2024-2025学年新教材高中数学3函数的概念与性质3.4函数的应用一课后素养落实含解析新人教A版必修第一册

课后素养落实(二十五)函数的应用(一)(建议用时：40分钟)一、选择题1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套()A．2000双 B．4000双C．6000双 D．8000双D[由5x＋40000≤10x，得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本．]2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点动身并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最终到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，推断正确的是()A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域A[由图象，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.]3．某公司聘请员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x<10，x∈N*，,2x＋10，10≤x<100，x∈N*,1.5x，x≥100，x∈N*.))，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15 B．40C．25 D．130C[令y＝60.若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满意题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．]4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(销售价－进价,进价)×100%))由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于()A．12 B．15C．25 D．50B[设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－x,x)×100%＝\f(r,100)，,\f(a－x1－8%,x1－8%)×100%＝\f(10＋r,100)，))解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.]5．一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么()A．此人可在7s内追上汽车B．此人可在10s内追上汽车C．此人追不上汽车，其间距最少为5mD．此人追不上汽车，其间距最少为7mD[设汽车经过ts行驶的路程为sm，则s＝eq\f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]二、填空题6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.2t2＋108t＋400，t∈N[日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]7．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.2eq\r(3)[设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)(x－2)2＋2eq\r(3)≥2eq\r(3)，这两个正三角形面积之和的最小值是2eq\r(3)8．某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件实惠500元；若一次性购买超过10件，则每件实惠800元．某单位须要购买x(x∈N*，x≤15)件该商品，设购买总费用是f(x)元，则f(x)的解析式是________．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5000x，x∈{1，2，3，4，5}，,4500x，x∈{6，7，8，9，10}，,4200x，x∈{11，12，13，14，15}))[当x≤5，x∈N*时，f(x)＝5000x；当5<x≤10，x∈N*时，f(x)＝(5000－500)x＝4500x；当10<x≤15，x∈N*时，f(x)＝(5000－800)x＝4200x.所以f(x)的解析式是f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5000x，x∈{1，2，3，4，5}，,4500x，x∈{6，7，8，9，10}，,4200x，x∈{11，12，13，14，15}.))]三、解答题9．已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2＋3000，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q)．(1)求f(Q)的解析式；(2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．[解](1)将Q＝100，C＝6000代入C＝aQ2＋3000中，可得1002从而a＝eq\f(3,10)，于是C＝eq\f(3Q2,10)＋3000.因此f(Q)＝eq\f(C,Q)＝eq\f(3,10)Q＋eq\f(3000,Q)，Q>0.(2)因为f(Q)＝eq\f(3,10)Q＋eq\f(3000,Q)≥2eq\r(\f(3,10)Q×\f(3000,Q))＝60，且eq\f(3,10)Q＝eq\f(3000,Q)，即Q＝100时，上述等号成立．因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60.10．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还须要增加投资0.25万元，经预料可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－eq\f(1,2)t2(万元)．(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？[解](1)当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,2)x2))－0.5＋0.25x，0<x≤5，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×5－\f(1,2)×52))－0.5＋0.25x，x>5，))即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋4.75x－0.5，0<x≤5，,12－0.25x，x>5.))(2)当0<x≤5时，f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4.75x－0.5，所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，f(x)最大值＝10.78125(万元)．当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．故当年产量为475件时，当年所得利润最大．1．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是()A．出租车行驶2km，乘客需付费8元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9kmBCD[在A中，出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；在B中，出租车行驶10km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，B正确；在C中，乘出租车行驶5km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；在D中，设出租车行驶xkm时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．]2．一个体户有一批货，假如月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.假如月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货()A．月初售出好 B．月末售出好C．月初或月末售出一样 D．由成本费的大小确定D[设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)．可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．]3．已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从点B动身，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．假如函数y＝f(x)的图象如图(2)所示，则△ABC的面积为________．图(1)图(2)16[由题中图象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，所以AB＝5＋eq\r(52－42)＝5＋3＝8.所以S△ABC＝eq\f(1,2)×8×4＝16.]4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．330[设四边形EFGH的面积为S，则S＝13×3－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)13－x3－x))＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．因为S＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上是增函数，所以当x＝3时，S有最大值为30.]有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝eq\f(1,5)x，Q2＝eq\f(3,5)eq\r(x).今年有3万元资金投入运用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？[解]设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，则Q1＝eq\f(1,5)x，Q2＝eq\f(3,5)eq\r(3－x).所以y＝eq\f(1,5)x＋eq\f(3,5)eq\r(3－x)(0≤x≤3)．令t＝eq\r(3－x)(0≤t≤e