江西省南城县二中2025届数学高二上期末考试模拟试题含解析

江西省南城县二中2025届数学高二上期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°2．直线在y轴上的截距为（）A. B.C. D.3．圆的圆心坐标与半径分别是（）A. B.C. D.4．若，则下列正确的是（）A. B.C. D.5．已知向量，若，则（）A. B.5C.4 D.6．已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（）A.26 B.27C.28 D.297．现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（）斤A.6 B.7C.9 D.158．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则（）A. B.C. D.9．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A. B.C. D.10．椭圆的长轴长是（）A.3 B.6C.9 D.411．设等差数列，前n项和分别是，若，则（）A.1 B.C. D.12．圆心在x轴上且过点的圆与y轴相切，则该圆的方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知球的半径为3，则该球的体积为_________.14．如图将自然数，…按到箭头所指方向排列，并依次在，…等处的位置拐弯．如图作为第一次拐弯，则第33次拐弯的数是___________，超过2021的第一个拐弯数是____________15．函数在区间上的最小值为__________.16．数列满足，，其前n项积为，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为，直线l与椭圆交于两点，求的面积的最大值.18．（12分）某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，为了解城镇居民对治理情况的评价和建议，现随机抽取了200名居民进行问卷并评分（满分100分），将评分结果制成如下频率分布直方图，已知图中a，b，c成等比数列，且公比为2（1）求图中a，b，c的值，并估计评分的均值（各段分数用该段中点值作代表）；（2）根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法抽取了6个居民．若从这6个居民中随机选择2个参加座谈，求所抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率19．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，证明：20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与x轴交于点P．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值21．（12分）已知数列的前项的和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）已知抛物线的准线方程为（1）求C的方程；（2）直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K为的四等分点，L为的中点，M为的四等分点，，取的中点N，易证，则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角，在中，，，故故选：D2、D【解析】将代入直线方程求y值即可.【详解】令，则，得.所以直线在y轴上的截距为.故选：D3、C【解析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.【详解】由题可知，圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3，故选.4、D【解析】根据不等式性质并结合反例，即可判断命题真假.【详解】对于选项A：若，则，由题意，，不妨令，，则此时，这与结论矛盾，故A错误；对于选项B：当时，若，则，故B错误；对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；对于选项D：由不等式性质，可知D正确.故选：D.5、B【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】由于，所以.故选：B6、B【解析】由系统抽样可知抽取一个容量为4的样本时,将48人按顺序平均分为4组,由已知编号可得所求的学生来自第三组,设其编号为,则,进而求解即可【详解】由系统抽样可知,抽取一个容量为4的样本时,将48人分为4组,第一组编号为1号至12号；第二组编号为13号至24号；第三组编号为25号至36号；第四组编号为37号至48号,故所求的学生来自第三组,设其编号为,则,所以,故选:B【点睛】本题考查系统抽样的编号,属于基础题7、D【解析】设该等差数列为，其公差为，根据题意和等差数列的性质可得，进而求出结果.【详解】设该等差数列为，其公差为，由题意知，，由，解得，所以.故选：D8、A【解析】根据黄金双曲线的定义直接列方程求解【详解】双曲线中的，所以离心率，因为双曲线是黄金双曲线，所以，两边平方得，解得或（舍去），故选：A9、D【解析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的表面积为，则，解得，，则圆锥的高，所以圆锥的体积，故选：D.10、B【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B11、B【解析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可【详解】因为等差数列，的前n项和分别是，所以，故选：B12、A【解析】根据题意设出圆的方程，列式即可求出【详解】依题可设圆的方程为，所以，解得即圆的方程是故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据球的体积公式计算可得；【详解】解：因为球的半径，所以球的体积；故答案为：14、①.②.【解析】根据题意得到拐弯处的数字与其序数的关系，归纳得到当为奇数为；当为为偶数为，分别代入，即可求解.【详解】解：由题意，拐弯处的数字与其序数的关系，如下表：拐弯的序数012345678拐弯处的数1235710131721观察拐弯处的数字的规律：第1个数；第3个数；第5个数；第7个数；，所以当为奇数为；同理可得：当为为偶数为；第33次拐弯的数是，当时，可得，当时，可得，所以超过2021第一个拐弯数是.故答案为：；.15、【解析】先对函数求导判断其单调性，然后利用单调性求函数的最小值【详解】解：由，得，当且仅当时取等号，即取等号，因为，所以函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值0，故答案为：016、【解析】根据数列的项的周期性，去求的值即可解决.【详解】由，，可得，，，，，，由此可知数列的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，所以数列的前2022项之积为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）2.【解析】（1）由离心率，得到，再由点在椭圆上，得到，联立求得，即可求得椭圆的方程.（2）设的方程为，联立方程组，根据根系数的关系和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆的离心率，即，可得，又椭圆过点，可得，将代入，可得，故椭圆方程为.（2）设的方程为，设点，联立方程组，消去y整理，得，所以，又直线与椭圆相交，所以，解得，则，点P到直线的距离，所以，当且仅当，即时，的面积取得最大值为2.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.18、（1），，，均值为65.6（2）【解析】（1）根据a，b，c成等比数列且公比为2，得到a，b，c的关系，利用频率之和为1，求出a，b，c，估计评分的均值；（2）利用列举法得到基本事件，求出相应的概率.【小问1详解】由题意得，，，有，所以，即，解得，于是，评分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分别为0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，则均分估计值为【小问2详解】评分在“50～60”和“80～90”分别有40人和20人则所抽取的6个居民中，评分在“80～90”一组有2人，记为A1，A2，评分在“50～60”一组4人，记为B1，B2，B3，B4从这6人中选取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15个其中至少有1个评分在“80～90”的基本事件有9个则所求的概率，即抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率为19、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)对函数求导，把问题转化为导函数值为0的方程有两个正根，再构造函数求解作答.(2)将所证不等式等价转化，构造函数，利用导数探讨其单调性作答.【小问1详解】函数的定义域为，求导得：，依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有两个不等的正根，令，，则，当时，，当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，，因，恒成立，即当时，的值从递减到0(不能取0)，又，有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，因此有，所以a取值范围是.【小问2详解】由(1)知分别是方程的两个不等的正根，，即，作差得，则有，原不等式，令，则，于是得，设，则，因此，在单调递增，则有，即成立，所以.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.20、（1）直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程（2）【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【小问1详解】解：直线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程，曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；小问2详解】直线转