相似三角形（精讲精练）（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

第16讲相似三角形（精讲）

通过实例认识图形的相似。

2.了解比例的基本性质，成比例的线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分

割。

3.了解相似多边形和相似比。

4.掌握平行线分线段成比例。

5.了解相似三角形判定定理。

6.了解相似三角形性质定理。

7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。

8.会利用图形的相似解决一些简单实际问题。

9.利用相似的直角三角形，探究并认识锐角三角函数，知道30°、45°、60°

角的三角函数值。

10.会使用计算器由锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求对应锐角。

11.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题

国考支hl

第16讲相似三角形（精讲）...........................................................1

考点1:平行线分线段成比例.......................................................3

考点2：相似三角形的判定.........................................................14

考点3：相似三角形的性质........................................................21

考点4：与相似三角形有关的证明与计算...........................................26

课堂总结：思维导图..............................................................47

分层训练：课堂知识巩固..........................................................47

考点1:平行线分线段成比例

①比例线段：在四条线段。，b,C,d中，如果。与6的比等于C与d的比，即巴=£,那

ba

么这四条线段。，b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.

②比例的基本性质：(1)基本性质：-=-^ad=bc；(b、存0)

bd

(2)合比性质：2=£(氏d*0)

bdbd

(3)等比性质：-=-=k(h+d+...+n/0)«>a+c+-+m=k_(b、d、…、存0)

bdnb+d+...+n

①平行线分线段成比例定理；

(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若/3〃/4〃/5,则

ABDE

~BC~1EF'

(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

即如图所示，若AB//CD,则——=——.

ODOC

(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

如图所示，若DE〃BC,则

［沁例新

【例题精析1】｛新定义-黄金分割(2021•巴中)两千多年前，古希腊数学家欧多

克索斯发现了黄金分割，即：如图，点尸是线段AB上一点(AP>BP),若满足—,

APAB

则称点P是N8的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台

上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长20米，主持人从

舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是(

)

APB

A.(20-x>=20xB.公=20(20-x)C.x(20-x)=202D.以上都不对

【分析】点尸是48的黄金分割点，且PB<P4,尸8=x，则PZ=20-x,则竺="，

APAB

即可求解.

【解答】解：由题意知，点尸是的黄金分割点，且PB<P4,PB=x,则21=20-x,

(20-x)2=20x,故选：A.

APAB

【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是

解决问题的关键.

【例题精析2】｛比例性质★★｝若@=2=£,a+6+c=18,则。的值为4.

234

【分析】设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案.

【解答】解：设q=^=£=左，则。=2左，6=34，。=44，・・・〃+6+仃=18,即2%+34+4%=18,

234

k=2,

a=2k=4>故答案为：4.

【点评】本题考查比例的性质，设辅助未知数是常用的方法.

【例题精析3】｛比例性质★★）把浓度为20%和30%的两种盐水按1:4的比例混合在

一起，得到的盐水浓度为_28%_.

【分析】设浓度为20%盐水质量为a,浓度为30%盐水质量为4a,然后利用浓度公式计算.

【解答】解：•••浓度为20%和30%的两种盐水的比例为1:4,.•.设浓度为20%盐水质量为a,

浓度为30%盐水质量为4〃，；.混合后的盐水浓度=史史空”=28%.故答案为：28%.

【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、

分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键.

【例题精析4】｛平行线分线段成比例★★｝如图，8。是A48C的中线，点E是8c边

一RF1

上一点，AE交BD于点、F,若BF=FD,则——=___.

CE2

【分析】如图，过点。作。T//NE交于点T.利用平行线等分线段定理，证明

BE=ET=TC即可.

【解答】解：如图，过点D作DT//4E交BC于点、T.

DTHAE,AD=CD,­：ET=TC,EFIIDT,BF=DF,BE=ET,BE=ET=CT,

BE_I

故答案为:

C£-22

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行

线解决问题.

【例题精析5】｛平行线分线段成比例★★｝如图，在A4BC中，D、E分别是边8C、

/C上的点，工。与BE相交于点/，若E为4c的中点，8。：。。=2:3,则//：心的

值是-I-

【分析】过D作DH//AC交BE于H,根据相似三角形的性质即可得到结论

【解答】解：过D作DH//AC交BE于H,

\DHF^MEF,XBDHSABCE,—=——,——=——，•.•若E为ZC的中点，

AEAFCEBC

DFRjT)

:.CE=AE,—=—,-BD:DC=2:3,:.BD:BC=2:5,:.DF:AF=2:5,

AFBC

AF:FD=~.

2

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键.

【例题精析6】｛平行线分线段成比例★★｝如图，在ZU8C中，若。E//8C,EFHCD,

AE=2EC,则4F:PD:D8=_4:2:3_.

【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

【解答】解：•1-EF//CD,AE=2EC,—=2,­：DEIIBC,—=—=2,

ECDFDBEC

,33

设。尸="，则/尸=2加，AD=3m,DB=—m,AF:DF:DB=2m:m:—m=4:2:3.故

22

答案为：4:2:3.

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型.

【例题精析7】｛平行线分线段成比例***｝如图，在ZU8C中，AC=1,BC=4,

。是48的中点，K=90°+-ZC,则CE的长为5.5

2

B

a

AEC

【分析】作BF//DE交4c于F,作乙4cB的平分线交AB于G,得出好CH=XBCH,再

通过线段之间的转化即可得出线段CE的长.

【解答】解：作BF//DE交AC于F,作乙4c8的平分线交48于G,交BF于H,

则=尸8=NC7/尸+1/C.因为/4£。=90。+'/。，所以NCHF=90°=NCHB.

22

又ZFCH=ZBCH,CH=CH.\FCH=\BCH.CF=CB=4,

:.Af=AC-CF=7-4=3.

AD=DB,BF/IDE,AE=EF=1.5,CE=5.5.故答案为：5.5.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的性质问题，能够利用其性质

求解一些简单的计算问题.

盼对豆制珠

【对点精练1】｛比例性质★★｝若土吆=3,则上=_,一

x22x4

【分析】利用比例的性质设x+y=3%,则x=24,用4表示x,y,将x,y的值代入即可

得出结论.

【解答】解：由题意：设x+y=34,则x=2%,x=2上.y=k.：.~^—=—=—.故答案

2x4A4

为：—.

4

【点评】本题主要考查了比例的性质，设x+y=3M贝鼠=2"用字母人表示出x,歹是解

题的关键.

【对点精练2]｛新定义-黄金分割★★｝（2021•德阳）我们把宽与长的比是正匚的矩

2

形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为

取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.己知四边形/8CD是黄金矩形，边48

的长度为石-1,则该矩形的周长为2石+2或4.

【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为3-石，求出矩形的周长即可;

②边为矩形的宽时，则矩形的长为=2,求出矩形的周长即可.

【解答】解：分两种情况：

①边为矩形的长时，则矩形的宽为存1x（石-1）=3-五,

.•.矩形的周长为：2（V5-1+3-A/5）=4；

②边48为矩形的宽时，则矩形的长为：（后一1）+且二1=2,

2

矩形的周长为2（若一1+2）=2有+2；

综上所述，该矩形的周长为26+2或4.

【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键.

【对点精练3】｛平行线分线段成比例★★｝如图，在A4BC中，点。，E分别在边48,

NC上，且丝=3,王=,，射线ED和C8的延长线交于点F,则—的值为

DB2EC2FC3

【分析】过点8作交NC于〃，根据平行线分线段成比例定理求出"，进而求

出里△,再根据平行线分线段成比例定理计算即可.

EC3

【解答】解：过点B作BH//EF交4c于H,

EH1-.■BHUEF,故答案为：1

「・=—

EC3FCEC33

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的

关键.

【对点精练4】｛平行线分线段成比例★★｝如图，A48C中，D为BC上一点,且

8。:。。=2:3,点石为ZO的中点，8E的延长线交4c于/，则丝为-

FC~5

【分析】如图，过点、D作DT//BF交AC于点T.证明力尸=尸7,CT.FT=3:2,可得结

论.

【解答】解：如图，过点。作。77/8/交4c于点T.

.“LL//CTELFCTCD3AF22

vAE=DE,EF/IDT,AF=FT,vDT/IBF,/.==—,/.=---=—,

FTDB2FC2+35

故答案为：

5

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段对应成比例是解题关

键，注意出现中点作平行线是常用的辅助线.

【对点精练5】（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了

分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段A/G,GN,使得其中较长的

一段MG是全长与较短的一段GN的比例中项，即满足"£=丝=正二1,后人

MNMG2

把近二1这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段仞V的“黄金分割”点.如图,

2

在A48c中，己知48=ZC=3,BC=4,若。，E是边8c的两个“黄金分割”点，

则AAftE'的面积为（）

A.10-475B.375-5C.5~2^,D.20-86

2

【分析】作Z“18c于"，如图，根据等腰三角形的性质得到5//=C〃=，8C=2,则根

2

据勾股定理可计算出/，=石，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到

BE=J^BC=2遥-2,则计算出/龙=26-4,然后根据三角形面积公式计算.

2

【解答】解：作4H1BC于H,如图，•.•/8=4C,.•.BH=C〃=1JBC=2,在RtAABH中,

2

AH=依-安=后,'：D,E是边8c的两个“黄金分割”点，

...BE=J^-BC=2（75-1）=275-2,:.HE=BE-BH=2亚-2-2=2后-4,

2

..。£=2〃£=46-8.双的=gx（4后-8）x石=10一4反故选：A.

【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段/C和8aze>8C）,且使/C是

48和8c的比例中项（即48:4C=/C:BC）,叫做把线段黄金分割，点C叫做线段

的黄金分割点.其中4C=近二^8x0.618/8,并且线段Z8的黄金分割点有两个.也考

2

查了等腰三角形的性质.

【对点精练6】｛平行线分线段成比例★★｝如图，A43C三边的中点分别为。，E,

F.连接CD交4E于点G,交E尸于点”，则。G:G，：CH=_2:1:3_.

E

【分析】根据三角形中位线定理得到EF//4B,EF=-AB,证明△CWESACQB,根据相

2

似三角形的性质得到CH=DH,证明\EGH^\AGD,根据相似三角形的性质解答即可.

【解答】解：-：E,F分别为CB、C4的中点，.lEF是M8C的中位线，.•.EF///8,

EF=-AB,

2

HFC'F1HF1

.△CHEsbCDB,一=——=—=一，：.CH=DH,・；AD=DB,—=一，•：EF//AB,

CDDBCB2AD2

FH1

:.\EGHSMGD,——=——=一，:.DG:GH:CH=2:1:3,故答案为：2:1:3.

DGAD2

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、

找准对应关系是解题的关键.

【对点精练7】｛平行线分线段成比例★★｝如图，直线等腰RtAABC的三

个顶点N、B、C分别在直线4、4、4上，N4CB=90°,AC交"于点、D.若人与4

的距离为1,4与4的距离为4,则丝的值是—逑

【分析】作XE，。于后，交4于尸，作84，。于〃，如图，利用平行线之间的距离的

EF=BH=3,AF=\,再证明AJCE=AC8”得到CE=8”=3,则可利用勾股定理计算

出/c,从而得到相=5&,接着利用平行线分线段成比例定理得到C2=££=3,则

CAAE4

CD=-,然后利用勾股定理计算出8。的长，于是可计算出任的值.

4BD

【解答】解：作于后，交"于F,作Ba，。于“，如图，

•••/,///2///3,:.AFll2,:.EF=BH=3,4尸=1,•••AJ8C为等腰直角三角形，

AC=BC,ZACB=90°,•:NACE+/CAE=90°,NACE+ZBCH=90°，,ZCAE=ZBCH,

在\ACE和\CBH中，

'NAEC=NCHB

<NCAE=NBCH,MCE=^CBH(AAS),:.CE=BH=3,在RtAACE中，

AC=CB

£=,32+42=5,

:.AB=42AC=5y/2,-：DF//CE,:.也=里=>,.-.CD=—,在RtABCD中，

CAAE4

4

EH

3

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比

例.也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质.

剧钱囊•收

【实战经典1】（2019•雅安）若。力=3:4,且。+6=14,则的值是（）

A.4B.2C.20D.14

【分析】根据比例的性质得到36=4°,结合。+6=14求得。、b的值，代入求值即可.

【解答】解：由a:6=3:4知3b=4a,所以6=担.所以由a+6=14得到：a+—=14,

33

解得"6.所以6=8.所以2a-b=2x6-8=4.故选：A.

【点评】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积.若巴=£,则ad=bc.

bd

【实战经典2】（2021•阿坝州）如图，直线/1/4/〃3，直线a,b与I-12,4分别交

于点Z,B,C和点O,E,F.若48:BC=2:3,EF=9,则。E的长是（）

A.4B.6C.7D.12

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=再求出答案即可.

【解答】解：AB:BC=DE:EF.•：AB:BC=2:3,EF=9,:.DE=6.故

选：B.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的

比例式是解此题的关键.

【实战经典3】（2021•连云港）如图，BE是A48c的中线，点厂在8E上，延长“尸交

BC于点、D.若BF=3FE,^J—=_-

DC2

GFAF1

【分析】过点E作EG//0C交40于G,可得所以？_=一=_,得到

DCAC2

DC=2GE；再根据AGEESA/)/^,W—=—=-，所以型=2,即g£=3.

DBBF3DB3DC2

4F1

【解答】解：如图，・・・8E是AJ8C的中线，.•.点E是4C的中点，——=-,

AC2

过点E作EG//。。交于G,，/AGE=NADC,/AEG=NC,

GFAF1

:.\AGE^\ADC,—=——=一，/.DC=IGE,vBF=3FE,

DCAC2

FF1

...——=一，vGE//BDNGEF=NFBD,ZEGF=NBDF,

BF3

GEEF_1.DC_23

...AGFES^DFB,器故答案沏

=1，2

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,过点E作EG//OC,构造相似三角形是解

题的关键.

层后做找理

考点2：相似三角形的判定

相似三角形的判定：

(I)两角对应相等的两个三角形相似(.444).

如图，若N4=N。，N8=NE,^lAABC^^DEF.

r(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三

角形相似.如图，若N,4=N。，—,则尸.

DFDE

(3)三边对应成比例的两个三角形相似.如

图，若二二—,则尸.

DEEF

国例4W新

【例题精析1】｛相似的判定★★｝如图，A48。中，4=76。，42=8,ZC=6.将A/18C

沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；3、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，

故本选项符合题意；D、阴影三角形中，N4的两边分别为6-2=4,8-5=3,则两三角

形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意.故选：C.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.

【例题精析2】｛相似的判定★★｝在下列条件中，不能判断与APEF相似的是（

)

B-”且…

A./A=/D,NB=NE

cABBCACD

C.-----=-----=-孤祭且4”

DEEF~DF

【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案.

【解答】解：/、NA=ND,ZB=NE,可以得出A48cs△。2E,故此选项不合题意;

B、—,且N8=NE,不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；

EFDF

C、丝=09=生，可以得出A4BCSAOFE,故此选项不合题意；

DEEFDF

D、——=■—且NZ=ND,可以得出A/BCsAOFE,故此选项不合题意；故选：B.

DEDF

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行

线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）

三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似：（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相

等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

【例题精析3】｛相似的判定★★｝下列说法正确的是（）

A.两个直角三角形相似B.两条边对应成比例，一组对应角相等的两

个三角形相似

C.有一个角为40。的两个等腰三角形相似D.有一个角为100。的两个等腰三角形相似

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可求解.

【解答】解：*■两个直角三角形只有一组角相等，.•.两个直角三角形不一定相似，故选项N

不合题意；

•.•两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，.•.两条边对应成比例，一组对应角相

等的两个三角形不一定相似，故选项8不合题意；•••底角为40。的等腰三角形和顶角为40。的

等腰三角形不相似，

・•・有一个角为40。的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；•.•有一个角为100。的

两个等腰三角形相似，，选项。符合题意，故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

【例题精析4】｛相似的判定★★｝依据下列条件不能判断&48C和AOE尸的相似是（

)

A.4=40。，Z5=80°,Z£=80°,"=60。

B.Z.A-Z.E=45°,AB=\2cni,AC=\5cm,ED=20cm,EF—16cm

C.ZA=Z.D=45°,AB=\2cm,AC=\5cm,ED=16cm,EF=20cm

D.AB=\cm,BC-2cm,CA=1.5cm,DE=6cm,EF=4cm,FD=

【分析】直接根据三角形相似的判定方法对每一选项进行判断即可得出答案.

【解答】解：Z、•••N4=40。，Z8=80°,NC=180°-NZ-Z8=60。，

ZC=ZF,ZB=NE,:.\ABC^\DFE,故此选项不符合题意；

Ar

B、vAB=\2cm,AC=\5cm,ED=20cm,EF=\6cm,—=—且N/=NE,

EFED

BCs^EFD,故此选项不符合题意；C、vAB=\2cm,AC=15cm,ED=20CM,

EF=16cm,

.••丝=江且N/=ZD,不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；

EFED

D、•/AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5cm,DE=6cm，EF=4cm,FD=8cw,

=—=—=:.\ABC^\EFD,故此选项不合题意；故选：C.

EFDEFD4

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行

线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）

三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相

等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

gj对鱼刑珠

【对点精练1】｛相似的判定★★｝如图，已知/1=/2,那么添加一个条件后，仍不能

判定\ABC与MDE相似的是（）

厂ABBCnABAC

A./C=/AEDB.ZB=ZDC/.-D.-----=------

ADDEADAE

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案.

【解答】解：vZl=Z2^DAE=Z.BACA,B,。都可判定AJ8cs△/£）£*

选项。中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C.

【点评】此题考查了相似三角形的判定：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似;

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似;

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似.

【对点精练2】｛相似的判定★★｝如图，在A/I8C中，点。，E分别在边/C上,

与8c不平行,添加下列条件之一仍不能判定A4c8的是（）

「AEDE

D.=C.ZAED=ZBD.NADE=NC

ACABABBC

【分析】由于=则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断.

【解答】解：•;NDAE=NCAB,.•.当NZDE=NC时，\ADE^\ACB■,

AnAf7

当乙4EO=N8时，\ADE^\ACB；当——=——时，\ADE^\ACB.故选：B.

ACAB

【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形

相似；有两组角对应相等的两个三角形相似.

【对点精练3】｛相似的判定★★｝如图，如果=那么添加下列一个条件

后，仍不能确定A4BCSAWE的是（)

DE

C.ZC=NAEDD.—=—

AD~BCADAE

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案.

【解答】解：=,.•.ND4E=NA4C,.•.选项4,C根据两角对应相等判定

\ABC^\ADE,

选项。根据两边成比例夹角相等判定2U8CS/UOE,选项8中不是夹这两个角的边，所以

不相似,

故选：B.

【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这

两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角

形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似.

【对点精练4】｛相似的判定★★｝如图，在矩形488中，M为BC上一前,EM1AM

交工。的延长线于点E.求证：AABMsMMA.

【分析】根据两角对应相等两三角形相似证明即可.

【解答】证明：•.•四边形力88是矩形，.,./Bn90。，AD/IBC,^AMB=ZMAC,

;•AM1ME,ZAME=ZS=90°,\ABM^\EMA.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相

似三角形的判定方法，属于中考常考题型.

【对点精练5】｛相似的判定如图，=,且N1=N2,求证：

^ABCs\AEF.

【分析】由已知条件得到=.则由“两边及夹角法”证得结论.

AEAF

JRAC

【解答】证明：如图，•：ABAF=AE-AC,——=——.又•.•N1=N2,

AEAF

Z2+^BAF=Z1+ABAF,BPABAC=^EAF,\ABC^\AEF.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质应用，关键在于掌握三角形相似的判定定理.

【对点精练6】｛相似的判定如图，BD,CE是A48c的高，连接DE.求证：

AADES^ABC.

【分析】根据相似三角形判定推出AWBS/UEC,推出上=上，再根据乙1=44即可推

AEAC

出\ADESRABC.

【解答】证明：•••3。、CE是高，

A[)AR

ZADB=ZAEC=90°,•/ZA=ZA,MDB^MEC,「.——=——,•/ZJ=ZA,

AEAC

:.\ADE^\ABC.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

二任柒儿疆

【实战经典1]（2021•湘潭）如图，在A48C中，点。，E分别为边NC上的点,

试添加一个条件：—，使得ZUDE与A48C相似.（任意写出一个满足条件的即可）

【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的

两个三角形相似，即可解题.

【解答】解：添加入1DE=NC,

又•.•//=N4,\ADE<^\ACB,故答案为：NADE=NC（答案不唯一）.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键.

岛后叙找理

考点3：相似三角形的性质

相似三角形的性质

(1)对应角相等，对应边成比例.

(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.

学有笔记

国的融我帮

【例题精析1】｛相似的性质★★｝如果两个相似多边形的周长比是2:3,那么它们的面

积比为（）

A.2:3B.4:9C.V2：V3D.16:81

【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平

方计算，得到答案.

【解答】解：•••两个相似多边形的周长比是2:3,.•.这两个相似多边形的相似比是2:3,

.••它们的面积比是4:9,故选：B.

【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解

题的关键.

【例题精析2】｛相似的性质★★｝下列结论正确的是（）

A.所有的矩形都相似B.所有的菱形都相似

C.所有的正方形都相似D.所有的正多边形都相似

【分析】利用相似多边形的判定解决问题即可.

【解答】解：A.所有的矩形对应边比值不一定相等，所以不一定相似，此选项错误；

B.所有的菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误；

C.所有的正方形都相似，故此选项正确；

D.正多边形不一定相似，故此选项错误；故选：C.

【点评】此题考查了相似多边形的识别.判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对

应角相等.两个条件必须同时具备.

【例题精析3】｛相似的性质如图，矩形/8CDS矩形BC/石，且,则

川0:48的值是（）

A.V2:lB.V3:lC.D.

22

【分析】根据相似多边形的性质得到庄=生，整理得到=解一

ADAB

元二次方程得到40、48的关系.

【解答】解：•.•矩形/8C£»s矩形8a芭，，空=空，即‘8-""=任,

ADABADAB

整理得：AD2+AD-AB-AB2=0,则AD=~｝±^AB,AD.=~X+~AB,

212

AD,=-"布AB（舍去），

22

AD:AB=^^-,故选：D.

2

【点评】本题考查的是相似多边形的性质、一元二次方程的解法，掌握相似多边形的对应边

成比例是解题的关键.

【例题精析4】｛相似的性质★★｝如图，\ABC^△A'B'C,和WQ'分别是A/18C

和△/0C的高，若/。=2,A'D'=3,则A48c与的面积的比为（）

【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于

相似比的平方解答.

【解答】解：A/48cs△48'C',工。和分别是A48c和的高，AD=2,

A'D'=3,

...丝=/2=2,.1418。与的面积的比=（与=3,故选：A,

A'B'A'D'339

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三

角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

看OI珠

【对点精练1】｛相似的性质★★｝如图，己知在&48C中，点。、点£是边8c上的两

点，联结X。、AE,且=如果A/18£SACB/,那么下列等式错误的是（）

CDAB=ADACC.AE2=CDBE

D.AB-AC=BECD

【分析】根据相似三角形的性质，由A4BESACA4得至IJ48:8C=8E:48,则可对/选项

进行判断；由A48ESAC8/得到N84E=NC,AAEB=ABAC,则证明△C4£>SACBN,利

用相似三角形的性质得。。：/。=/。：/8,则可对8选项进行判断；证明AC/OS&48E得

到AD:8E=CD:4E：,加I上/。=4£,则可对C选项进行判断；利用ACB/SAJBE得至U

ABAC=AECB,由于/炉=CD•BE,AE#CB,则可对。选项进行判断.

【解答】解：•；AABEsACBA,:.4B:BC=BE:4B,；.AB2=BE-BC,所以“选项的结论

正确；

•:。BEsXCBA,ZBAE=ZC,NAEB=NB4C,AD=AE,:.NADE=NAED,

ZACD=NBCA,

ZADE=ZBAC,■：AADC=ABAC,\CAD^\CBA,CD:AC=AD:AB,即

CDAB=ADAC,所以8选项的结论正确；-：\ABE^\CBA,\CAD^\CBA,

\CAD^\ABE,AD:BE=CD:AE,即ADAE=CDBE,;AD=AE,AE2=CD-BE,

所以C选项的结论正确；v\CBA^\ABE,AC:AE=CB:AB,AB-AC=AECB,

•••AE2=CDBE,AE^CB,AB-ACBE-CD,所以。选项的结论不正确.故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似

三角形（多边形）的周长的比等于相似比.也考查了相似三角形的判定.

【对点精练2】｛相似的性质★★｝如图，\ABC^\DCA,N8=33。，ZD=117°,则

N84。的度数是（）

B