《数系的扩充和复数的概念》教学设计

高中数学精选资源3/3《数系的扩充和复数的概念》教学设计教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1.历史上是怎样发现虚数的？2.数系扩充的脉络是：自然数系→有理数系→实数系.3.矛盾冲突到了一定的阶段，就有必要引入新的数集了，为了解决方程没有实根的矛盾，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得.那么这是一个怎样的数呢？引导学生回顾.以师问生答的方式回顾已经学过的数集是怎样扩系的.用旧的问题类比引入新问题，引起学生的学习兴趣.概念形成1.称为虚数单位，；因而方程的根为.一般地，方程的根是什么呢？2.学生求解两个一元二次方程：（1）；（2）.3.学生求解一元二次方程的两个根.4.若将上述方程的根的形式进行归纳能得出什么结论呢？（复数的代数形式）5.由此引出复数的概念：形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.复数通常用小写字母表示，即.（1）强调：的重要性.（2）思考题：复数与实数有什么联系？教师给出的意义，提问学生以下问题：（1）的平方是多少？（2）方程的根是多少？（3）一般地，方程的根呢？让学生自己解两个方程，总结时，两种常见题型的解法步骤，教师完善.让学生注意对根的判别式进行讨论.从特殊到一般，类比上面的求解过程，由学生完成求根公式的推导，师生共同总结.引导学生从形式上认识复数的特点，引出复数概念.通过实例，由浅入深地提出问题并解决问题，从一个在实数集中不可解的方程，变为在复数集中可解的方程.从形式上初步认识复数，培养学生数学抽象的核心素养.概念深化1.当时，复数就成为实数；当时，复数就成为虚数.当且时，就叫做纯虚数.2.复数所构成的集合叫做复数集，常用C表示，复数集即.3.复数的分类.复数可以分类如下：注意分清复数分类中的界限：设，（1）；（2）z是虚数中；（3）且.4.教师强调：（1）复数的实部与虚部都是实数.（2）两个复数相等，当且仅当它们实部和虚部分别相等.（3）两个实数之间可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小.启发学生对实部与虚部分别等于0时进行分析，看复数的变化.由实数的分类启发学生对复数尝试分类，教师总结补充.探讨复数的构成，明确两要素：实部，虚部.教师提问：实部、虚部一定为实数吗？什么时候两复数相等？学生思考后回答，教师补充.由于实数可以表示在数轴上，所以两实数可以比较大小教师提问：两复数间能比较大小吗？为什么？学生小组讨论后举手发言，教师提炼总结.学生初步接触复数，会造成认识上的空白，而这些内容正是为填补这些空白而预设的.这样安排，有利于学生循序渐进地从多方位认识复数、理解复数，符合学生的认知规律.应用举例例1写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：.解：的实部分别是；虚部分别是.4是实数,是虚数，其中是纯虚数.例2求当实数m为何值时，分别是：（1）虚数；（2）纯虚数.教师提问：如何写出复数的实部与虚部？复数分类的依据是什么？学生讨论回答，独立完成例1.教师点评：0是复数，因为0是实数，所以0也是复数将0写成的形式为，即其实部和虚部都是0.师：一个复数是虚数、纯虚数的条件是什么？学生思考讨论两学生黑板板演，其余学生独立完成.抛出问题，引导学生解决问题，通过例题加深学生对复数及相关概念的理解.应用举例解：（1）复数z是虚数的充要条件是，当且时,复数z是虚数.（2）复数z是纯虚数的充要条件是.当时,复数z是纯虚数.例3已知复数，，，若，求m的值.解：因为，所以.由复数相等的充要条件得解得.师：若本例条件不变，m为何值时，z为实数？解：由已知得，复数z的实部为，虚部为.复数z是实数的充要条件是.当时，复数z是实数.教师总结：利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.学生独立完成.师：（1）在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是，即当时，且.若忽略前提条件，则结论不成立.（2）利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.通过板演找出学生存在的问题和蕴含的思想方法.巩固训练教材第102页练习第1~2题.先让学生独立思考、逐个回答，再请其他学生评价，最后教师讲解、点评.巩固所学知识.归纳小结1.复数的概念.2.复数的分类.3.复数的相等.学生思考回答，其他同学补充.培养学生自觉回顾、善于总结的习惯构建方法体系.布置作业教材第103页习题3.1第1~4题.学生课后完成.巩固本节所学内容，为下节课做好铺垫.板书设计数系的扩充和复数的概念一、复习引入二、概念形成1.虚数单位：2.复数的概念形如的数叫做复数三、概念深化1.纯虚数当且时，就叫做纯虚数2.复数集复数所构成的集合叫做复数集，常用C表示，复数集即3.复数的分类4.复数的相等两个复数相等：当且仅当它们实部和虚部分别相等四、应用举例例1例2例3五、巩固训练六、归纳小结七、布置作业教学研讨本案例的特点是采用集中讲解概念，再集中教学例题的模式，使概念能够很快让学生掌握.案例还可以从以下几个方面适