2025届广西防城港市高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2025届广西防城港市高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数图象如图所示,则的解析式可以为A. B.C. D.2．已知双曲线上点到点的距离为15，则点到点的距离为（）A.9 B.6C.6或36 D.9或213．已知集合，，若，则＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}4．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（）A. B.C. D.5．若函数的图象如图所示，则函数的导函数的图象可能是（）A. B.C D.6．已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.87．过点且平行于直线的直线方程为（）A. B.C. D.8．若一个正方体的全面积是72，则它的对角线长为（）A. B.12C. D.69．双曲线的左焦点到其渐近线的距离是（）A. B.C. D.10．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A. B.C. D.11．椭圆的长轴长是（）A.3 B.4C.6 D.812．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A.4 B.2C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，向量，，，且，，则___________.14．在等比数列中，，，则公比________.15．将连续的正整数填入n行n列的方阵中，使得每行、每列、每条对角线上的数之和相等，可得到n阶幻方.记n阶幻方每条对角线上的数之和为，如图：，那么的值为___________.16．若椭圆和圆（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值18．（12分）一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果:转速(转/秒)1615129每小时生产有缺陷的零件数（件）10985通过观察散点图，发现与有线性相关关系:（1）求关于的回归直线方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内?(参考:回归直线方程为，其中，）19．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，三个顶点（左、右顶点和上顶点）构成的三角形的面积为，离心率为方程的根.（1）求椭圆方程；（2）椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，如图，若这个平行四边形面积为，求平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积.20．（12分）已知等差数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，求数列的通项公式.21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.22．（10分）如图所示，四棱锥的底面为矩形，，，过底面对角线作与平行的平面交于点（1）求二面角的余弦值；（2）求与所成角的余弦值；（3）求与平面所成角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用排除法：对于B,令得,,即有两个零点，不符合题意；对于C,当时，，当且仅当时等号成立，即函数在区间上存在最大值，不符合题意；对于D,的定义域为，不符合题意；本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项2、D【解析】利用双曲线的定义可得答案.【详解】设，，，为双曲线的焦点，则由双曲线定义，知，而所以或21故选：D.3、D【解析】根据题意，解不等式求出集合，由，得，进而求出，从而可求出集合，最后根据并集的运算即可得出答案.【详解】解：由题可知，，而，即，解得：，又由于，得，因为，则，所以，解得：，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集的定义和并集运算，属于基础题.4、D【解析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.【详解】建立如图所示的直角坐标系：设抛物线方程为，由题意知：在抛物线上，即，解得：，，当水位下降1米后，即将代入，即，解得：，∴水面宽为米.故选：D.5、C【解析】由函数的图象可知其单调性情况，再由导函数与原函数的关系即可得解.【详解】由函数的图象可知，当时，从左向右函数先增后减，故时，从左向右导函数先正后负，故排除AB；当时，从左向右函数先减后增，故时，从左向右导函数先负后正，故排除D.故选：C.6、C【解析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，由题意可知过圆的圆心，则，解得，点A坐标为，，切点为B则，故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.7、A【解析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.【详解】解：设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得.所以所求的直线方程为.故选：A8、D【解析】根据全面积得到正方体的棱长，再由勾股定理计算对角线.【详解】设正方体的棱长为，对角线长为，则有，解得，从而，解得.故选：D9、A【解析】求出双曲线焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】在双曲线中，，，，所以，该双曲线的左焦点坐标为，渐近线方程为，即，因，该双曲线的左焦点到渐近线的距离为.故选：A10、B【解析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.【详解】抛物线的焦点的坐标为，所以直线的方程为：，令，解得，因此点的坐标为：，因为面积为4，所以有，即，，因此抛物线的方程为.故选：B.11、D【解析】根据椭圆方程可得到a，从而求得长轴长.【详解】椭圆方程为，故，所以椭圆长轴长为，故选:D.12、B【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：依题意可知、，又且，所以，，，，则，且，即，即，所以离心率.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出，，再由空间向量坐标运算法则求出，由此能求出【详解】解：设，，向量，，，且，，，解得，，所以，，，故答案为：14、【解析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】因为等比数列中,故,又,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题.15、34【解析】根据每行数字之和相等，四行数字之和刚好等于1到16之和可得.【详解】4阶幻方中，4行数字之和，得.故答案为：3416、【解析】当圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率的取值范围.【详解】由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即.由得，两边平方并化简得，即①.由得，两边平方并化简得，解得②.由①②得.故填.【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量证明与平面的法向量垂直（2）由空间向量求解【小问1详解】以C为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，设，因为，所以，故，得，同理求得，所以，因为是平面的一个法向量，且，所以，又平面，所以平面；【小问2详解】由（1）可得：，，设平面的一个法向量为，则，即令，则，所以，又平面的一个法向量为，设表示平面与平面所成锐二面角，则18、(1);(2)控制在16转/秒内.【解析】(1)结合已知数据，代入公式中，先求出，然后求出，进而可求出，从而可得回归方程.(2)由题意得，即可求出转速的最高速度.【详解】解：(1)由题意知，，所以，则，即关于的回归直线方程为.(2)由可得，解得，所以机器的运转速度应控制在16转/秒内.19、（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆离心率的性质及一元二次方程的根可得，再由椭圆参数关系、已知三角形面积求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）设直线，联立椭圆方程并结合韦达定理求，进而可得，再根据求参数t，可得，结合椭圆的对称性求，即可求结果.【小问1详解】由的根为，所以椭圆的离心率，依题意，，解得，即椭圆的方程为；【小问2详解】设直线，联立，消去得，由韦达定理得：，所以，所以，所以椭圆的内接平行四边形面积.所以，解得或（舍去），所以，根据椭圆的对称性知：，故平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积为.20、（1）；（2）.【解析】（1）由题设条件，结合等差数列通项公式求基本量d，进而写出通项公式.（2）由（1）得，应用累加法、错位相减法及等比数列前n项和公式求的通项公式.【小问1详解】令公差为d，由得：，解得.所以.【小问2详解】，则，累加整理，得：，①，②②-①得：，又满足上式，故.21、（1）（2）【解析】（1）设点坐标为，根据两直线的斜率之积为得到方程，整理即可；（2）设，，，根据设、在椭圆上，则，再由，则，即可表示出直线、的方程，联立两直线方程，即可得到点的纵坐标，再根据弦长公式得到，令，则，最后利用基本不等式计算可得；【小问1详解】解：设点坐标为，定点，，直线与直线的斜率之积为，，【小问2详解】解：设，，，则，，所以又，所以，又即，则直线：，直线：，由，解得，即，所以令，则，所以因为，当且仅当即时取等号，所以的最大值为；22、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）设，连接、，证明出平面，推导出为的中点，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值；（3）利用空