湖北省黄冈、华师大附中等八校2025届数学高二上期末考试模拟试题含解析

湖北省黄冈、华师大附中等八校2025届数学高二上期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）A.1 B.C. D.22．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）A.2 B.4C.6 D.83．随机抽取甲乙两位同学连续9次成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9次成绩，则下列说法正确的是（）A.甲成绩的中位数为33 B.乙成绩的极差为40C.甲乙两人成绩的众数相等 D.甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数4．在等差数列中，，则的公差为（）A.1 B.2C.3 D.45．已知数列为等比数列，则“为常数列”是“成等差数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．抛物线上的一点到其焦点的距离等于（）A. B.C. D.7．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线8．已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若的面积为36，则等于（）A.36 B.24C.12 D.69．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（）A.100 B.15C.80 D.5010．在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（）A. B.C.2 D.311．①“若，则互为相反数”的逆命题；②“若，则”的逆否命题；③“若，则”的否命题.其中真命题的个数为（）A.0 B.1C.2 D.312．已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______14．类比教材中推导球体积公式的方法，试计算椭圆T：绕y轴旋转一周后所形成的旋转体(我们称为橄榄球)的体积为________.15．在中，，，，则此三角形的最大边长为___________.16．已知抛物线的焦点坐标为，则该抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值18．（12分）如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体（1）求该几何体中间一个空心球表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积19．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点．过MN的平面与侧面PBC交于EF（1）求证：；（2）若平面平面ABC，，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值20．（12分）已知等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.21．（12分）已知圆，直线（1）求证：直线与圆恒有两个交点；（2）设直线与圆的两个交点为、，求的取值范围22．（10分）2020年8月，总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前10天剩菜剩饭的重量为：后天剩菜剩饭的重量为：借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，∴，∴，则圆柱的体积，∴，由得，由得，∴当时，取极大值，也是最大值，即故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.2、B【解析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.【详解】如图所示：∵，，三点共线，∴是圆的直径，∴，轴，又为的中点，且点到准线的距离为2，∴，由抛物线的定义可得，故选：B.3、D【解析】按照茎叶图所给的数据计算即可.【详解】由茎叶图可知，甲的成绩为：11，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位数为32，众数为32，平均数为；乙的成绩为：10，22，31，32，35，42，42，50，52，极差为52-10=42，众数为42，平均数为；由以上数据可知，A错误，B错误，C错误，D正确；故选：D.4、A【解析】根据等差数列性质可得方程组，求得公差.【详解】等差数列中,,，由通项公式可得解得故选：A5、C【解析】先考虑充分性，再考虑必要性即得解.【详解】解：如果为常数列，则成等差数列，所以“为常数列”是“成等差数列”的充分条件；等差数列，所以，所以数列为，所以数列是常数列，所以“为常数列”是“成等差数列”的必要条件.所以“为常数列”是“成等差数列”的充要条件.故选：C6、C【解析】由点的坐标求得参数，再由焦半径公式得结论【详解】由题意，解得，所以，故选：C7、D【解析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.【详解】因为到直线的距离等于到点的距离，所以到直线的距离等于到点的距离，所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线故选：D8、C【解析】设抛物线方程为，根据题意由求解.【详解】设抛物线方程为：，因为直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，所以，又P为C的准线上一点，所以点P到直线AB的距离为p，所以，解得，所以，故选：C9、C【解析】按照比例关系，分层抽取.【详解】由题意可知，所以应当抽取的一般员工人数为.故选：C10、A【解析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.【详解】，，由中点坐标公式，得，所以.故选：A11、B【解析】写出逆命题判断①；写出逆否命题判断②；写出否命题判断③.【详解】①:“若，则互为相反数”的逆命题为：“若互为相反数，则”，是真命题；②：“若，则”的逆否命题为：“若，则”.因为当时，有，但不成立.故“若，则”是假命题.③：“若，则”的否命题为：“若，则”.因为当时，有，但是，即不成立.故“若，则”是假命题..故选：B12、B【解析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程.【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为：∴设双曲线：∵双曲线与椭圆有相同的焦点∴，解得：∴双曲线的方程为.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果【详解】如图所示：棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到，设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点，所以，而，同理，故棱锥的体积的为，即棱锥与棱锥的体积之比为故答案为：.14、【解析】类比球的体积公式的方法，将橄榄球细分为无数个小圆柱体叠加起来【详解】设椭圆的方程为：，则令（根据对称性，我们只需算出轴上半部分的体积）不妨设，按照平均分为等份，则每一等份都是相同高度的圆柱体，第1个圆柱体的体积的半径为：第2个圆柱体的体积的半径为：第个圆柱体的体积的半径为：则第个圆柱体的体积为：化简可得：则有：根据可得：当时，则有：故椭圆绕着轴旋转一周后的体积为：而题意中，则椭圆绕着轴旋转一周后的体积为故答案为：15、【解析】可知B对的边最大，再用正弦定理计算即可.【详解】利用正弦定理可知，B对的边最大，因为，，所以，.故答案为：16、【解析】根据题意，求得，得到焦点坐标，结合抛物线的定义，得到，根据，求得，即可求解.【详解】由抛物线的焦点坐标为，可得，解得，设抛物线上的任意一点为，焦点为，由抛物线的定义可得，因为，所以，所以抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是（2）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的公式进行求解，消去参数求出普通方程；（2）设曲线上任一点以，利用点到直线距离公式和辅助角公式进行求解.【小问1详解】因为，所以，即，将，代入，得直线的直角坐标方程是由得曲线的普通方程是【小问2详解】设曲线上任一点以，则点到直线的距离当时，，故曲线上的点到直线的距离的最大值为18、（1）；（2）.【解析】根据旋转体的轴截面图，根据已知条件求球的半径与长，再利用球体、圆锥的面积、体积公式计算即可.【小问1详解】连接，则，设，在中，，；【小问2详解】，∴圆锥球.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意先证明平面PBC，然后由线面平行的性质定理可证明.（2）由平面平面ABC，取BC中点O，则平面ABC，可得，由条件可得，以O坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为M，N分别为AB，AP的中点，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因为平面平面，所以【小问2详解】因为平面平面ABC，取BC中点O，连接PO，AO，因为是等边三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得：，，，，，所以，，，设平面PAC的法向量为，则,则，令，得，，所以，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为20、（1）；（2）.【解析】（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，所以数列的前n项和.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据直线的方程可得直线经过定点，而点到圆心的距离小于半径，故点在圆的内部，由此即可证明结果（2）由圆的性质可知，当过圆心时，取最大值，当和过的直径垂直时，取最小值，由此即可求出结果.【小问1详解】证明：由于直线，即令，解得，所以恒过点，所以，所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点；【小问2详解】解：当过圆心时，取最大值，即圆的直径，由圆的半径，所以的最大值为；当和过的直径垂直时，取最小值，此时圆心到的距离，所以，故的最小值为综上，的取值范围.22、（1）6，4，2；（2）；（3）答案见解析.【解析】（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.【详解】解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），则抽出两人的基本事件为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4