专题5.1 平面向量的概念及线性运算（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题5.1平面向量的概念及线性运算【五大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平面向量的基本概念】 2【题型2向量加、减法的几何意义】 4【题型3向量的线性运算】 6【题型4根据向量线性运算求参数】 7【题型5向量共线定理及其应用】 91、平面向量的概念及线性运算考点要求真题统计考情分析(1)理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义

(2)掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义

(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义2022年新高考全国I卷：第3题，5分2023年全国甲卷（理数）：第4题，5分平面向量是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的概念和平面向量的线性运算主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易，考查形式比较稳定.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线定理的理解.【知识点1平行向量有关概念的归纳】1．平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.【知识点2平面向量线性运算问题的解题策略】1．平面向量线性运算问题的求解思路：(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2．向量线性运算的含参问题的解题策略：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.3．利用共线向量定理解题的策略：(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.(3)若与不共线且，则.(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.【方法技巧与总结】1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则.2．(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.【题型1平面向量的基本概念】【例1】（2024·全国·模拟预测）已知向量a，b为非零向量，则“向量a，b的夹角为180°”是“a//b”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】判断命题“若向量a，b的夹角为180°，则a//b”和命题“若a//b，则向量【解答过程】因向量a，b为非零向量，则当向量a，b的夹角为180°时，a与b方向相反，即a//当a//b时，a与b方向相同或者方向相反，即向量a，所以“向量a，b的夹角为180°”是“a//故选：A.【变式1-1】（2024·北京·三模）若a,b为非零向量，则“aa=bA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】aa=bb表示与【解答过程】依题意a,b为非零向量，aa表示与a同向的单位向量，b则aa=bb表示与a,b共线可能同向共线、也可能反向共线，所以a,故选：B.【变式1-2】（2023·江苏盐城·三模）已知ABCD是平面四边形，设p：AB=2DC，q：ABCD是梯形，则p是q的条件（A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【解题思路】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答过程】在四边形ABCD中，若AB=2则AB∥DC，且AB=2DC，即四边形ABCD为梯形，充分性成立；若当AD，BC为上底和下底时，满足四边形ABCD为梯形，但AB=2故p是q的充分不必要条件.故选：A.【变式1-3】（2024·云南昆明·模拟预测）下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是（

）A．若AD=BC，则四边形B．若AD=13C．若AB=DC，且|ABD．若AB=DC，且AC⊥【解题思路】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.【解答过程】A选项，AD=BC，则AD//B选项，AD=13BC，则C选项，AB=DC，则AB//DC,AB=DC，四边形ABCD是平行四边形；由于D选项，AB=DC，则AB//DC,AB=DC，所以四边形ABCD为平行四边形；由于故选：D.【题型2向量加、减法的几何意义】【例2】（2024·河南开封·三模）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与AB+DC不相等的是（A．2EF B．AC+DB C．EB【解题思路】根据向量的加减法法则结合已知条件逐个分析判断即可【解答过程】因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，所以AE=因为EF=EA所以2EF所以A正确，因为DC=所以DC+因为DC=所以DC+因为FA+所以D错误，故选：D.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）等边三角形ABC的垂心为O，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则AD=（

A．OB+23C．OB+34【解题思路】首先延长BO交AC于点E，根据题意得到E为AC的中点，再利用向量的线性运算计算AD即可.【解答过程】如图所示：延长BO交AC于点E，因为O为等边三角形ABC的垂心，所以E为AC的中点，所以A=AC故选：A.【变式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在△ABC中，AB=4,AC=6，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB中点，AE=12EC，若AP=AD+A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【解题思路】根据题意，可得四边形ADPE为菱形，即可得到AP平分∠BAC，从而得到结果.【解答过程】因为AB=4,AC=6，且D为AB中点，AE=则AD=又因为AP=AD+即AP为菱形ADPE的对角线，所以AP平分∠BAC，即直线AP经过△ABC的内心故选:A.【变式2-3】（2024·广东·模拟预测）等腰△ABC中，∠B=∠C=30°,AB=1，D为线段AB上的动点，过D作DE∥BC交AC于E．过D作DF⊥BC交BC于F，则|2BF+DEA．3 B．23 C．33 【解题思路】根据题意可得△BDF≌△CEG，得到BF=GC，结合|2BF【解答过程】如图所示，根据题意可得△BDF≌△CEG，所以BF=GC，所以2BF=BF故选：A.【题型3向量的线性运算】【例3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列向量关系式中，正确的是（

）A．MN=NM C．AB+CA=【解题思路】由向量加减法的运算规则，验证各选项的结果.【解答过程】MN=−BC=AB+由向量加法的运算法则，有MN+故选：D.【变式3-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知向量a,b，则2aA．a+b C．3a+b【解题思路】直接由向量的线性运算即可求解.【解答过程】由题意2a故选：D.【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，NA+NC=A．NM=−13C．NM=−13【解题思路】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【解答过程】在△ABC中，因为NA+NC=0，所以又因为BM=2MC，所以M为线段BC的靠近所以NM=故选：D．【变式3-3】（2024·四川自贡·一模）如图所示的△ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=（

A．−13ABC．−56AB【解题思路】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【解答过程】DE=1故选：B.【题型4根据向量线性运算求参数】【例4】（2023·宁夏石嘴山·二模）如图，已知△ABC中，D是AB边上一点，若DB=12AD，3CD

A．−2 B．2 C．−1 D．3【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.【解答过程】连接CD，如图所示：

因为DB=所以CD=所以3CD=CA故选：B.【变式4-1】（2023·贵州·模拟预测）已知在△ABC中，点D为边BC的中点，若AD+BC=λAB+μA．1 B．－1 C．2 D．－2【解题思路】结合几何关系，利用向量的线性运算法则即可将AD+BC用【解答过程】因为点D为边BC中点，所以AD+所以λ=−12，μ=3故选：D.【变式4-2】（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，AC与MD相交于点P，若AP=xAB+yAD，则A．23 B．916 C．34【解题思路】利用平行分线段成比例得到APPC【解答过程】因为平行四边形ABCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，AC与MD相交于点P，所以APPC所以AP=34所以x=y=34，故选：B.【变式4-3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）在△ABC中，D是线段BC上一点，满足BD=2DC,M是线段AD的中点，设BM=xAB+yA．x−y=−12 C．x−y=12 【解题思路】利用向量的线性运算，求出BM=−56【解答过程】因为D是线段BC上一点，满足BD=2DC，所以AD=又M是线段AD的中点，所以AM=所以BM=所以x=−56,y=故选：B.【题型5向量共线定理及其应用】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量a，b，则“a//b”是“存在λ∈R，使得a=λA．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【解答过程】当a≠0，b=0时，满足a//当a=λb时，可得所以“a//b”是“存在λ∈R，使得故选：A.【变式5-1】（2024·上海崇明·一模）设O为△ABC所在平面上一点.若实数x、y、z满足xOA+yOB+zOC=0x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件.【解题思路】先由xyz=0得x,y,z中只能有一个为0，假设x=0可得点O在△ABC的边BC所在直线上，满足充分性；若点O在△ABC的边所在直线上，假设在AB上，容易得z=0，必要性满足，则可得答案.【解答过程】∵O为△ABC所在平面上一点，且实数x、y、z满足x∴x若“xyz=0”，则x,y,z中只能有一个为0，否则若x=y=0，得z=0，这与x2假设x=0（y,z不为0），可得yOB=−zOC∴向量OB和OC共线，∴点O在△ABC的边BC所在直线上；若点O在△ABC的边所在直线上，假设在AB上，说明向量OB和OA共线，∴z=0,∴xyz=0，∴“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的充分必要条件.故选：C.【变式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知a,b是平面内两个非零向量，那么“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a+λbA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.【解答过程】若a∥b，则则存在唯一的实数μ≠0，使得a故|a而|a存在λ使得|λ+μ|=|λ|+|μ|成立，所以“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a若λ≠0且|a+λb|=|a|+|λb|，则所以“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a故a∥b”是“存在λ≠0，使得||a故选:C.【变式5-3】（2023·甘肃武威·一模）已知正三角形ABC的边长为6，AP=λAB+μAC，λ∈0,1，μ∈0,1且3λ+4μ=2，则点A．23 B．3 C．33 【解题思路】由AP=32λAD+2μAE结合32λ+2μ=1【解答过程】因为3λ+4μ=2，所以32所以AP=λAB+μAE=12AC，则AP=所以点P在线段DE上运动，显然，当点P与点E重合时，点P到直线BC的距离取得最大值33故选：D.一、单选题1．（2023·北京大兴·三模）设a，b是非零向量，“aa=bb”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【解答过程】由aa=bb表示单位向量相等，则由a=b表示a,所以“aa=b故选：B.2．（2023·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足AB+BC=2AM，则A．12 B．1 C．22 【解题思路】根据几何关系求解.【解答过程】如图，AB+BC=AC=2AM，所以故选：C.3．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD的边长为1，则AB+BC−A．0 B．2 C．22 【解题思路】利用向量运算法则得到AB+【解答过程】AB+因为正方形ABCD的边长为1，所以AC=1+1故AB+故选：C.4．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，点M是BC的中点，则AM=A．23AB−C．AB+12【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.【解答过程】依题意可得AM=1故选：D.5．（2024·广西·模拟预测）在△ABC中，AB=4AD，CE=2ED.若A．λ+μ=5 B．λ−μ=1 C．λμ=6 D．λ【解题思路】将向量AE，CD看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到BC=【解答过程】依题意，AB=4所以BC=又因为CE=2所以BC=−CD所以λ=−3，μ=−2，所以λ+μ=−5，λ−μ=−1，λμ=6，λμ故选：C．6．（2024·福建福州·模拟预测）已知e1⃗,e2⃗是两个不共线的向量，若A．λμ=−2 B．λμ=−2 C．λμ【解题思路】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.【解答过程】依题意，设2e1→所以tμ=2,λ=t，所以λμ=2．故选：D.7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且AB=e1+2eA．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线【解题思路】根据向量a,b共线则【解答过程】对A，因为AB=e1+2e2，BC=−3e1+2e对B，因为AB=e1+2e2，DA=3e1−6e对C，因为AC=AB+BC=−2e1+4e2，对D，因为BC=−3e1+2e2，BD=−DA−AB=故选：C.8．（2024·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则直线A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.【解答过程】设BC的中点为点D，所以OB+则OP−若A,P,O,D四点共线时，即点O,P都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心，若A,P,O,D四点不共线时，AP//OD，且AP=2OD，连结AD,OP，交于点G，如图，AGGD=APOD=2，即点G综上可知，OP经过△ABC的重心.故选：A.二、多选题9．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）下列说法中正确的是（

）A．若a与b都是单位向量，则aB．零向量的长度为零，方向是任意的C．若a与b是平行向量，则aD．若a+b=0【解题思路】根据单位向量、零向量、相等向量和共线向量的定义判断.【解答过程】单位向量a与b的方向不一定相同，故A错；零向量的长度为零，方向任意，故B正确；若a∥b，若a+b=0或a−b故选：BD.10．（2024·辽宁·二模）△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+A．O,P,G三点共线 B．OPC．2OP=AP+BP+【解题思路】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．【解答过程】OP=3OG因为点G为△ABC的重心，所以GA+GB+所以O,P,G三点共线，故A正确，B错误；AP=(AO因为OP=所以(AO+BO因为OP=3所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误；故选：AC．11．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（

）

A．GH=23C．GB=33【解题思路】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案.【解答过程】A选项，由题知BCBD=13，故B选项，由题知CF=2DE，BE=C选项，GB=D选项，因为IC=IB+BC=3故IC=故选：ACD．三、填空题12．（2023·黑龙江·模拟预测）在平行四边形ABCD中，3BE→=ED→，．【解题思路】利用平面向量的线性运算.【解答过程】由平行四边形ABCD,3BE可知BD=4BE，则整理得CE=则CE=−所以2λ+μ=−5故答案为：−513．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是①③.①零向量平行于任意向量；②对于非零向量a,b，若a//③对于非零向量a,b，若a=±④对于非零向量a,b，若a//b，则【解题思路】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.【解答过程】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；对于非零向量a,b，若a//b，则故a不一定等于±b对于非零向量a,b，若a=±b，则a与对于非零向量a,b，若a//b，则a和b是平行向量，也是共线向量，但故选：①③.14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以直角三角形的斜边为边得到的正方形).类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF=AF，点P在AB上，BP=2AP，点Q在△DEF内(含边界)一点，若PQ=λPD+PA，则λ的最大值为【解题思路】先利用向量线性运算得到AQ=λPD，作出辅助线，得到DP//AH，且【解答过程】PQ=λ取DE的中点H，连接AH，因为BD=DE，故BD=2HD，又BP=2AP，所以BPAB=BDBH=所以λ的最大值为32，此时点Q与点H故答案为：32四、解答题15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式：(1)(AB(2)AB−(3)OA−【解题思路】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得.【解答过程】（1）(AB+MB)+(−OB（2）AB−AD−（3）OA−16．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点.(1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量EF共线的向量；(2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量GF模相等的向量；(3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量EG相等的向量.【解题思路】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量EF共线的向量；（2）由向量模相等的概念得到与向量GF模相等的向量；（3）由向量相等的概念得到与向量EG相等的