查补重难点07 圆的相关计算与证明（原卷版）

查补重难点07.圆的相关计算与证明考点一：圆的基本概念与性质1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．2.圆心角、弧、弦的关系（定理）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角定理的推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．3）圆内接四边形的对角互补．题型1.垂径定理及其运用1.如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。2.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．例1.（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，、、是上的点，，若，，则（

）A． B． C． D．变式2．（2024·江苏徐州·一模）如图，是的内接三角形，若，，则的半径长为(

)A．4 B． C．2 D．1变式3．（2023年湖南省永州市中考数学真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为．

题型2.圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。例1.（2023·辽宁·校联考一模）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．变式2.（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．(1)求证：；(2)如果的半径为5，，求的长．

题型3.圆周角定理的运用1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。例1.（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点，，在圆上，，的半径的长为，则劣弧的长是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知四边形内接于，，、的延长线相交于点E，连接．若，则（

）A． B． C． D．变式2．（2023·江苏·中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径．

题型4.圆的内角四边形性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°。例1（2023·江苏·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是．变式1．（2022·江苏南京·中考真题）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则．变式2．（2023·江苏宿迁·二模）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（

）

A． B． C． D．考点二：与圆有关的位置关系1.切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。2.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。3.切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。4.三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。5.三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边角分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。题型1.点（直线）与圆的位置关系掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。例1．（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（

）A．2 B．5 C．6 D．8变式1．（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（

）A．4 B．5 C．6 D．7变式2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰中，，BC=，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型2.切线的性质.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。例1.（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则°．

变式1．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则°．变式2.（2022·江苏无锡·中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°题型3.切线的判定切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。例1．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径长．

变式1．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若的半径为3，求的长．

变式2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长．题型4.内切圆与外接圆（1）三角形内切圆半径：，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长；（2）直角三角形内切圆半径：，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。（3）切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。例1．（2024·江苏扬州·一模）如图，一块四边形材料，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（

）

A． B． C． D．变式1．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于步．（注：“步”为长度单位）

变式2．（2022·江苏常州·中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是．考点三：与圆有关的计算设⊙OQUOTE的半径为R，n°QUOTE圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：或．（3）圆锥侧面积公式：S圆锥侧=πrl（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）（4）圆锥全面积公式：S圆锥全=πrl+πr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）题型1.正多边形与圆的相关计算正多边形的常用公式（Rn为正多边形外接圆的半径）边长：；周长：；边心距：；面积：；内角度数：；外角/中心角度数：；边长、半径、边心距的关系：。例1.（2024·江苏无锡·一模）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（

）A．1 B． C．3 D．4变式1．（2023·江苏无锡·中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1变式2．（2023·江苏泰州·中考真题）半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为．题型2.圆锥的相关计算圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。例1.（2023·江苏·中考真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（

）．

A． B． C． D．变式1．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为．

变式2．（2021·江苏镇江·中考真题）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（

）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π题型3.不规则图形的相关计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：割补法、等积变换法、图形变换法等。例1.（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．20变式1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．变式2．（2024·江苏苏州·一模）如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为．题型4.圆的相关证明与计算综合在解决圆的相关证明与计算综合问题中，经常用到的重要性质及技法：①运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对相关结论作合理的猜测；②利用垂径定理，通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行计算；③在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；④由直径所对的圆周角是直角构造直角三角形；⑤相似三角形、锐角三角函数、勾股定理是计算线段长度及其线段数量关系的重要手段。例1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，将矩形沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．(1)求证：．(2)当，时，求的长．

变式1．（2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．

变式2．（2023·江苏泰州·中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．

知识回顾(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．①求的度数；②若的半径为5，，求的长；逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．题型5.圆与尺规作图的相关运算例1．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，．

(1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．变式1．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，已知，点M是上的一个定点．

(1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；(2)在（1）的条件下，若，则所作的劣弧与所围成图形的面积是____．变式2．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、．(1)沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；(2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．课后训练1．（2024·江苏盐城·一模）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．3.（2023年四川省宜宾中考数学真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（）

A． B． C． D．4．（2024·北京海淀·一模）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O，A，由线段及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（）①在M处放置2台该型号的灯光装置；②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置；③在P处放置2台该型号的灯光装置．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．6．（2023·江苏宿迁·二模）如图，将沿弦折叠，交直径于点，若，，则的长是（

）A． B． C． D．7．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（

）

A． B． C． D．8．（2023·南通·中考真题）如图，是的直径，点，在上．若，则度．

9．（2023·江苏·中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是．

10．（2023·江苏宿迁·中考真题）若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是．11．（2024·江苏徐州·一模）如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，若，则的长为．12．（2023·江苏泰州·中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为里．

13．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，圆锥母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角的度数为．

14．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则．（结果保留根号）

15．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是．

16．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，