14二次根式的加减法

专题1.4二次加减运算【学习目标】概念：同类二次根式，法则：二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

特别说明：

(1)判断同类二次根式的方法：先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；相同就是二次根式；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，不受其他因素影响判断.

2.合并同类二次根式

方法：合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)

特别说明：

(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；

(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减

二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：

1)化简（将每个二次根式都化简成为最简二次根式）；2)判定（判断哪些二次根式是同类二次根式）；3)合并（同类二次根式系数相加减）.要点三、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；

(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.二次根式、中与是同类二次根式的是______．【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得出结论．解：∵=，=，=2∴与是同类二次根式的是故答案为：．【点拨】此题考查的是同类二次根式的判断，掌握二次根式的性质和同类二次根式的定义是解题关键．举一反三：【变式1】若最简二次根式2与3是同类二次根式，则x＝_____．【答案】﹣2或1【分析】根据同类二次根式定义列式计算即可；解：因为最简二次根2与3是同类二次根式，所以x+7＝9﹣x2，且x+7≥0、9﹣x2≥0，解得x1＝﹣2．x2＝1，故答案是：﹣2或1．【点拨】本题主要考查了同类二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．【变式2】已化简的和是同类二次根式，则a+b＝_____．【答案】【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案．解：已化简的和是同类二次根式，可得：，解得：，把a＝，b＝代入a+b＝故答案为：．【点拨】本题考查同类二次根式定义以及建立方程组求出解，再代入求值的问题，这类问题是典型题目．类型二、二次根式的加减运算2.计算（1）－+（2）解：（1）原式；（2）原式．【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三：【变式1】（1）（2）解：（1）；（2）；类型三、二次根式的混合运算

3．计算：（1）；（2）．解：（1）原式=（2）原式=【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4、观察下列等式：解答下列问题：（1）写出一个无理数，使它与的积为有理数；（2）利用你观察的规律，化简；（3）计算：．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由平方差的运算法则，即可得到答案；（2）找出题目中的规律，把分母有理化，即可得到答案；（3）先把分母有理化，然后进行化简，即可得到答案．【详解】解：（1）∵，∴这个无理数为：；（2）==；（3）==．【总结升华】本题考查了二次根式的运算法则，分母有理化，平方差运算，熟练掌握运算法则，正确的发现题目中的规律是解题关键．数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】阅读下面的问题：；；试求：(1)；(2)【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先分母有理化，然后在根据二次根式运算法则计算即可；（2）首先根据平方差公式进行分母有理化，然后根据二次根式运算法则计算即可．解：（1）原式===；（2）原式===【点拨】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除，平方差公式，关键是掌握平方差运算法则．二次根式的加减运算（专项练习）一、单选题1．计算+的值等于（）A． B．4 C．5 D．2+2【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=2+3=5故选C．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、＝，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；B、，与是同类二次根式，故此选项符合题意；C、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．3．下列计算正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用完全平方公式和二次根式的相关计算法则求解即可．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、与不能合并，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式的加法运算，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（

）个．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：，∴所有积中小于2的有两个；故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．5．在根式，，，，中，与是同类二次根式的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，继而可得出答案．【详解】∵=5，=，=，故与是同类二次根式的有：，，共2个,故选B.【点睛】本题考查了同类二次根式的知识，解题的关键是掌握同类二次根式是化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．6．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把化为再结合从而可得答案．【详解】解：∵，，，而∴故选A．【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．7．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．10【答案】A【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．【详解】，∵最简二次根式与能够合并，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．8．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（）A．相等 B．互为相反数C．互为倒数 D．互为有理化因式【答案】A【分析】求出a与b的值即可求出答案．【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+，∴a＝b，故选：A．【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．9．一个等腰三角形两边的长分别为5和2，则这个三角形的周长为（）A．10+2 B．5+4C．10+2或5+4 D．10+4【答案】A【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：①若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；②5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝10+2．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．10．观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照上述规律，计算：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据题意，可得，，，⋯⋯，再相加即可得解．【详解】解：第个等式：，

第个等式：，第个等式：，

第个等式：，……第n个等式：，∴=，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．11．下列运算正确的有（）个.①②③④⑤⑥A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据二次根式的运算法则分别进行计算，计算出正确结果即可作出判断．【详解】①，故①错误.②，故②错误.③，故③错误.④，故④错误.⑤，故⑤错误.⑥，故⑥正确.∴①②③④⑤⑥中只有⑥1个正确.故选A.．【点拨】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是能熟练运用二次根式的性质和运算法则进行计算．12．下列关于的叙述正确的是（）A．在数轴上不存在的点 B．C．的算术平方根是13 D．与最接近的整数是4【答案】D【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的加法法则，算术平方根的计算法则，无理数的估算即可求解．解：A、在数轴上存在的点，故错误；B、，故错误；C、的算术平方根是，故错误；D、与最接近的整数是4，故正确；故选D．【点拨】本题考查了实数与数轴，实数的加法，算术平方根，无理数的估算，关键是熟练掌握计算法则．13．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据公式解答即可．【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则其面积为故选：A．【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．14．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（

）A．6 B． C．12 D．【答案】A【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵，∴，∴的整数部分，∴小数部分，∴．故选：．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．15．已知：a=，b=，则a与b的关系是（）A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等【答案】C【详解】因为,故选C.二、填空题16．数轴上，点表示，点表示，则间的距离___________【答案】2－2【分析】根据数轴上点的意义可知数轴上表示的点与表示的点的距离是||=2－2．解：∵=<0，∴两点之间的距离为：||==2－2，

故答案为：2－2．【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离及绝对值，解题的关键是掌握两点间的距离公式．17．计算：_____．【答案】【分析】根据二次根式的运算法则与完全平方公式即可求解．解：=故答案为：．【点拨】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则与完全平方公式的运用．18．计算的结果是______．【答案】【分析】先将二次根式化简及分母有理化，再合并同类二次根式解题．解：故答案为：．【点拨】本题考查二次根式的减法、二次根式分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．比较大小：﹣_____﹣2．（填“”或“”）【答案】【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．解：∵2＝＝＞，∴﹣＞﹣2，故答案为：＞．【点拨】本题主要考查了二次根式的大小比较，准确计算是解题的关键．20．如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．【答案】【分析】设两个正方形A，B的边长是x、y（x＜y），得出方程x2=2，y2=6，求出x=，y=，代入阴影部分的面积是（yx）x求出即可．解：设两个正方形A，B的边长是x、y（x＜y），

则x2=2，y2=6，

x=，y=，

则阴影部分的面积是（yx）x=（）×=，

故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的应用、算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力．21．化简：______．【答案】【分析】分子分母同乘以进行分母有理化即可得．解：原式，，，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．22．若a是的小数部分，则_____．【答案】2【分析】根据＜＜可得的整数部分是3，则小数部分a＝﹣3，代入计算即可．解：∵9＜11＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，∴小数部分是a＝﹣3，∴a（a+6）＝（﹣3）（+3）＝11﹣9＝2．【点拨】本题考查了无理数的估算，注意在相乘的时候，运用平方差公式简便计算．23．已知，则代数式的值为_______．【答案】【分析】把直接代入求解即可．解：，∴原式=．故答案为．【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．24．若，则的值为_________．【答案】【分析】先将变形为，再把代入求值即可．解：，，的值为．故答案为：．【点拨】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解答此题的关键．25．已知为实数，化简=_____．【答案】【分析】由二次根式的性质进行化简，然后进行计算，即可得到答案．解：由二次根式的性质可知，，∴===；故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质进行解题．三、解答题26．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：①；②；③；④__________；…（2）深入探究，观察下列等式：①；②；③；…根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：__________．（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：①；②．【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．【详解】解：（1）10；（2）；（3）①原式；②原式．【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键27．已知，，求代数式的值．【答案】－4【分析】先将代数式因式分解，再