数学自主训练：空间中的垂直关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。若直线l不垂直于平面α,那么平面α内()A.不存在与l垂直的直线B.只存在一条与l垂直的直线C.存在无数条直线与l垂直D.以上都不对思路解析:直线与平面不垂直也可以垂直平面内的无数条直线，不过它们都是平行直线，不能是相交直线。答案:C2。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1A.平面DD1C1CB.平面AC。平面A1B1C1D1D.平面A1思路解析:由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD1垂直的平面是平面A1DB1.答案：B3.(2006广东高考,5)给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。其中真命题的个数是(）A。4B.3C。2思路解析：由定义及判定定理知①②④正确，故选B。答案：B4。设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（)A.m⊥α,nβ，m⊥nα⊥βB。α∥β,m⊥α，n∥βm⊥nC.α⊥β，m⊥α,n∥βm⊥nD.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β思路解析:正确的命题是α∥β,m⊥α，n∥βm⊥n，选B.答案：B5.已知正△ABC的边长为2cm,PA⊥平面ABC，A为垂足,且PA=2cm，那么P到BC的距离为_____________.思路解析:取BC的中点D，连结AD、PD，由于△ABC为等边三角形,所以AD⊥BC,又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，则BC⊥平面PAD，所以BC⊥PD，故PD就是所求的距离，根据正△ABC的边长为2cm，则AD=3,在Rt△PAD中,PA=2，根据勾股定理可得PD=7.答案：6.若平面α及这个平面外的一条直线l同时垂直于直线m，则直线l和平面α的位置关系是___________________.思路解析:过l作平面β,设α∩β=a.∵m⊥α，∴m⊥a.又m⊥l，l、a同在β内,故l∥a.∴l∥α.答案：l∥α我综合我发展7.Rt△ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在α外，C在α上射影为D（不在AB上)，则△ABD是()A.直角三角形B。锐角三角形C。钝角三角形D。锐角或钝角三角形思路解析:如图，AD＜AC,DB＜BC,∴AD2+DB2＜AC2+BC2=AB2.∴∠ADB为钝角。图1—2—3-7答案：C8.正方形ABCD的边长为12,PA⊥平面ABCD，PA=12，则点P到对角线BD的距离为()A。B。C.D。思路解析:如图,连结AC交BD于O点，图1-2-3—8则PA⊥BD，AO⊥BD。∴BD⊥面PAO.故PO为P到BD的距离。在Rt△AOP中，PA=12，AO=.∴PO=.答案:D9.P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若P到四边的距离都相等,则ABCD（）A。是正方形B。是长方形C.有一个内切圆D。有一个外接圆思路解析:根据空间射影定理，点P在面ABCD内射影为四边形的内切圆的圆心。答案：C10.求证：如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。思路解析：反证法与同一法都是间接证法,但前者证的是原命题的逆否命题;后者证的是原命题的逆命题，但原命题必须符合同一法则。由于同一法则不易掌握，所以遇到有可能利用同一法证明的题,可改为用反证法形式证明。如题中可假设ABα,在平面α内作AE⊥CD，得AE⊥β，又AB⊥β，与过一点只有一条直线与平面垂直矛盾，所以假设不成立，得ABα。图1—2—3—9答案:已知:α⊥β，α∩β=CD，A∈α,AB⊥β。求证：ABα.证明：如图，在平面α内作AE⊥CD,则AE⊥β，而AB⊥β，∴AB与AE重合.∵AEα，∴ABα。11。如图1-2—3-10所示，四面体A—BCD被平行于棱AB、CD的平面EFGH所截.其中AC=AD=BC=BD，AB=2CD，则AH∶HC的值为多少时，四边形EFGH的面积最大？图1-2—3-10思路分析:根据线段之间的关系判定四边形的形状，写出面积的函数关系式,再求最值，体现了函数思想.解：如图所示，设=λ，则,由题设可得GH∥DC，EH∥AB，∴GH=·CD，EH=·AB.又AC=AD=