数学-江西省南昌市2024-2025学年度上学期普通高中高三联合教学质量检测试卷和解析

2024—2025学年度上学期普通高中高三联合教学质量检测高三数学试卷1．已知全集U=R，集合A=则图中阴影部分表示的集合为() 4．已知数列{an}是等差数列，a4=15，a7=275．已知一组数据(i,yi)(i=1,2,3,...,n)大致呈线性分布，其回归直线方程为y=2x-9，则的最小值为A．-4B．-8C．-16D．无法确定6．已知点,t∈R，点M是圆x2+上的动点，点N是圆2+y2=上的动点，则PN-PM的最大值是() 7．设正数a，b满足若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f，且当x∈x-1，若在区间(-2,6]内函数g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>1)有三个不同的零点，则实数a的取值范围为()9．对于事件A和事件B，P(A)=0.3，P(B)=0.6，则下列说法正确的是()A．若A与B互斥，则P(AB)=0B．若A与B互斥，则P(AB)=0.9C．若A≤B，则P(AB)=0.18D．若A与B相互独立，则P(AB)=0.1810．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段B1C上的动点，则()πB．直线A1P与BD所成的角不可能是π6C．若B1P=3B1C，则二面角B-A1P-B1平面角的正弦值为6D．当B1P=2PC时，点D1到平面A1BP的距离为11.ℼ∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O,C上的点到两定点F1(-a,0),F2(a,0)(a>0)的距离之积为定值a2.则下列说法正确的是参考数据：y2=12，则C的方程为(x2+y22(x2-y2)B．若C上的点到两定点F1、F2的距离之积为16，则点(-4,0)在C上D．当a=3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为，则PF12-PF22=1813．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120o时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120o，根据以上性质，已知A(-2,0),B(2,0),C(0,4)，P为△ABC内一点，记f(P)=|PA|+|PB|+|PC|，则f(P)的最小值14．已知实数a,b,c成公比为q的等比数列，抛物线x=y2上每一点到直线ax+by+c=0的距离均大于，则q的取值范围是.15.（本小题13分）(1)求数列{an}和{bn}的通项公式：n，且数列{cn}的前n项和为Tn，求T16.16.（本小题15分）(1)求tan上BAC的值； (2)若AB=27，求△ABC的面积;17.（本小题15分）在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，已知AB=AS=5，BS=4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点.(1)在棱AD上是否存在一点E，使得OE丄侧面SBC，若存在，求DE的长；若不存在，说明理由.(2)二面角B—SCD的大小为α,二面角SABC的大小为β,求cos(α+β).18.（本小题17分）已知椭圆=1(a>b>0)经过点其右焦点为FC,0，下顶点为B，直线BF与椭圆C(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，过点M作x轴的垂线l1，垂足为A，过点A的直线与C交于P，Q两点，直线OP与l1交于点H．直线OQ与l1交于点G，设△APH的面积为S1，△AQG的面积为S2，试探究是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ的方程；若不存在，请说明理由.19.（本小题17分）函数f(x)=xex—1alnx（a为常数且a>0p，q为常数，且p≠0.（e是自然对数的底数，e≈2.71828…）(1)当a=2时，计算f’(1)，并讨论f(x)的单调性；(2)记f(x)的最小值为h(a)，求h(a)的最大值；f(x)p(xq)2≥1，求a+p+q的取值范围.2024—2025学年度上学期普通高中高三联合教学质量检测高三数学试卷解析版1．已知全集U=R，集合A=则图中阴影部分表示的集合为()【答案】【答案】D【详解】由题意U故选：D.【答案】【答案】C故选：C【答案】【答案】B+42所以在上的投影向量为.故选：B.4．已知数列{an}是等差数列，a4=15，a7=27【答案】【答案】A【详解】由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an)，因此过点P(3,a3)，Q(5,a5)所以所求直线的斜率.故选：A5．已知一组数据(i,yi)(i=1,2,3,...,n)大致呈线性分布，其回归直线方程为y=2x—9，则的最小值为【答案】【答案】C【详解】回归直线y=2x—9经过(x,y)，故选：C.6．已知点,t∈R，点M是圆x2+上的动点，点N是圆2+y2=上的动点，则PNPM的最大值是()【答案】D【详解】由题意，PN—PM的最大时，PN最大，PM最小即可，设圆E:x2+可得圆心，半径，设圆2+y2=可得圆心，半径则PN的最大值为，PM的最小值为，因为P(t,t)在直线y=x上，E(0,1)关于y=x的对称点为E’(1,0)，直线E’F与y=x交点为O(0,0)，所以PFPE=PF≤所以PNPM的最大值为1+1=2.故选：D.7．设正数a，b满足若不等式a+b≥—x2+4x+18—m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范【答案】【答案】D【详解】因为正数【详解】因为正数a，b满足因为不等式因为不等式a+b≥x2+4x+18m对任意实数x恒成立，即(a+b)min≥x2+4x+18m恒成立.+4x+18m，即m≥x2+4x+2对任意实数x恒成立.故选：故选：D.8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f，且当x∈1，若在区间(—2,6]内函数g(x)=f(x)—loga(x+2)(a>1)有三个不同的零点，则实数a的取值范围为()【答案】【答案】C【详解】由f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)的周期为4，又函数f(x)为偶函数，所以f(x+4)=f(x)=f(—x)，即函数f(x)的图象关于直线x=2对称；因为在区间(—2,6]内函数g(x)=f(x)—loga(x+2)(a>1)有三个不同的零点，则f(x)和函数hx在(—2,6]上的图象有三个交点，作出函数f(x)和函数hx的大致图象，如图所示：故选：故选：C.9．对于事件A和事件B，P(A)=0.3，P(B)=0.6，则下列说法正确的是()A．若A与B互斥，则P(AB)=0B．若A与B互斥，则P(AB)=0.9C．若A≤B，则P(AB)=0.18D．若A与B相互独立，则P(AB)=0.18【答案】【答案】ABD【详解】对于A，当A与B互斥时，A∩B=⑦,故P(AB)=0，即A正确；对于C，当A≤B时，A∩B=A，故P(AB)=P(A)=0.对于D，若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.6=0.18，故D正确.故选：ABD.10．如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为线段B1C上的动点，则()πB．直线A1P与BD所成的角不可能是π则二面角B-A1P-B1平面角的正弦值为D．当B1P=2PC时，点D1到平面A1BP的距离为【答案】ABD【详解】A选项，以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，正方体棱长为2，B1P=2PC，故Pπ故直线A1P与BD所成的角不可能是，B正确；π6C选项，故设平面BA1P的法向量为=(x,y,z)，设平面设平面B1A1P的法向量为=(x1,y1,z1)，z13z13-––-–– -––-––n.n.设二面角设二面角B-A1P-B1平面角的大小为θ,(4(42)设平面设平面BA1P的法向量为=(x,y,z)，，A点D1到平面A1BP的距离为A点D1到平面A1BP的距离为=n1n1411.ℼ∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O,C上的点到两定点F1(-a,0),F2(a,0)(a>0)的距离之积为定值a2.则下列说法正确的是参考数据：y2=12，则C的方程为(x2+y22(x2-y2)B．若C上的点到两定点F1、F2的距离之积为16，则点(-4,0)在C上D．当a=3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为，则2PF1-PF22 【答案】【答案】ACD【详解】设C上的点为px,y，可得PF.PF222【详解】设C上的点为px,y，可得PF.PF22整理可得(x2+22y2y2=2a2x2-y2.整理可得(x2+22y2y2=2a2x2-y2.对于选项A：若F对于选项A：若F所以C的轨迹方程为(x2+y22(x2-y2)所以C的轨迹方程为(x2+y2对于选项对于选项B：因为若C上的点到两定点F1、F2的距离之积为16，PF.PF2PF.PF2对于点P(-4,0)，显然PF.PF2对于点P(-4,0)，显然PF.PF22(x2-y2)，y2对于选项2(x2-y2)，y222y0y0令令f(x)=x2+36x-81,x≥0，可知t为f(x)在[0,+∞)内的零点，因为因为f(x)的图象开口向上，对称轴为x=-18，可知f(x)在[0,+∞)内单调递增，且且f(2)=-50,f(3)=360，可知可知f(x)在[0,+∞)内存在唯一零点，且2<t<3，即2<y<3，故C正确；PF.PF2PF.PF2且点且点P在第一象限内，则PF1>PF2，2可得 2PFPF12 22可得 2PFPF12 2PFPF-12PF2PFPF22=FF2PF1PFPF2PF2PF1PF.PF2PFPFPF2PF1PFPF2PF2-2PF1PF.PF2PFPF-PF22PF2PFPFPF-PFPF-故选：ACD.故选：ACD.12．已知函数，若m<n，且f，则的取值范围是.画出f的图象，当x<1时，f(x)=3x+4单调递增，且f(x)<7，当x≥1时，f(x)=3x-2单调递增，且f(x)≥1，当时，取得最小值，最小值为-，「4)故答案为：|L-3,「4)13．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120o时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120o，根据以上性质，已知A(一2,0),B(2,0),C(0,4)，P为△ABC内一点，记f(P)=|PA|+|PB|+|PC|，则f(P)的最小值【详解】设O(0,0)为坐标原点，由A(一2,0),B(2,0),C(0,4)， 可得AC=BC=25,BC=4，且△ABC为锐角三角形，所以费马点M在线段OC上，如图所示，设M(0,h)，则△MAB为顶角是120。的等腰三角形，可得h=sin30。=所以f(P)的最小值为4+2·. 14．已知实数a,b,c成公比为q的等比数列，抛物线x=y2上每一点到直线ax+by+c=0的距离均大于，则q的取值范围是.)【详解】因为实数a,b,c成公比为q的等比数列，所以abcq≠0,b=aq,c=aq2，2不妨取抛物线位于x轴上方部分，则y=x，x一，x>0,y>0，设y=x上一点(y,y0)到直线ax+by+c=0的距离最小，整理得整理得，.15.（本小题13分）已知数列{an}为等比数列，公比q>0，前n项和为Sn，数列{b(1)求数列{an}和{bn}的通项公式：n，且数列{cn}的前n项和为Tn，求T16.【详解】（1）设等差数列{bn}的公差为d，，得{即{解得{l所以{l,,当n为奇数时，cn+2-cn=3n-1，则cn-cn-2=3(n-2)-1，cn-2-cn-4=3(n-4)-1，ⅆ,c3-c1=3×1-1，等式左右分别相加的cn-c1=224.16.（本小题15分） (2)若AB=2·7，求△ABC的面积;2【详解】（1）在△ABC中由正弦定理，又BC=2AC，（2）因为AB=27，在△ABC中由余弦定理AB2=AC2+BC2一2AC.BCcos∠ACB，即28=AC2+4AC22AC×2AC×,解得AC=2（负值已舍去则BC由正弦定理17.（本小题15分） 在底面是菱形的四棱锥S一ABCD中，已知AB=AS=5，BS=4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点.(1)在棱AD上是否存在一点E，使得OE丄侧面SBC，若存在，求DE的长；若不存在，说明理由.(2)二面角B一SCD的大小为α,二面角SABC的大小为β,求cos(α+β).存在，存在，DE=【详解】（【详解】（1）如图，连接AO，QAB=AS，O是BS的中点，:AO丄BS，又又DO丄平面ABS，BS平面ABS，::DO丄BS，又AO∩DO=O，AO,DO平面AOD，:BS丄平面AOD，过过O作OE丄AD于E，又AD//BC，:OE丄BC，又又OE平面AOD，:BS丄OE，又又BC∩BS=B，BC,BS平面BSC，:OE丄平面BSC，AO2::AO.DO=AD.EO，得DO2EO2:DE=DO2EO2:DE=（2）以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，又OE丄平面BSC，所以平面BSC的一个法向量为=(2,0,1)，设平面SCD的一个法向量为=(x1,y1,z1)， 30:=(2,1,1)， 30设平面ABC的一个法向量为=(x2,y2,z2)，22llm2.BC=0lx2由图可知二面角由图可知二面角S—ABC的平面角β为锐角，则cosβ=6，sinβ=::cos(α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ=.18.（本小题17分），其右焦点为FC,0，下顶点为B，直线BF与椭圆C(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，过点M作x轴的垂线l1，垂足为A，过点A的直线与C交于P，Q两点，直线OP与l1交于点H．直线OQ与l1交于点G，设△APH的面积为S1，△AQG的面积为S2，试探究是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ的方程；若不存在，请说明理由.0c,y0)，a22（（2）由题意可知A(—2,0)，直线PQ的斜率存在且不为0，设直线设直线PQ的方程为y=k(x+2)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，2x因为点因为点A在椭圆内，则直线PQ与椭圆必有两交点，yy12又又OP的方程为y=x，与直线x=—2联立可得yy(2y)yy12ky22k y122) y12222y1y21y222y1y2y1y2(y1y2,y1y≥4，当且仅当k又知又知-k(y1+y2)=y1y2，综上可知，当综上可知，当k2=2时，存在最小值4·、i2，此时直线此时直线PQ的方程为y=±2(x+2).19.（本小题17分）函数f(x)=xex-1-alnx（a为常数且a>0p，q为常数，且p≠0.（e是自然对数的底数，e≈2.71828…）(1)当a=2时，计算f’(1)，并讨论f(x)的单调性；(2)记f(x)的最小