备战2025年高考数学压轴题训练专题10一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数图象及性质)(全题型压轴题)(学生版+解析)

专题10一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数图象及性质）目录TOC\o"1-1"\h\u一、图象识别题 1二、函数切线条数问题 3三、不等式整数解问题 4四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 5五、不等式恒成立问题 7一、图象识别题1．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（

）A． B． C． D．2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．4．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（

）A．B．C．D．二、函数切线条数问题1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（

）A． B．C．或 D．2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（

）A． B． C． D．或3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）A． B．C． D．4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（

）A． B．C． D．四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题1．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值．(1)求；(2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为(1)已知函数，①求函数在点处的曲率的平方；②求函数的曲率的最大值．(2)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．3．（2024·北京房山·一模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设，求函数的极大值；(3)若，求函数的零点个数．4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和(1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围.(2)若函数和有相同的最小值，求的值(3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列5．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．(1)求函数单调区间；(2)若过点可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围．五、不等式恒成立问题1．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为．3．（23-24高三上·山东临沂·期末）已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围．4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数(1)当时，求的单调区间；(2)若恒成立，求的最小值.专题10一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数图象及性质）目录TOC\o"1-1"\h\u一、图象识别题 1二、函数切线条数问题 5三、不等式整数解问题 9四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 13五、不等式恒成立问题 24一、图象识别题1．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】A【优尖升-分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【详解】，因为当时，都为增函数，所以，单调递增，故B，C错误；又因为，所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.故选：A2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【优尖升-分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解.【详解】对于B，当时，，易知，，则，不满足图象，故B错误；对于C，，定义域为，又，则的图象关于轴对称，故C错误；对于D，当时，，由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；检验选项A，满足图中性质，故A正确.故选：A.3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】D【优尖升-分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据在原点附近的函数值的正负可排除BA，即可求解.【详解】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数，对于A，，为偶函数，但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去，对于B,,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合，对于C，，为奇函数，故C不符合，故选：D4．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【优尖升-分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.【详解】由题意得，即，得，且，所以的定义域为；又，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；又，所以排除D．故选：A．5．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（

）A．B．C．D．【答案】D【优尖升-分析】由奇偶函数的定义可判断A，C；由特值法可判断B，D.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，又，，所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项A，C．因为，排除选项B.（另解：当时，，所以，排除选项B）．故选：D．二、函数切线条数问题1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（

）A． B．C．或 D．【答案】D【优尖升-分析】设出切点，求导，得到切线方程，将代入切线方程，得到，故有三个实数根，令，求导，得到其单调性和极值点情况，从而得到不等式，求出答案.【详解】设切点为，则，，故，且切线方程为，因为在切线上，故，整理得，因为过点可作曲线三条切线，故有三个实数根，设，则，由得，或，因为，由得或，此时单调递增，由得，此时单调递减，所以的极大值点为，极小值点为，故要有三个实数根的充要条件为，即，解得.故选：D【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3)已知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（

）A． B． C． D．或【答案】A【优尖升-分析】设切点为，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得有3个解，构造函数，求导分析单调性与极值可得的取值范围.【详解】，设经过点且与曲线相切的切点为，则.又切线经过，故由题意有3个解.化简有，即有3个解.设，则，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.又，，且，，故要有3个解，则.故选：A【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）A． B．C． D．【答案】D【优尖升-分析】设切点为，利用导数的几何意义及条件可得关于的方程有三个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.【详解】由题可得，设切点，则，整理得，由题意知关于的方程有三个不同的解，设，，由，得或，又，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，当时，当时，，且，，函数的大致图像如图所示，因为的图像与直线有三个交点，所以，即.故选：D.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【优尖升-分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.【详解】解：由题意得，设切点为，，，，则过点的切线方程为，整理得，由点在切线上，则，即，因为过直线上一点可以作曲线两条切线，所以关于的方程有两个不等的实数根，即函数与函数的图象有两个交点，，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且，时，；时，，则函数与函数的图象如下图所示：由图可知，，故选：C.三、不等式整数解问题1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【优尖升-分析】根据绝对值的应用寻找方程成立的条件，再利用数形结合求解参数即可.【详解】若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则必有且同时成立，即图象夹在和之间，易知，函数的图象大致如图，结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为，所以，且，解得，故选：B2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【优尖升-分析】画出函数的图像，然后对于不等式，分和以及和进行分析说明得实数的最小值.【详解】函数的图像如下：

不等式恰有两个整数解，①当时，，即，当时，，由于恰有两个整数解，又，则整数解为和，又，因为求最小值，此时就不用考虑了，的最小值为，②当时，对于，则，只考虑，则又时有两个整数解，则不等式的解集中含有多于个整数解，故舍去，综上，实数的最小值是.故选：A.3．（2024·全国·模拟预测）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【优尖升-分析】第一步：将不等式进行合理变形，关于x的不等式恰有一个整数解．第二步：构造函数，研究新函数的性质，作出函数的图象，根据图象求解；【详解】设，，则，当时，，当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减．当时，，当x趋近于时，趋近于0，，直线过点，在同一坐标系中作出直线和函数的图象如图所示．由图象知，要使关于x的不等式恰有一个整数解，则，解得，故选：D．4．（23-24高二下·河南郑州·期末）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【优尖升-分析】数形结合可知，进而可得个整数解分别为，，，，所以，即可解得的取值范围.【详解】

函数与的图像如图所示，可知当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，当，两函数的图像无交点，不等式无整数解，当时，两函数的图像有个交点，不等式无整数解，当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，所以，则，所以不等式的个整数解分别为，，，，，解得，解得，故选：C.5．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【优尖升-分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，由题意可得关于的不等式在上有且只有个整数解，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】因为偶函数满足，则，即，所以，函数是周期为的周期函数，当时，，令，可得.由可得，由可得.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，因为关于的不等式在上有且只有个整数解，则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：

因为，且，又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，则这五个整数解分别为、、、、，所以，，即，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题1．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值．(1)求；(2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．【答案】(1)(2)答案见解析【优尖升-分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a，注意分类讨论.（2）根据（1）可得，，结合大致图象分两种情况进行分析探究即可.【详解】（1）因为，所以．若，则，此时无最小值，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.（2）由（1）知，，故，，且在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，且，所以直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：第一种情况，如图：

设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，直线与的图象交点横坐标从左到右依次为．由图可知且．∵且．∴．同理，且．∴．∴，，又∵，即：．∴．∴．第二种情况，如图：

设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，直线与的图象交点横坐标从左到右依次为．由图可知，，且，，∵且．∴．同理，且．∴．∴，，又∵，即：．∴．∴．综上所述，若直线与和的图象共有四个不同的交点，从左到右四个交点横坐标之间的等量关系为：.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为(1)已知函数，①求函数在点处的曲率的平方；②求函数的曲率的最大值．(2)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．【答案】(1)①；②(2)【优尖升-分析】（1）首先求得，，①代入得，结合曲率公式即可求解；②首先得曲率表达式，进一步通过换元法，构造函数求导即可得解；（2）通过计算得，从而在两个不同的点处曲率为0，等价于有两个大于0的实数解，进一步证明在上单调递增，从而原问题等价于有两个实数解，利用导数研究函数零点即可求解．【详解】（1），，，①由题意，，②由定义知为非负数，由题意得，，∴，令，∴，令，则在上恒成立，在上单调递增，即，，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为．（2），，，因为在两个不同的点处曲率为0，有两个大于0的实数解，有两个大于0的实数解．令，在上单调递增，且值域为，有两个大于0的实数解有两个实数解．令，则，令得，时，，即单调递增；时，，即单调递减；，又时，；时，；图象如下图所示：有两个实数解，．所以的取值范围为．【点睛】关键点点睛：解决（2）的关键是通过同构将原问题转换为有两个实数解，由此即可顺利得解.3．（2024·北京房山·一模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设，求函数的极大值；(3)若，求函数的零点个数．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【优尖升-分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令，则，再分的正负讨论，当时，分离参数可得，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当时，，，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2），则，则，当时，，此时函数无极值；当时，令，则或，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为；当时，令，则或，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，而函数的定义域为，所以此时函数无极值.综上所述，当时，函数无极大值；当时，的极大值为；（3）令，则，当时，，所以时，函数无零点；当时，由，得，所以，则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，且，当时，，如图，作出函数的大致图象，

又，由图可知，所以函数的图象只有个交点，即当时，函数只有个零点；综上所述，若，函数有个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和(1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围.(2)若函数和有相同的最小值，求的值(3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【答案】(1)(2)1(3)存在【优尖升-分析】（1）求导，然后根据导函数不大于零恒成立，转化为最值求解即可；（2）分别求出两函数的最值，根据最值相等构造函数，求导研究函数单调性，进而可得的值；（3）求导研究函数和的单调性，及最值，设出其交点，进而求出三个不同的交点，根据等式可证明等差数列.【详解】（1）恒成立，因为，所以，则的取值范围为；（2）定义域为，，，若，则，单调递增，无最小值，故，当时，，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，故，的定义域为，，，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，故，函数和有相同的最小值，，化为，令，，则，，恒成立，在上单调递增，又，仅有此一解，；（3）（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，设，则，当时，，所以函数在上单调递增，因为，所以当时，恒成立，即在时恒成立，所以时，，因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减，所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为,，此时可作出函数和的大致图象，由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，直线必经过点,，即，因为，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，因为，所以，所以，，成等差数列．存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标.5．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．(1)求函数单调区间；(2)若过点可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增区间是；单调递减区间是(2)【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，解不等式，即可求得函数单调区间；（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，推出方程有三个不等实数根，构造函数，将方程根的问题转化为函数图像的交点问题，利用导数判断函数的性质，作出函数图像，数形结合，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，，令，解得，所以函数的单调递增区间是；令，解得，所以函数的单调递减区间是（2）由题意可得，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得．因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，设，则，当时，在上单调递增；在和上，在和上单调递减，，；当或时，，时，，当时，；当时，，画出的图象如图，要使函数的图像有三个交点，需，即，即实数的取值范围.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于根据过点可以作曲线的3条切线，求解参数的范围，解答时要利用导数的几何意义求出切线方程，即要使得方程有三个不等实数根，构造函数，转化为函数的图像的交点问题，利用导数判断函数性质，数形结合，即可求解.五、不等式恒成立问题1．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【优尖升-分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.【详解】令，即，当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，则当时，，即，不满足题意；当时，令，则，令，则，因为单调递增，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，有最小值，又对