2023年北京市重点校初三（下）期中数学试题汇编：图形的变换章节综合

第1页/共1页2023北京重点校初三（下）期中数学汇编图形的变换章节综合一、单选题1．（2023春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（

）A．3 B． C．5 D．二、填空题2．（2023春·北京通州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是．三、解答题3．（2023春·北京西城·八年级北京四中校考期中）如图，在中，，过点A作的垂线，垂足为点D．点E为线段上一动点（不与点C重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与线段交于点G，连接．(1)依题意补全图形：直接写出与的位置关系；(2)求证：；(3)直接写出，，之间的数量关系．4．（2023春·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）在中，，令（），线段的垂直平分线分别交边，于点D，E．(1)如图1，用等式表示线段与的数量关系，并证明．(2)将射线绕着点A逆时针旋转交线段于点F．①依题意补全图形2；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．5．（2023春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）如图，在正方形中，，是边上的一动点（不与点A，重合），连接，点A关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)判断线段与的数量关系，并说明理由；(3)连接，点在边上运动（不与点A，重合）时，求的最小值．6．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为：，，，，、是这个正方形外两点，且给出如下定义：记线段的中点为，平移线段得到线段其中，分别是点，的对应点，记线段的中点为若点和分别落在正方形的一组邻边上，或线段与正方形的一边重合，则称线段长度的最小值为线段到正方形的“回归距离”，称此时的点为线段到正方形的“回归点”．(1)如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段和，这两条线段的位置关系为______；若，分别为和的中点，则点______填或为线段到正方形的“回归点”；(2)若线段的中点的坐标为，记线段到正方形的“回归距离”为，请直接写出的最小值：______，并在图中画出此时线段到正方形的“回归点”画出一种情况即可；(3)请在图中画出所有符合题意的线段到正方形的“回归点”组成的图形．

参考答案1．C【分析】根据两点间的距离公式可知，代数式的最小值为的最小值，利用将军饮马问题，确定点关于轴对称的点的坐标，求出该点与点之间的距离，即为所求．【详解】解：∵，，，∴，设点关于轴的对称点为，则：，∵，∴的最小值为，即：；故选C．【点睛】本题考查求代数式的最小值．将求代数式的最小值转化为求线段的和最小问题，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．2．【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．3．(1)补全图形见解析；(2)见解析(3)【分析】（1）根据题目中要求补全图形即可；根据将线段逆时针旋转得到线段，得出，，可证，得出，可得即可；（2）在上取，连接，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，证明，即可证明结论；（2）延长交延长线于H，根据等腰三角形性质可得平分，可得，可证，得出，再证，得出，利用勾股定理得出，即即可．【详解】（1）解：根据题目要求补全图形，如图所示：∵将线段逆时针旋转得到线段，∴，，∴，∵，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（2）证明：在上取，连接，如图所示：∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：．延长交延长线于H，如图所示：∵，，∴平分，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在中，根据勾股定理，在中，，即．【点睛】本题考查图形旋转性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理是解题关键．4．(1)，证明见解析(2)①见解析；②，证明见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出，点是线段的中点，再根据平行公理，得出，进而得出是的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案；（2）①以点为圆心，以任意长为半径画弧，交线段于点，交线段于点，再以点为圆心，以相等长为半径画弧，交线段于点，再以点为圆心，以的长度为半径画弧，两弧交于一点，再以点为圆心，以的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接，并延长交于点；②设旋转后点的对应点在上为点，连接，根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，得出，连接，根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据角相等，得出，进而得出点三点共线，根据两直线平行，内错角相等，得出，进而得出，再根据等腰三角形的性质和等量替换即可求解．【详解】（1），证明如下：∵是线段的垂直平分线，∴，点是线段的中点，又∵，∴，∴，∴，∴，∴是的中位线，∴；（2）解：①如图，即为所求；②，证明如下：设旋转后点的对应点在上为点，连接，∵，，∴，又∵，∴，连接，∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，∴点三点共线，又∵是线段的垂直平分线，∴，点是线段的中点，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质、作图—等角、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理．5．(1)证明见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）连接，由轴对称和正方形的性质易证，即得出．又可求出，结合，即可证，即得出；（2）在上取点M使得，连接．由全等三角形的性质可得出，，从而可求出，进而得出，结合，，即可证明，得出．最后由勾股定理解答即可；（3）由题意易求出，根据全等三角形的性质可得出，从而可求出，即说明点H在直线上运动．根据垂线段最短可知当时，最小，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接．∵点A关于直线的对称点为，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，∴；（2）．理由：如图，在上取点M使得，连接．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴为等腰直角三角形，∴．∵,∴，即．∵，，∴，∴，∴．在中，，，∴，∴．（3）解：∵，，∴．由（2）可知，∴，∴，∴点H在直线上运动，∴当时，最小，如图．∵，，∴．∵，即，∴（舍去负值），即最小值为．【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．6．(1)，；(2)，图见解析(3)画图见解析【分析】(1)利用平移变换的性质以及“回归点”的定义判断即可；(2)如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，再利用勾股定理求解；(3)分点和分别落在正方形的一组邻边上，或线段与正方形的一边重合两种情况取最小值即可．【详解】（1）如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段和，这两条线段的位置关系为；若分别为和的中点，则点为线段到正方形的“回归点”．故答案为：，；（2）如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，最小值；故答案为：；；（3）由题意可知正方形边长为1，当线段与正方形的一边重合时，∵，∴线段即正方形任意一边，∵T在第一象限，由“回归点”定义可知不合题意，故此时“回归点”在E，F处，如图，；当点和分别落在正方形的一组邻边上时，当线段PQ向右倾斜时，点的的边应在第二、四象限．且低的度小于