相似三角形-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（解析版）

专题14.相似三角形

一、单选题

1.（2021•浙江温州市•中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2:3,点A,

8的对应点分别为点A,B'.若AB=6,则AB'的长为（）

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【答案】B

【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案.

AR2

【详解】解：•••图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2:3,.•.丁7=一，

A'B'3

A7

,.•48=6，，一^=一,二43'=9故答案为：B.

A'B'3

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

2.（202「四川遂宁市♦中考真题）如图，在AABC中，点£＞、E分别是AB、AC的中点，若的面积是

3c"2,则四边形8DEC的面积为（）

A.12cm2B.9cm2C.6cm2D.3cm2

【答案】B

【分析】由三角形的中位线定理可得OE=LBC,DE//BC,可证△ADESAABC,利用相似三角形的性质,

2

即可求解.

【详解】解：•.,点E分别是边48,AC的中点，，。展上夕。DE//BC,

2

,DE21

△AOEs△ABC,------（^7；）=—,S^ADE=3,S^AHC=12,

、.Be"C4

...四边形BDEC的面积=12-3=9（cz«2）,故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

3.（2021•重庆中考真题）如图，NBC与"EF位似，点。是它们的位似中心，其中OE=2O8,则“BC

A.1：2B.1：4C.I：3D.1：9

【答案】A

【分析】利用位似的性质得OB：OE=i：2,然后根据相似三角形的性质解决问题.

【详解】解：:△ABC与尸位似，点O为位似中心.：.AABC^/\DEF,OB：OE=1：2,

.♦.△ABC与△OEF的周长比是：1：2.故选：A.

【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

4

4.（2021•江苏连云港市•中考真题）如图，△ABC中，BD±AB,BD、AC相交于点。，AD=-AC,

7

AB=2,NABC=15（）°,则△DSC的面积是（）

3V3R9为「36n6G

141477

【答案】A

（分析］过点C作CEL的延长线于点E，由等高三角形的面积性质得到S^c:S”=3：7,再证明

NADB-NACE,解得竺=±,分别求得AE、CE长，最后根据AACE的面积公式解题.

AE7

【详解】解：过点C作C£LAB的延长线于点E，

C

D

AB

43

•.•△DBC与AADB是等高三角形，SADB:SDBC=AD:DC=-AC:-AC=4:3.'.SDBC:SABC=3:7

WB：VAS.#=(料、、啮••爷3

I)

773

AB=2/.AE=-:.BE=--2=-QZABC=150°,/.NCBE=180°-l50°=30°

V222

h49

•-CE=tan30°•BE=—设S^DB~4x，S^BC~・二=^x

是』是.3=巫.故选:A.

42221414

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

5.（2021•浙江绍兴市•中考真题）如图，中，ZBAC=90°,cos8=,，点。是边BC的中点,

4

CE

以A。为底边在其右侧作等腰三角形AOE,使/ADE=NB,连结CE,则上一的值为（）

AD

A.-B.百C.叵D.2

22

【答案】D

【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出AD=5£）=8=LBC,在结合题意可得

2

4BAD=/B=ZADE，即证明AB//0E,从而得出NBA£)=NB=NADE=NCDE,即易证

^ADE^CDE(SAS),得出AE=CE.再由等腰三角形的性质可知4E=CE=OE,

ZBAD二ZB=ZADE=/DAE，即证明△A5£>~AAT>E，从而可间接推出——=—.最后由

ADAB

cosB=—即可求出些的值，即£”的值.

BC4ABAD

【详解】•..在R/AABC中，点。是边8c的中点，AD=BD=CD=1BC,

2

ZBAD=/B=ZADE，二ABIIDE.：.ZBAD=ZB=ZADE=ZCDE,

AD=CD

：.在AADE和ACDE中，，NADE=ZCDE,：.^ADE=^CDE(SAS),：.AE=CE,

DE=DE

•••△4)£为等腰三角形，二4£=。七=。石，NBAD=4B=NADE=NDAE，

.DEADHnCEBD

*••AABZ)-△ADE,•.-------二------,即--------

BDABADAB.

nAB1・AB1CEBD小山心

,/cos3=——=一,——,••---=—=2.故选D

BC49~BD2ADAB

【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角

形的判定和性质以及解直角三角形.熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键.

6.（2021•重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将AQAB以原点。为位似中心放大后得到AOC。，

若8（0,1）,D（0,3），则ACAB与△OC£>的相似比是（）

A.2：1B.1：2C.3：1D.1：3

【答案】D

【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可.

【详解】解：由8、。两点坐标可知：08=1,。。=3；

0B]

△OAB与的相似比等于一=—；故选D.

OD3

【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、

平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出

对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力.

7.（2020广西贵港市•中考真题）如图，在AABC中，点。在AB边上，若6。=3,BD=2,且NBCD=NA,

则线段AO的长为（)

59

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】B

【分析】由NBCD=NA,ZB=ZB,可判定ABCDSABAC,从而可得比例式，再将BC=3,BD=2代

入，可求得BA的长，然后根据AD=BA-BD,可求得答案.

BeBD

【详解】解：；NBCD=/A,ZB=ZB,ABCD^ABAC,；.——=—,

BABC

32995

VBC=3,BD=2,；.BA=-,/.AD=BA-BD=--2=-.故选：B.

BA3222

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

8.（2020•云南昆明市•中考真题）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形

叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6x6正方形网格中作出格点三角形AAOE（不含AABC）,

使得△AOEsaABC（同一位置的格点三角形AAOE只算一个），这样的格点三角形一共有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】C

【分析】根据题意，得出△ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与△ABC各边长成比例的相似三角形,

并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来.

【详解】解：AABC的三边之比为AB：AC：BC=«：&：血，

如图所示，可能出现的相似三角形共有以卜六种情况:

所以使得AADESZ\ABC的格点三角形一共有6个，故选：C.

【点睛】本题考察了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各

边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来.

9.（2020•湖南益阳市•中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是C£>上的一点，AABE是等边三角形，AC

交班于点尸，则下列结论不成立的是（）

A.ZDAE=30°B.ZR4C=45。C.丝=5D.—=2!1

FB2AB2

【答案】B

【分析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法正确；假设NBAC=45。，可得至ljAB=BC,又

AB=BE,所以BE=BC,不成立，所以B说法错误；设EC的长为x,BE=2EC=2x,BC=JL：,证得AECF

-△BAF,根据相似三角形的性质可得，C说法正确；AD=BC=J5X，AB=BE=2X,可得D说法正确.

【详解】解：在矩形ABCD中，AABE是等边三角形，

AZDAB=90°,ZEAB=60°,AZDAE=90o-60°=30°,故A说法正确；

若/BAC=45。，则AB=BC,又：AB=BE,，BE=BC,

在ABEC中，BE为斜边，BE>BC,故B说法错误；

设EC的长为x,易得NECB=30°,BE=2EC=2x,BC=JIx，AB=BE=2x,

EFEC1

VDC/7AB,.".ZECA=ZCAB,VZEFC=ZBFA,/.AECF^ABAF,A—=—=-,故C说法正确；

BFAB2

AD=BC=JJx，，殁=%,故D说法正确.故选：B

AB2

【点睛】本题考查了矩形和等边三角形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握矩形和等边三角形的

性质是解题的关键.

AF2

10.（2020•湖南永州市•中考真题）如图，在△ABC中，EF//BC,—=一，四边形5CEE的面积为21,

EB3

A.—B.25C.35D.63

3

【答案】B

【分析】在AABC中，EF//BC,即可判断AAERSAABC,然后由相似三角形的面积比等于相似比的平

方，即可得出结果.

【详解】解：VEF//BC：.ZAEF=ZB,ZAFE=ZC，^AEF^^ABC

.・空=2.空=2.黑丫」--L^=±

'EB3"AB5''S^ABCI?J25"S四边形BbE21

四边形

SBCFE=21SiAEB=4/.SAABC=25故选：8.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.

11.（2020•海南中考真题）如图，在矩形ABC。中，AB=6,8C=10,点石、E在AO边上，BF和CE交

于点G,若则图中阴影部分的面积为（）

2

A.25B.30C.35D.40

【答案】C

【分析】过G作GNLBC于N,交EF于Q,同样也垂直于DA,利用相似三角形的性质可求出NG,GQ,

以及EF的长，再利用三角形的面积公式可求出ABCG和AEFG的面积，用矩形ABCD的面积减去ABCG的

面积减去AEFG的面积，即可求阴影部分面积.

【详解】解：过作GNLBC于N,交EF于Q,

•四边形ABCD是矩形，/.AD//BC,AD=BC,AAEFG^ACBG,

EF=^AD,.\EF：BC=1：2,/.GN：GQ=BC：EF=2：1,

又•；NQ=CD=6,；.GN=4,GQ=2,ASABCG=x10x4=20,；.SAEFG=；x5x2=5,

VS$BBCDA=6X10=60,；.S叫艰=60-20-5=35.故选：C.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规

则图形的面积的和或差的关系.

12.(2020广西中考真题)如图，在AABC中，BC=120.高AD=6(),正方形EFGH一边在BC上,

点E,尸分别在上，AO交族于点N,则AN的长为()

A.15B.20C.25D.3()

【答案】B

【分析】证明AAEFs/sABC,根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得.

【详解】解：；四边形EFGH是正方形，；.EF〃BC,

EFAN

/.△AEF^AABC,，一=——.设AN=x,则EF=FG=DN=60-x,

BCAD

二"二=j_x=20所以，AN=20.故选：B.

12060

【点睛】本题考查r正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键.

13.（2020•海南中考真题）如图，在oABCZ）中，48=10,4。=15,/84。的平分线交5。于点己交。。

的延长线于点F,BGJ_AE于点G,若8G=8,则△CEF的周长为（）

A.16B.17C.24D.25

【答案】A

【分析】先根据平行四边形的性质说明AABE是等腰三角形、求得BE、EC,再结合BG_LAE,运用勾股定

RF109

理求得AG,进一步求得AE和AABE的周长，然后再说明△ABEs^FCE且相似比为——最后

EC51

根据相似三角形的周长之比等于相似比列方程求解即可.

【详解】解：vCJABCD.\AD//BC,AB//DFAZDAE=ZBEA

ZDAE=ZBAE.\ZBAE=ZBEA.\BE=AB=10,B|JEC=BC-BE=5

VBG±AE/.AG=EG=—AERtAABG中，AB=10,BG=8

2

,AG=NAB。-BG。=J102-82=6；•AE=2AG=12

AAABE的周长为AB+BE+AE=10+10+l2=32

BE102

,.•AB〃DF；.Z\ABEs/\FCE且相似比为一=一=一

EC51

Cr322

...监=7---=-，解得CACEF=16.故答案为A.

L&CEF%CEF1

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质

等知识点，掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解答本题的关键.

14.（2020•云南中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BO相交于点。，E是C£＞的中点，

则ADEO与ABCD的面积的比等于（）

A

D

B匕---乂

I

A.-B.-C.一D.-

2468

【答案】B

【分析】先证明OE//BC,再根据ADEOs^DCB求解即可.

【详解】•.•四边形ABCD是平行四边形，.•.BO=DO,「E是CD的中点，...OE是ADCB的中位线，

.,.OE//BC,OE=—BC,.,.△DEO^ADCB,.,.ADEO：ADCB=-.故选B.

24

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似

三角形的判定与性质是解答本题的关键.

15.（2020•山西中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明.泰

勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，

就是我们所学的（）

A.图形的平移B.图形的旋转C.图形的轴对称D.图形的相似

【答案】D

【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；

【详解】根据题意画出如下图形：可以得到VA3E:NCDE,则坦=02

BEDE

AB即为金字塔的高度，CO即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度

故选：D.

【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.

16.（2020•甘肃天水市•中考真题）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆8E测量建筑物的高度，已知标杆

BE高1.5m，测得AB=1.2m,BC=12.8m,则建筑物CO的高是（）

A.17.5/wB.17mC.16.5/z?D.18m

【答案】A

【分析】先求得AC,再说明AABEs/XACD,最后根据相似三角形的性质列方程解答即可.

【详解】解：AB=1.2m,BC=\2.Sm/.AC=1.2m+12.8m=14m

,Z标杆BE和建筑物CD均垂直于地面.,.BE//CD.,.AABE^AACD

ARATi214

二一=，抑——=—，解得CD=17.5m.故答案为A.

BECD1.5CD

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答

本题的关键.

17.（2020•湖北孝感市•中考真题）如图，点E在正方形A8CQ的边CO上,将AADE绕点A顺时针旋转90。

到AAB/的位置，连接取，过点A作所的垂线，垂足为点H,与BC交于点、G.若BG=3,CG=2,

则CE的长为（）

FI)

【答案】B

【分析】根据正方形性质和已知条件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x,则CE=5-x,CF=5+x,

然后再证明△ABGs^CEF,根据相似•:角形的性质列方程求出x,最后求CE即可.

【详解】解：：8G=3，CG=2；.BC=BG+GC=2+3=5

「正方形ABCD：.CD=BC=5设DE=BF=x,贝ijCE=5-x,CF=5+x

VAH±EF,NABG=NC=90°；.NHFG+NAGF=90°,NBAG+/AGF=90°

/.ZHFG=ZBAG.\AABG^ACEF.".——E=——，即5==3，解得x=±5

FCAB5+x54

,CE=CD-DE=5-.故答案为B.

44

【点睛】本题考查/正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出DE的长

是解答本题的关键.

18.（2020•湖北荆门市•中考真题）在平面直角坐标系X。），中，用AAOB的直角顶点8在y轴上，点4的坐

标为（1,6）,将用AAOB沿直线）'=一%翻折，得到放"'。9，过A'作AC垂直于04,交y轴于点C,

C.(OT)D.(0,-473)

【答案】C

【分析】先求出OA,然后证明△408'64。6，即可得出答案.

【详解】由题意可得AB=1,OB=6，•••△ABC为直角三角形，，OA=2,

由翻折性质可得A'3'=l，OB'=6。4'=2,NA'3'O=90。,

'：ZA'CO+ZA'OC=90°,ZA'OB'+ZA'OC=90°,：.ZA'CO=ZA'OB',

QA'A'R'21

VA'CLOA',NA'3'O=90°,.♦.△A'OB'SAOGV,__=——,即——=-

OCOA'OC2

.•.OC=4,.•.点C的坐标为（0,-4）,故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理，证明△A'O8'SAOC4'是解题关键.

19.（2020•四川泸州市•中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末

比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN

的比例中项，即满足丝色=空=避二I,后人把近二1这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN

MNMG22

的“黄金分割''点.如图，在AMC中，已知AB=AC=3,BC=4,若。，E是边8C的两个“黄金分割”

点,则△ADE的面积为（）

A

A.10-4>/5B.375-5C.5-2"D.20-8^

2

【答案】A

【分析】作AF1_BC,根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD

的长度，得到AADE中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.

【详解】解：过点A作AFLBC,：AB=AC,，BF=LBC=2,

2

在RiAABF,AF=yjAB2-BF2=存二F=M，

•••D是边BC的两个“黄金分割''点，避二!•即2=叵口，解得CD=26一2，

BC242

同理BE=26-2，VCE=BC-BE=4-（275-2）=6-2>/5.DE=CD-CE=46-8,

.".SAABC=-^XDfxAF=-^-x（4-\/5—8jx-\/5=10—4\/5,故选：A.

【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求

出DE和AF的长是解题的关键。

20.（2020•黑龙江哈尔滨市•中考真题）如图，在AABC中，点D在BC上，连接AD,点E在AC上，过

点、E作EF//BC,交AD于点F,过点E作EG〃AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是（）

B*C

F)

AEEFEGEFAFBG>CGAF

1.——D.-----——------

ECCDAB一CD~FD~~GCBCAD

【答案】C

【分析】根据山平行线易得△CEGs^CAB,再根据相似三角形的性质和平行线分线段成

比例定理逐个判断即可.

【详解】解：；EF//BC，.♦.△AEFs/vlCQ,

ECCD-EFFD

—=—=—，故选项A错误；:

ACCDADACCDAD

—,EGCGEC

EG//AB<△C£G0°Z\CAB>---=---=---

ABBCAC

EGCD-EF

,故选项8错误；—=—,故选项O错误;

ABCDBCAD

♦：EFIIBC、・,・丝=空，・・・EG//AB,・••也=娃

FDECCGEC

4/7RG

,故选项正确c.故选：c.

FDCG

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似一角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题

的关键.

21.(2019•内蒙古巴彦淖尔市•中考真题)如图,在平面直角坐标系中，已知A(—3,—2),8((),-2),C(—3,0),M

是线段A3上的一个动点，连接CM,过点Af作MN_LMC交丫轴于点N,若点M、N在直线>="+人

C.-1D.0

【答案】A

【分析】当点M在AB上运动时，MNJ_MC交y轴于点N,止匕时点N在y轴的负半轴移动，定有^AMC

^△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y=kx+b与y轴

交于点N(0,b),此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过

求二次函数的最值得以解决.

【详解】解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，=4480=90°，

AMB\

AQ

又・；MNLMC,:"CMN=90，:.ZAMC=ZMNB:.^AMC〜MBM,：.——=

9MBBN

cc-2x

设BN=y,AM=x.则MB=3—x,ON=2—y----=一,即:

f3-xy

3

221f3

2时，y最大=/x

5

•••直线y="+〃与y轴交于N（O,h）,当BN最大，此时ON最小，点N（o,。）越往上，人的值最大，

97（7A7

.•.。N=。B—BN=2-二=一，此时，N0,一g。的最大值为一一.故选儿

88I8；8

【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；

构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在.

22.（2019•台湾中考真题）如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张

平行四边形纸片.根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）

【答案】D

【分析】如图，设A4DE，ABDF，ACEG,平行四边形DEGF的面积分别为3,邑，S?和S,过点。

作OH//EC,则由。RGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而ADFHmAEGC,

利用面积比等于相似比的平方可求.

【详解】解：如图，设A4DE，ABDF,ACEG,平行四边形0EGF的面积分别为S1，邑，S?和S,

过点D作DH//EC,则由。尸GE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而

△DFH/bEGC,：.SWFH=S3,

S\_9

•:DE//BC，：.AADE^/\ABC,DE=3,BC=7

S/49

・•,SMBC=14,...耳=1*14,...SABZW:S=（；x4）：3=2:3,;.SA曲=|s,

2948

S+S=14——xl4,：.S=—.故选D.

3497

【点睛】本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大.

23.（2019•辽宁鞍山市•中考真题）如图，正方形ABCQ和正方形CGFE的顶点C,D,E在同一条直线上,

顶点B,C,G在同一条直线上.。是EG的中点，/EGC的平分线GH过点。，交BE于点、H,连接尸H

BC-S

交EG于点M,连接0H.以下四个结论：®GHLBE-②丛EHMs丛GHF；③一=V2-1；④•制然•♦=

CG北3

2-、历，其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②④C.①③@D.②③④

【答案】A

【分析】由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出^BCE丝4DCG,推出NBEC+NHDE=90。，从而

得GH_LBE；由GH是NEGC的平分线，得出ABGH也△EGH,再由0是EG的中点，利用中位线定理，

得HO〃BG且HO=」BG；由AEHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE,得出点H

2

在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角定理得出NFHG=NEHF=NEGF=45。，ZHEG=ZHFG,从而证得

△EHM^AGHF；设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,由HO〃BG,得

rrDNHNf…b—2aa'八,,BCrr1

出△DHNsaADGC,即可得出=---,得到------=—,即a-n+2ab-b2=0,从而求得----=<2-1,

DCCG2a2bCG

设正方形ECGF的边长是2b,则EG=2&b,得到HO=&b,通过证得△MHOSAMFE,得到

OM_OH_V2b_V2OMOM1r-,

进而得到定=而标进一步得到

EM-EF-^b_-V

0-1.

,四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，；.BC=CD,CE=CG,ZBCE=ZDCG,

BC=CD

在^BCE和aDCG中，<ZBCE^ZDCG.".ABCE^ADCG(SAS),AZBEC=ZBGH,

CE=CG

VZBGH+ZCDG=90°,ZCDG=ZHDE,/.ZBEC+ZHDE=90°,.-.GH±BE.故①正确；

•.•△EHG是直角三角形，。为EG的中点，.,.OH=OG=OE,.•.点H在正方形CGFE的外接圆上,

VEF=FG,...NFHG=/EHF=/EGF=45。，/HEG=/HFG,AAEHM^AGHF,故②正确；

VABGH^AEGH,，BH=EH,又；O是EG的中点，.,.HO/7BG,

DNHN

.,.△DHN^ADGC,——=——设EC和OH相交于点N.

DCCG

b2a々

设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,.」一一"二£_

2a2b

即a2+2ab-b2=0,解得：a=b=(-1+0)b,或a=(-1-0)b(舍去)，

....-y/2—1........->/2—1故③正确：

2bCG

,.,△BGH^AEGH,；.EG=BG,：HO是AEBG的中位线，AHO=-BG,?.HO=-EG,

22

设正方形ECGF的边长是2b,；.EG=2逝b,.\HO=&b,

；.OH〃EF,AAMHOAMFE,...2^1=2H==也,

VOH/7BG,CG〃EF,

EMEF2b2

••.EM—,OMOM1夜rrfF=gFT

s

•；EO=GO,...SAHOEMSAHOG,.,.詈"=0-1故④错误，故选A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得

两个三角形的边长的比是解决本题的关键.

24.（2019•辽宁盘锦市•中考真题）如图，点P（8,6）在^ABC的边4c上，以原点。为位似中心，在第一

象限内将AABC缩小到原来的得到点P在4c上的对应点P的的坐标为（）

2

【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对

应点的坐标的比等于k或-k,进而结合已知得出答案.

【详解】..,点P（8,6）在AABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将^ABC缩小到原来

的!，得到AABC,.•.点P在AC上的对应点F的的坐标为：（4,3）.故选A.

2

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键.

二、填空题

25.（2021•浙江金华市•中考真题）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P

处安装一平面镜，与刻度尺边的交点为。，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在上形成一

个光点E.已知AB_LBC,MN_L8C,AB=6.5,BP=4,PD=8.

的长为.（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC（如图2）,点

P的对应点为P',BC与MN的交点为D',从A点发出的光束经平面镜产反射后，在MN上的光点为E'.若

"7=5,则EE的长为.

【答案】13g23

2

【分析】（1）由题意，证明△ABPS/XEDP,根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；

（2）过A作A”_LBN交*3延长线于“，过E，作EF_LBN于F,设E'0=x£7y=5+x,在放中，由勾股

定理。方=12,可证户,4/=6,BH=2.5,E'F=60；⑵,9=25；5x,从人

66.5

点发出的光束经平面镜P反射后，在上形成一个光点E：丛60+12X=C25+5x,

“HP'sE'FP',------y-------

1313

解得F1.5.

【详解】解：（1）由题意，•：ABVBC,MNLBC,：.ZABP^ZEDP=9Q°,

•.•从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.NAP3=NEF>£），

△AB/>coAED/->,---=---,1.|1---=-,ED=13；故答案为：13.

EDDPED8

（2）过A作AHI.BN交NB延长线于H,过E作E'FYBN于F,设E'D^x,E'D^5+x,

在RtABDN中，；BD=12,。少=5,由勾股定理。'8=^^:万济=^'=13，

ZAHB=ZABD=ZE'FN^ZBDD'=90°,：.ZABH+ZDBD'=ZDBD'+ZDD'B=ZFE'D+ZE'D'F,

：.ZABH=ZBD'D=AE'D'F,：./\ABH^^BD'D^/XE'D'F,

ABAHBH.6.5AHBH5+xE'FFD'

>,.=---=----

BD'BDDD'BD'BDDD'1312