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文档简介
冀教版八年级上第十六章轴对称和中心对称集训课堂练素养3.角平分线中四种常用作辅助线的方法因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等
和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常截两边相
等或向两边作垂线段或延长线段等来构造全等三角形.方法1作一边的垂线段构造对称图形1.
如图，在四边形
ABCD
中，∠
B
＝90°，
AB
∥
CD
，
M
为
BC
边上的一点，且
AM
平分∠
BAD
，
DM
平分∠
ADC
.
求证：(1)
AM
⊥
DM
；1234【证明】∵
AB
∥
CD
，∴∠
BAD
＋∠
ADC
＝180°.∵
AM
平分∠
BAD
，
DM
平分∠
ADC
，∴∠
BAM
＝∠
MAD
，∠
CDM
＝∠
ADM
.
∴2∠
MAD
＋2∠
ADM
＝180°.∴∠
MAD
＋∠
ADM
＝90°.∴∠
AMD
＝90°，即
AM
⊥
DM
.
1234(2)
M
为
BC
的中点.【证明】如图，过点
M
作
MN
⊥
AD
于点
N
.
∵∠
B
＝90°，∴
BM
⊥
AB
.
∵
AB
∥
CD
，∴
CM
⊥
CD
.
又∵
AM
平分∠
BAD
，
DM
平分∠
ADC
，∴
BM
＝
MN
，
MN
＝
CM
.
∴
BM
＝
CM
.
∴
M
为
BC
的中点.1234方法2作两边的垂线段构造对称图形2.
[2024·广东珠海金湾区期中]请回答下列问题：(1)如图①，已知△
ABC
，利用直尺和圆规，作∠
BAC
的
平分线
AD
，
AD
交
BC
于点
D
(保留作图痕迹，不要求
写作法)；【解】如图①，
AD
即为所作.1234(2)如图②，
AD
是△
ABC
的角平分线，
E
，
F
分别是
AB
，
AC
上的点，且∠
EDF
＋∠
BAC
＝180°，求
证：
DE
＝
DF
.
1234
1234
1234【解】如图，分别延长
AE
，
CB
，两线相交于点
F
，过
点
D
作
DM
⊥
AC
于点
M
.
∵∠
ABC
＝90°，∴∠
ABF
＝90°＝∠
ABC
.
∴∠
FAB
＋∠
F
＝90°.∵
AE
⊥
CD
，∴∠
FCE
＋∠
F
＝90°.∴∠
FAB
＝∠
FCE
.
1234
∴△
ABF
≌△
CBD
(ASA).∴
AF
＝
CD
.
∵
AE
⊥
CD
，∴∠
AEC
＝∠
FEC
＝90°.1234
∴△
ACE
≌△
FCE
(SAS).∴∠
ACE
＝∠
FCE
.
又∵
DM
⊥
AC
，
DB
⊥
BC
，
BD
＝8
cm，∴
DM
＝
DB
＝8
cm，即点
D
到
AC
的距离为8
cm.1234【点方法】本题综合考查了全等三角形的判定与性质和角的平分
线的性质，解决本题的关键是证明
CD
平分∠
ACB
.
可
以通过添加辅助线构造全等三角形来证明角相等
，再由
角的平分线的性质求得结论.1234方法4折叠法构造对称图形4.
如图，在△
ABC
中，
AD
平分∠
BAC
，∠
C
＝2∠
B
.
求证：
AC
＋
CD
＝
AB
.
1234【证明】如图，将△
ACD
沿
AD
折叠，得到△
AED
，
E
恰好落在
AB
上，过点
E
作
EF
⊥
BC
于点
F
，则△
AED
≌△
ACD
.
∴
ED
＝
CD
，∠
AED
＝∠
C
.
∵∠
AED
＝∠
B
＋∠
EDB
，∴∠
C
＝∠
B
＋∠
EDB
.
又∵∠
C
＝2∠
B
，∴∠
B
＝∠
EDB
.
1234
∴△
EFB
≌△
EFD
(AAS).∴
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