数字图像处理-第三章-第三节

3.3形态变换形态变换表、规则解析表达非连续连续不光滑光滑线性非线性仿射变换平移变换放缩变换旋转变换欧式变换刚体变换相似变换形态变换是一类将平面区域映射到平面区域的变换，可将一个组合区域映射为另一组合区域，将单个区域映射为一个组合区域，将一个组合区域映射为一个单个区域光滑是指表达变换的矢量场的直到无穷阶的所有偏微分都存在。仅能用表格、规则表达的变换一、形态变换及分类二、一般仿射变换1、投影变换投影变换确定的是投影中的坐标变换。将一个点p投影到另一个点q的投影变换可定义为：如果用矩阵形式可简洁表示为：q=Hpp这是一个通用的非奇异齐次线性变换，即变换矩阵的行列式不为0。它的分块形式：A是一个2×2的非奇异矩阵；ｔ是一个2×1的矢量；矢量V=[v1，v2]T矩阵有9个元素，但只有它们的比例有意义。变换可用8个独立的参数表示，即一般的投影变换有8个自由度。两平面间的投影变换可根据4组点的对应性来计算。2、仿射变换仿射变换是一种特殊的投影变换。仿射变换是一个非奇异的线性变换接上一个平移变换。矩阵表达式为：分块矩阵形式为：一个平面上的仿射变换有6个自由度（4个A中元素，2个t中元素），可根据平面上3组点的对应关系计算。例如：的仿射变换仿射变换的另一种方式：旋转变换＋非各向同性缩放＋平移仿射变换中线性分量A可分解为：R（θ），R（φ）表示旋转θ和φ角度D是对角矩阵：仿射矩阵A：可看作是一个旋转（φ），然后沿X和Y方向放缩λ1和λ2，再旋转回去（－φ），最后再级联一个旋转（θ）。R（θ）：表示旋转θ

，R(－φ)DR(φ):表示非各向同性放缩。φ

：表示放缩方向的角度。λ1和λ2：两方向的放缩参数θθ仿射变换的性质：仿射变换将有限点映射为有限点。仿射变换能建立一对一的关系，而投影变换在将一个平面变换为另一个平面时则不总具备这个性质。仿射变换将直线映射为直线。仿射变换将平行直线映射为平行直线。当区域P和Q是没有退化的三角形（即面积不为0），那么存在一个唯一的仿射变换A可将P映射为Q，即Q=A(P)三、特殊仿射变换1、相似变换：相似变换的矩阵表示：分块矩阵的形式：S（>0）表示各向同性放缩R表示旋转，是一个特殊的2×2正交矩阵，RTR＝RRT＝1,行列式det(R)=1，t=0表示纯旋转，R=1表示纯平移特点：具有保形性（保持形状）或保角性，即一个相似变换可以保持两条曲线在交点处的角度。由于相似变换可保持形状，所以也称为同形变换。即对一个圆环的相似变换总得到一个圆环（虽然圆环可能在另一个位置或者具有另一个尺度）相似变换具有4个自由度，可根据两组点的对应性来计算。与一般的仿射变换相比，相似变换没有非各向同性放缩，比仿射变换少两个自由度，即没有表示放缩方向的角度φ和表示两个放缩参数的比值2、等距变换等距变换在2－D空间保持欧氏距离等距变换可表示为：平面上的等距变换的分块矩阵形式表示为：3、刚体变换刚体变换T能保持区域中两个点间的所有距离。即给定两点，距离，那么必然有4、欧氏变换这种变换在处理平面区域反射的情况很有用。欧氏变换可表达刚体的运动（平移和旋转的组合）。一个欧氏运动是先旋转（可看作特殊的正交变换）后平移的组合刚体变换欧氏变换如果两个区域P和Q是用欧氏运动联系在一起的，即q=Ap+t

和p=A-1(q-t)，其中p∈P，q∈Q，则可说这两个区域是全等的、叠合的或同余的。平面上的欧氏变换有3个参数（3个自由度），可根据两组点的对应性来计算。刚体变换和欧氏变换都是等距变换。等距变换中，如果e=1，那么等距变换能保持朝向且是欧氏变换。如果e=-1，那么将反转朝向，对应刚体变换。欧氏变换是刚体变换的一个特例。刚体变换中R是一个一般的正交矩阵，det(R)=±1。欧氏变换中R是一个特殊的正交矩阵，det(R)=1.四、仿射变换的另一种描述方案仿射变换也可表示成从（x,y）到（x’,y’）的变换:其中，X和Y表示平移。那么：借助旋转变换的形式，可将上两式写为：如果令，则反变换为：系数Mx和My是在X和Y方向上的放缩系数，而Sx和Sy描述了剪切的情况。原图MX=2My=1.5SX=0.5Sy=0.3混合剪切仿射变换会使面积发生变化。例如，一个单位正方形的4个角点的坐标如何受到仿射变换的影响。（0，0）（1，0）（1，1）（0，1）（0，0）MxSxSyMy（Mx+Sx,My+Sy）（Mx,Sy）（Sx,My）剪切造成的变形：一个正方形（图a）受到沿X方向的剪切作用后会变成一个菱形(图b)。其主对角线不再在45度线上（主对角线与水平线的夹角改为41度）。但是这个菱形不是将正方形简单的旋转后的结果，在短对角线方向有所压缩而在长对角线方向有所拉伸。如果将其对角线转回到45度(图c)，可以保持面积不变但不再是正方形。45414145图a图b图c仿射变换（affinetransformation）其中A是变形矩阵，b是平移矢量。在2维空间，A可以按如下的四个步骤分解：尺度、伸缩、扭曲、旋转（1）尺度（2）伸缩（3）扭曲（4）旋转即：图人脸图象和掩膜图象五、变换的层次（相互关系）投影变换仿射变换相似变换等距变换最后一行为[0，0，1]左上角矩阵正交左上角矩阵行列式为1v是零矢量,s=1矩阵A可写成sR尺度s取值为±1投影变换是最一般的变换。等距变换是相似变换的一个特例（让相似变换中的尺度值s=±1）.相似变换是仿射变换的一个特例（让仿射变换中的矩阵A为sR）。仿射变换是投影变换的一个特例（投影变换中矢量V是一个零矢量，尺度s=1）,即投影变换矩阵的最后一行为【0，0，1】，则投影变换退化为仿射变换。仿射变换矩阵的左上角2×2矩阵是正交的，则仿射变换退化为相似变换。当相似变换矩阵的左上角2×2矩阵的行列式为1，即det(A)=1,(如果A是正交，那么|det(R)|=1），则相似变换退化为等距变换。

从矩阵分解看变换层次

一个投影变换矩阵可分解为一系列变换矩阵，其中每个矩阵表示比前一个变换高一个层次的变换矩阵，在低层次上的变换不影响高层次变换的性质。其中，非奇异矩阵A为A=sRK+tvT，K为上三角矩阵(det(K)=k1,1，k2,2，kN,N)，归一化后有det（K）=1，只要u≠0，这个分解就可成立，而只要S>0，则这个分解是唯一的。一个通用的投影变换也可分解为：由上式可得H的逆变换：例如：投影矩阵K，R，t和v的具体数值与上面分解式中取值可能不同。当仅需要部分确定变换时就可使用分解方案。例如，如果要从一个平面的透视图像测量长度比例，那只需要确定一个相似变换。

从变换结果看变换层次以从平面场景获取的具有圆环和正方形（它也提供了平行线）为例，不同变换的失真效果：等距变换：圆环和正方形都不变化形状相似变换：圆环和正方形都不变化形状，平行或垂直的直线仍具有相同的相对朝向仿射变换：圆环变成椭圆，原始互相垂直的直线不再垂直，但原始平行的直线仍平行。投影变换：原始平行的直线变成汇聚的直线。离相机近的正方形比远的正方形的图像大。高层次的变换可使变换对象的形状产生更复杂的变化。等距变换相似变换仿射变换投影变换包括了从只有平移和旋转的欧氏变换，直到能把正方形变换为任意四边形的投影变换（只要每个平面中没有3个点是共线的）。可见在高层次上的变换能产生在低层次上的变换所产生的所有结果。不同变换的不同变量既可以用作用于点或曲线坐标的矩阵形式描述变换，又可以用变换前后所保留的性质（不变量）来描述变换的特点。等距变换中的不变量，有长度（两点间的距离）、角度（两条线间夹角）、面积。相似变换中的不变量可根据欧氏不变量再加上缩放得到。两条线间的夹角不受旋转、平移和缩放的影响，所以相似变换中的不变量也不受旋转、平移和缩放的影响。两点间的距离不是相似变换中不变量，但两个长度的比是不变量，因为长度的放缩被消掉了。面积的比也是一个不变量，因为放缩（的平方）也被消掉了。仿射变换，因为仿射变换包含非各向同性放缩，所以长度比和两条线间的夹角在仿射变换中不再是不变量。但平行性（平行直线变换后仍平行），平行直线段长度的比，面积比都是不变量。最基本的投影变换是4个共线点的交比：直线长度的比在仿射变换中是不变量，但在投影变换中不是。不过，直线长度的交比是投影变换的一个不变量。低层次的变换继承了高层次变换的不变量如果一个量是不变量（如欧氏变