2020-2021学年内蒙古赤峰市第二中学高一下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年内蒙古赤峰市第二中学高一下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用基底的定义对四个选项一一验证.【详解】平面内不共线的两个向量可以作为平面的基底：对于A：，，零向量与任意向量共线，所以A错误；对于B：，，∵，所以共线，故B错误；对于C：，，∵，所以共线，故C错误；对于D：，,因为，所以不共线，故正确.故选：D【点睛】平面内不共线的两个向量可以作为平面的基底，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.2．为等差数列，且，则公差A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：【解析】等差数列通项公式3．已知中，，，，则等于（）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】由正弦定理，解得sinB，利用大角对大边求出B.【详解】在中，，，，由正弦定理得：，解得：，∵，∴,∴=或.故选：D.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．4．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则A． B． C． D．【答案】C【分析】以为基底，利用向量的中点公式，以及三角形法则即可表示出，由，根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解．【详解】因为为的中点，所以，而，即有，又，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及向量的中点公式，三角形法则的应用，属于基础题．5．若等边的边长为4，则（）A．8 B． C． D．【答案】A【分析】可画出图形，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出的值．【详解】如图，根据条件，．故选：A．【点睛】本题考查等边三角形的概念，以及向量夹角的概念，向量数量积的计算公式．6．若三角形ABC为钝角三角形，三边长分别为，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【详解】三边组成三角形，则：，解得：，对三角形的边长分类讨论：当最大边长为时，应有：，整理可得：，此时，当最大边长为时，应有：，整理可得：，此时，综上可得：的取值范围是.7．赤峰二中天文台是校园的标志性建筑，为了估算学校天文台的高度，在它们之间的地面上的点（、、三点共线）处测得天文台顶的仰角是，在点处测得宿舍楼顶的仰角是又在宿舍楼顶处测得天文台顶的仰角为，已知宿舍楼高为，假设、和点在同一平面内，则估算学校天文台的高度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得天文台的高度.【详解】在直角三角形ABM中，在△ACM中，，故由正弦定理，，故在直角三角形CDM中，，∵∴.故选：C【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．8．《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（）A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布【答案】D【分析】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，根据，可求得的值.【详解】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，由题意可得，解得.故选：D.9．在中，若，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】先用余弦定理边化角得，再用正弦定理边化角的，再根据二倍角的正弦公式得，进而可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，为三角形的内角，所以或，所以或，所以一定是等腰三角形或直角三角形.故选：D10．已知是内部的一点，，则与的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由推出点在三角形的中位线上，由此可求出结果.【详解】因为，所以，设的中点为，的中点为，所以，即，所以点在三角形的中位线上，所以点到的距离等于点到的距离的一半，所以.故选：A11．正项数列满足：,且,则此数列的第2016项为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：由题意知，故数列为等差数列，于是，，,选D.【解析】等差数列的定义．【易错点睛】等差数列的判定方法（1）定义法：对于的任意自然数，验证为同一常数；（2）等差中项法：验证成立；（3）通项公式法：验证；（4）前项和公式法：验证．本题主要采用的是第一种方法，定义法．等差数列的证明是数列中常见的证明题型，难度中档．12．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是A．46 B．47 C．48 D．49【答案】A【分析】首先判断出a23＞0，a24＜0，进而a1+a46=a23+a24＞0，所以可得答案．【详解】∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0所以，故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46，故答案为：A【点睛】等差数列的性质灵活解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．二、填空题13．已知，，，若，则实数_________.【答案】【分析】先求，利用两向量垂直，数量积等于0求出m.【详解】∵，，∴.∵，∴，解得：m=故答案为：【点睛】若平面向量，①向量平行的条件：；②向量垂直的条件：.14．记为等差数列的前项和，若，则___________.【答案】【分析】由求出与的关系，结合通项公式表示出，作比即可求解【详解】设公差为，则，，，，，故答案为：15．在中，若，，且，则________.【答案】【分析】根据三角形的面积公式求出，根据余弦定理求出，根据正弦定理求出三角形外接圆的直径，再根据正弦定理可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以，三角形外接圆的直径，所以.故答案为：16．如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则__________．【答案】26【分析】利用向量加法、减法、数乘和数量积运算，求得的值.【详解】连接部分圆心如下图所示.根据圆的几何性质可知四边形是菱形，且.所以，.所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量加法、减法、数乘和数量积运算，属于中档题.三、解答题17．已知，，且．（1）求的值：（2）求．【答案】（1）1（2）2【分析】（1）根据向量的数量积运算律求解即可；（2）根据向量模的运算求解即可.【详解】（1），又（2）.18．在等差数列中，已知，求通项公式及前项和.【答案】，【分析】根据已知条件结合等差数列的通项公式求、，即可写出通项公式及前项和；【详解】令等差数列的公差为，则由，知：，解之得；∴根据等差数列的通项公式及前n项和公式，有：，；【点睛】本题考查了等差数列，根据已知项的和等差数列通项公式的基本量，进而写出通项公式和前n项和公式；19．在中，角、、所对的边分别为、、，若向量，向量，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量平行的条件得到，结合正弦定理得，从而可求角的大小.（2）把向量用向量来表示，根据向量模的平方等于向量的平方，把表示为，从而可求的值.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理，得，又，，即，又因为，所以.（2）因为，所以，所以，，，，所以.20．在中，角、、所对的边分别是、、，已知外接圆的半径长为，且满足.（1）求角的大小（2）求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化边可得，再由余弦定理可解得结果;（2）求出，再根据正弦定理将用表示，利用正弦函数的图象可求出结果.【详解】（1）由正弦定理，得，即再由余弦定理，得，因为，所以（2）令三角形周长为，则，由（1）知，又，所以，又正弦定理得，，所以，因为，所以，所以，所以，所以周长的取值范围是【点睛】关键点点睛：熟练掌握正余弦定理、两角差的正弦公式是解题关键.21．已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求证：是等差数列；（2）求表达式；【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由数列与的关系可得转化条件为，结合等差数列的定义即可得证；（2）由数列与的关系运算即可得解.【详解】（1）证明：由题意，，∴，，∴，又，∴是以2为首项，公差为2的等差数列；（2）由（1），∴，当时，，当时，，∴.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用数列与的关系转化条件及构造新数列求数列通项.22．已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足