资料

三角函数第五章5.1.1任意角5.1任意角和弧度制课程标准核心素养了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.通过对任意角和弧度制的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.栏目索引课前自主预习课堂互动探究随堂本课小结课前自主预习1．角的分类知识点1角的分类及加减运算逆时针顺时针没有2．角的加、减法(1)两角相等：如果两角α、β的旋转方向相同且旋转量相等，就称α＝β.(2)角的加法：设α、β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.(3)角的减法：①把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α.②角的减法：α－β＝α＋(－β)．[微思考]1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不确定，因为角的旋转量和旋转方向不确定，因而角不确定．2．时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________．1．象限角：以角的__________为坐标原点，角的__________为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．2．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．知识点2象限角顶点始边[微体验]下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中错误的序号为________．解析由象限角定义可知①②③④都不正确．答案①②③④1．前提：α表示任意角．2．表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个__________的和．知识点3终边相同的角周角[微体验]思考辨析(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(

)(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(

)(3)终边相同的角的表示不唯一．(

)解析由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确．答案(1)√

(2)√

(3)√

(1)下列说法中，正确的是________(填序号)．①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.课堂互动探究探究一与任意角有关的概念辨析解析(1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．(2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.答案(1)②⑤

(2)－40°[方法总结]判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．[跟踪训练1]写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．解

题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.

(1)下面与－850°12′终边相同的角是(

)A．230°12′

B．229°48′C．129°48′

D．130°12′答案B

解析与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.探究二终边相同角的表示(2)写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．解

直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．∴S中适合－360°≤

β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.[方法总结]在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．[跟踪训练2]在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．解

与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，(1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.

已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．探究三区间角的表示及应用解

(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[变式探究1]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解

在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．[变式探究2]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解

由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β

≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β

≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β

≤n·180°＋105°，n∈Z}即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β

≤n·180°＋105°，n∈Z}．[方法总结]表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角．2．“锐角”，“0°～90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°<α<90°；0°～90°的角是0°≤α<90°；小于90°的角为α<90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．随堂本课小结3．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α