2020-2021学年天津市南开中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年天津市南开中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列命题中，正确命题的个数是（）①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量共线的单位向量是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据向量的定义即可判断命题①②③都错误，与非零向量共线的单位向量是，从而判断命题④正确，这样即可得出正确的选项．【详解】解：向量既有大小也有方向，单位向量的方向不相同或相反便不共线，命题①错误；长度相等而方向不同的向量不相等，命题②错误；共线的单位向量方向不相同的也不相等，命题③错误；与非零向量共线的单位向量是：，命题④正确．故选：．2．下列各式不能化简为的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量加减法法则计算可得．【详解】，，，因为，，所以.故选：D.3．已知满足(其中是常数)，则的形状一定是A．正三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】C【详解】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法则可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.本题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．4．已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为A．1 B． C．1或 D．-1或【答案】B【分析】根据题意，得出且，化简后得出，，即可求出实数的值.【详解】解：由题可知，，不共线，且向量与的方向相反，则，即，则，即，解得：或（舍去）.即实数的值为.故选：B.【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题.5．在三角形中，是边的中点，点在边上且，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的减法进行计算可得答案．【详解】，故选：A6．与的夹角为，与的夹角为，若，则（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】将沿与方向进行分解，易得，再在中，，代入相关值即可得到答案.【详解】将沿与方向进行分解，延长、至、，以、为邻边、为对角线画出平行四边形，如图，由平行四边形法则有，且，所以，，又，，在中，，即.故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，关键点是数形结合得到，考查了学生的计算能力.7．所在平面内一点满足，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量基本定理，用作为基底表示出.即可求得，由余弦二倍角公式即可求得.【详解】所在平面内一点，所以因为所以由余弦二倍角公式可得故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的简单应用，属于基础题.8．已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心【答案】A【分析】设D是BC的中点，由，，知，所以点P的轨迹是射线AD，故点P的轨迹一定经过△ABC的重心．【详解】如图，设D是BC的中点，∵，，∴，即∴点P的轨迹是射线AD，∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选：A．【点睛】本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．已知向量，若向量，则可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量坐标线性运算及参数范围，结合选项可得结果．【详解】由，得，因为，所以，只有D成立；故选：D二、多选题10．如图，在中，分别是边上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知结合三角形的重心及向量的线性表示分别检验各选项即可判断．【详解】解：由三角形重心性质得，所以，A正确；因为，B正确；由重心性质得，，C错误；因为，所以，即，D正确．故选：ABD．11．已知三角形，以下各式可以确定P点在线段延长线上的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先将，化简为共线向量，利用共线向量的几何意义，判断选项.【详解】，即，当时，P点在线段上，当时，P点在线段延长线上，时，P点在线段延长线上，故B正确，A不正确；当时，点在线段延长线上，此时点是的中点，故C正确；时，P点在线段延长线上，故D不正确.故选：BC12．在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.计算出，设，结合，可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出结论.【详解】先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.充分性：若、、三点共线，则存在，使得，即，所以，，因为，则，充分性成立；必要性：因为且，所以，，即，所以，，所以，、、三点共线.本题中，取的中点，连接，如下图所示：、分别为、的中点，则且，，，即，，即，，，，，、、三点共线，为直线外一点，则且.，，则，所以，，可得，由可得，由基本不等式可得.当且仅当时，等号成立.所以，的最小值为，ABC选项均不满足.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.利用该结论推出；（2）利用基本不等式求出的最小值.三、填空题13．已知两点，则与向量同向的单位向量是________．【答案】【分析】可求出向量的坐标，然后代入即可求出与向量同向的单位向量的坐标．【详解】解：因为所以，所以与向量同向的单位向量是．故答案为：．14．若是内部一点，且满足，则与的面积比为_______.【答案】【分析】利用向量的加法运算得出，取的中点为，进而得出点为的重心，根据重心的性质即可得出答案.【详解】取的中点为，则即，则点为的重心根据重心的性质可得，点到的距离是点到的距离的则故答案为：【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.15．如图，O为直线外一点，若、、、、…、中任意相邻两点的距离相等，设，，用、表示________.【答案】【分析】设为线段的中点,利用平行四边形法则求出，即可求解.【详解】设为线段的中点，则也为线段，的中点由平行四边形法则可知所以故答案为【点睛】本题主要考查了向量的运算性质，利用平行四边形法则求解是解题的关键,属于中档题.16．在中，E，F分别为上的靠近B，C的五等分点，且满足P为线段上的任一点，实数x，y满足，设的面积分别为，记，则为取到最大值时，x，y的值分别为_______．【答案】2，2【分析】利用，分别为，上的靠近，的五等分点，得出，且则，再根据基本不等式以及平面向量基本定理即可求解．【详解】解：因为，分别为，上的靠近，的五等分点，则，故点到的距离等于三角形的边上的高的，则，所以，，由此可得，当且仅当时取等号，此时为的中点，延长交于点，则为的中点，则，所以，又，所以，故当取得最大值时，，的值分别为2，2．，故答案为：2，2．【点睛】关键点点睛：本题的关键为利用五等分点找出面积直接的关系，从而将面积转化为，之后就可以利用基本不等式求解即可.四、解答题17．已知，（1）若，求x的值（2）若，求x的值【答案】（1）；（2）或4．【分析】（1）先表示的坐标，然后结合向量相等的条件可求；（2）由已知结合向量平行的坐标表示即可直接求解．【详解】解：（1）因为所以，因为所以有，解得（2）因为，，所以即可，解得或4．18．中，点．（1）若四边形为平行四边形，求D点坐标．（2）若D在线段上，且，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）设出点，然后由，列出方程组即可求解；（2）根据得到，进而根据平面向量的运算法则，得到，结合点的坐标表示出，然后根据模长的坐标运算公式即可求解.【详解】（1）设，所以，由可得，即，解得，故；（2）因为，所以，则，又由，所以.19．已知向量．（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底；（2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值．【答案】（1）定理见解析，可以成为一组基底；（2）【分析】（1）写出平面向量基本定理的内容，然后依次即可判断向量，是否可以成为一组基底；（2）先假设向量，共线，然后建立等式关系，若不共线，问题转化为对任意非0实数都无解，结合函数的性质即可判断．【详解】解：（1）平面向量基本定理的内容：如果、是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数、，使．因为向量，，所以不共线，所以可以成为一组基底；（2）因为所以假设所以则，因为即，因为向量，不共线，则对任意非0实数，都无解，即与无交点，因为在上单调递增，所以当时，，所以不存在使得，即20．在平行四边形中，为的中点，.（1）设用表示和；（2）求实数的值，使得与共线.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用向量的加法和数乘运算计算；（2）将和都用向量表示出来，再根据向量共线定理列方程求解.【详解】（1）；（2），，与共线，存在使得，即，又不共线，，解得.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量共线定理的应用，是基础题.21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，点．（1）若，求的最小值；（2）若向量与向量共线，常数，求的值域．【答案】（1）；（2）当时的值域为,时的值域为．【分析】（1）根据已知条件先求出，然后根据坐标运算求向量的模长公式得到，即可求出最小值；（2）由向量与向量共线，常数得到，进而化简，然后将看做整体转化为二次函数求最值的问题，然后按照对称轴所处区间的位置进行分类讨论即可.【详解】（1），，当时，最小值为（2），∵向量与向量共线，常数，∴，∴①当即时，当时，取得最大值，时，取得最小值，此时函数的值域为．②当即时，当时，取得最大值，时，取得最小值，此时函数的值域为，综上所述：当时的值域为；时的值域为．22．如图，在的边上各自做匀速运动的点D，E，F，当时分别从点A，B，C出发，以各自的定速度向点B，C，A前进，当时分别到达点B，C，A．（1）证明：在运动过程中的重心保持不变；（2）若的面积为S，求的面积的最小值．【答案】（1）证