高一数学必修1教案

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1.1.1集合的含义与表示(1)

一、教学目标：

1、了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个性质；

2、理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；

3、掌握常用数集及其记法；

二、教学重点：掌握集合的基本概念；

教学难点：元素与集合的关系；

二、教学过程：

1、引入

在初中，我们已经接触过一些集合。引导学生回忆，举例和互相交流。那么，集合的含义

是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.

2、新课教学

利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：

(1)1—20以内的所有质数；

⑵我国1991-2003发射的人造卫星；

(3)金星汽车厂2003年生产的汽车

(4)2004年1月1日之前与中国建交的国家；

⑸所有的正方形；

(6)到直线L的距离等于定长d的所有的点；

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(7)方程X2—5X+6=0X2的所有实数根；

(8)新华中学2004年9月入学的高一学生的全体。

组织学生分组讨论这8个实例的共同特征是什么？

3、集合的有关概念

⑴一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

⑵集合元素的性质：

①确定性：集合中的元素必须是确定的。

②互异性：集合中的元素必须是互不相同的。

③无序性：集合中的元素是无先后顺序的，任何两个元素都可以交换位置。

⑶集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等.

⑷思考：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

①大于3小于11的偶数；

②我国的小河流；

让学生充分发表自己的理解.

⑸教师提出问题，让学生思考

如果用A表示高一⑵班全体学生组成的集合，用。表示高一⑵班的一位同学，人是高一

(1)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系？

由学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.

如果。是集合A的元素，就说。属于集合A,记作aeA。

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如果4不是集合A的元素，就说。不属于集合A,记作。定A。

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3CA,4《A,等等。

⑹集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合

元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

⑺常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N;

正整数集，记作N*或N+;

整数集，记作Z;

有理数集，记作Q；

实数集，记作R；

4、练习：

P5用"心或“任”符号填空：

设A为所有亚洲国家组成的集合，则

中国A,美国A,

印度A,英国A。

四、课堂小结：

⑴集合、元素的概念

⑵集合中元素的三个性质

⑶常用的数集

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LL1集合的含义与表示(2)

一、教学目标：

1、了解集合的表示方法；

2、能正确选择列举法或描述法。

二、教学重点：掌握集合的表示方法；

教学难点：选择恰当的表示方法；

二、教学过程：

1、复习回顾：

集合和元素的定义；元素的三个性质；元素与集合的关系；常用的数集及表示。

2、引入:

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便。除此之外,

我们常用列举法和描述法来表示集合。

3、列举法：

例子，地球上的四大洋组成的集合{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列

举法。

说明：L各个元素之间要用逗号隔开；

2.对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方

能用省略号，自然数集N用列举法表示为{1,2,3,4,5,……}

例L用列举法表示下列集合：

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(1)小于1。的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；

(3)由1到20以内的所有素数组成的集合；

解：(1)A=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝

4、描述法：

思考:不等式X-7<3的解集是列举不完的，设不等式X-7<3的解集为D,则D=｛xCR|x<10｝

描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，

再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

说明：1.课本Ps最后一段话；

2.描述法表示集合应注意集合的代表元素，如｛(x,y)|y=x2+3x+2｝与｛y|y=x2+3x+2｝是不同

的两

个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：｛x|整数｝,即代表整数集Z。

辨析：这里的1｝已包含“所有”的意思，所以不必写｛全体整数｝。

例2.试分别用列举法和描述法表示下列集合：

⑴方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合；

思考3：

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，

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一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

5、课堂练习：

课本Ps练习2

四、归纳小结：

集合的常用表示方法：列举法、描述法。

五、作业：

课本P5练习1,2;

1.1.2集合间的基本关系

一、教学目标：

1、了解集合之间的包含、相等关系的含义；

2、理解子集、真子集的概念；

3、能利用Venn图表达集合间的关系；

4、了解空集的含义。

二、教学重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。

教学难点：弄清楚属于与包含的区别。

三、教学过程：

1、复习回顾：

集合的两种表示方法:列举法，描述法。

2、引入:

思考P6：类比实数的大小关系，如5=5,5<7,,5>3,试想集合间是否有类似的“大小”

关系呢？

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3、新课教学：

⑴子集的概念：

观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系：

®A=[1,2,3｝,B=｛1,2,3,4,5)；

②人:｛高一(2)班的女生｝,B=｛高一(2)班的学生｝;

③上二民山是两条边相等的三角形｝,F=｛x|x是等腰三角形｝

由学生通过观察得结论：集合A的任何一个元素都是集合B的元素

子集的定义：对于两个集合A,B,如果集合Z的任何一个元素都是集合3的元素，我们

说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)o记作：

读作：“A含于B”,或“B包含A”

(2)Venn图：

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

如图:*AAn

⑶集合相等定义：IIA]]

如果A是集合B的子集A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样

的，因此集合A与集合B相等，即若AuRSBuA,则4=8。

⑷真子集定义：

若集合AgB,但存在元素xe氏且;则称集合4是集合3的真子集。

记作：ASB(或B2A)

读作:“A真含于B”,或“B真包含A”。

⑸空集：

不含有任何元素的集合称为空集，记作：0o

思考P7：元素与集合是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”

的关系；

几个重要的结论：

①任何一个集合是它本身的子集；

②空集是任何集合的子集；

③空集是任何非空集合的真子集；

④对于集合A,B,C,如果Aqb,且那么A^C。

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强调：在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

4、讲授例题：

例3.写出集合他,例的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

5、课堂练习：

课本P7练习1,2,3

四、归纳小结：

⑴子集、真子集、空集等概念及符号；

⑵用Venn图直观地表示集合；

⑶注意包含与属于符号的运用。

五、作业：

课本P7练习1,2,3

1.1.3集合的基本运算⑴

一、教学目标：

1、理解交集与并集的概念；

2、掌握交集与并集的区别

3、会求两个已知集合的交集和并集。

二、教学重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。

教学难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别。

二、教学过程：

1、复习回顾：

集合之间的关系、子集、真子集、空集等概念。

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2、引入:

思考P8考察下列集合，说出集合C与集合A,B之间的关系：

(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};

(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数};

由学生通过观察得结论:集合C由集合A和集合B的元素所组成的。

3、新课教学：

⑴并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B

的并集(unionset)o记作:AUB(读作:“A并B”)，即

用Venn图表示：

AB

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

⑵例题讲解：

例4A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AUB;

例5A={x|-l<x<2},B={x|l<x<3},求AUB。

思考PsAUA=A,AU0=A

(3)交集的定义：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A、B的交集,

记作ADB(读作“A交B”)即：

AAB={x|x€A,且xWB}

用Venn图表示：(阴影部分即为A与B的交集)

⑷例题讲解：

例6(略)

例7设平面内直线4上点的集合为LI，直线上点的集合为L2,试用集合的运算表示4,12

的位置关系。

思考P9AnA=AAn0=A

4、课堂练习：

课本P”练习1,2,3

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四、归纳小结：

⑴交集、并集的概念及符号；

(2)Venn图直观地把两个集合之间的关系表示出来；

⑶数轴在求交集和并集中的运用。

1.1.3集合的基本运算(2)

一、教学目标：

1、理解补集的概念，正确理解符号“C°A”的涵义；

2、求已知全集的补集。

二、教学重点：补集的有关运算及数轴的应用。

教学难点：补集的概念。

二、教学过程：

1、复习回顾：

交集、并集、符号语言如何表示？

2、引入：

在研究问题时，我们需要讨论研究对象的范围。在不同的范围研究一个问题，可能有不同

的结果。

例如方程(X-2)(X2-3)=0,在有理数范围只有一个解2;在实数范围有三个解2,匕？，A3。

3、新课教学：

(1)全集的定义：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,

记作U。

⑵补集的定义：

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于

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全集U的补集，记作：C.A,读作：“A在U中的补集”，即

用Venn图表示：(阴影部分即为A在全集U中的补集)

A

U

⑵例题讲解：

例8设集。=卜卜是小于9的正整数},A={1,2,3},3={3,4,5,6},求CVB.

解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以G7A={4,5,6,7,8},CvB={i,2,7,8).

例9设全集U={x|x是三角形}A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求An

B,

CJAUB)

4、课堂练习：

课本P”练习4

四、归纳小结：

补集、全集的概念和符号；

五、作业：

课本P”练习1,2,3,4

1.2.1函数的概念

一、教学目标：

1、用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

2、了解构成函数的三要素；

3、使用“区间”的符号表示某些集合。

二、教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：符号“产《㈤”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

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二、教学过程：

1、复习回顾：

初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量X和必对于X的每一个确定的值，y

都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.

2、引入：

初中函数的表示方法有：解析法、列表法、图象法.

结合课本P15给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例(1);

优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例(2);

优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例(3);

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；列车时刻表；银行利率表等。

3、新课教学：

⑴例3P某种笔记本的单价是2元，买2,3,4,5｝)个笔记本需要y元.试用

三种表示法表示函数y=f(x).

⑵常见函数的定义域，值域：

①一次函数y=ax+b(a#O)的定义域是R,值域也是R;

②二次函数y=or2+bx+c(a=#0)的定义域是R,值域是B;

当a>0时，值域3=”咎一"］；当a<0时，值域8=y”丁

③反比例函数y=?左。0)的定义域是｛小工0｝,值域是｛引尸0｝。

⑶区间及写法：

设a、b是两个实数，且a<b,贝IJ：

①满足不等式aWxWb的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］;

②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

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③满足不等式。wx(域a<XW匕的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为,力),(a,句；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。

符号“8”读“无穷大”；“一oo”读“负无穷大”；“+oo”读“正无穷大，

⑷例题讲解：

例1：已知函数仙)=Jx+3

(1)求函数的定义域；

2

(2)求2(-3),《)的值；

(3)当a>0时，求/(a),4a—1)的值.

引导学生小结几类函数的定义域：

①如果4角是整式，那么函数的定义域是实数集R.

②如果男㈤是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.

③如果扉㈤是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

④如果4角是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的

实数集合.(即求各集合的交集)

⑤满足实际问题有意义.

例2、下列函数中哪个与函数y=x相等？

(1)J=(Vx)2;(2)片(浮)；

(3)产后;(4)y=—

X

①构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.如果两个函数的定义域和对应关系完全

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一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的

字母无关。

4、课堂练习：

课本P19练习1,2,3

四、归纳小结：

⑴用集合与对应的语言描述了函数的定义；

⑵判断同一函数的基本方法；

⑶区间的概念。

五、作业：课本P19练习1,2,3

1.2.2函数的表示法（1）

一、教学目标：

1、掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法）；

2、了解三种表示方法各自的优点，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

3、了解简单的分段函数。

二、教学重点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

二、教学过程：

1、复习回顾：

函数的概念？函数的三要素？

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2、引入:

结合课本P15给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：

①解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如L2.1的实例1;优点：

简明扼要；给自变量求函数值。

②图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例2;优点：直观形

象，反映两个变量的变化趋势。

③列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例3;优点：不

需计算就可看出函数值，如股市走势图；列车时刻表；银行利率表等。

3、新课教学：

⑴例题讲解：

例3.P19某种笔记本的单价是2元，买2,3,4,5｝）个笔记本需要y元.试用

三种表示法表示函数y=f（x）.（略）

注意："y=f（x）”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表。

例4.P19下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均

分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王伟988791928895

张城907688758680

赵磊686573727582

班平均分88.278.385.480.375.782.6

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.（略）

⑵分段函数：

例5.画出函数y=|x|的图象。（略）

例6.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

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(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的俺公里计算)。如果某条

线路的总里程为2。公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数

的图象。(略)

注意：分段函数是一个函数，函数有几种不同的表达式用一个左大括号括起来，并分别注

明各部分的自变量的取值情况.

4、课堂练习：

课本P23练习1,2,3;

四、归纳小结：

⑴函数的三种表示方法；

⑵分段函数的表示方法及其图象的画法。

⑶了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。

1.2.2函数的表示法(2)

一、教学目标：了解映射的概念及表示方法；

二、教学重点：求函数的解析式。

教学难点：对函数解析式方法的掌握。

二、教学过程：

1、复习回顾：

函数表示方法有：解析法、列表法、图象法.

2、引入：

⑴举例

对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；

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对于坐标平面内任何一个点，都有唯一的坐标(X,力和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

⑵导入

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”扩展为“任意两

个非空集合”，按照某种法则建立起的元素之间的对应关系，即映射。

3、新课教学：

⑴映射的概念：

一般地，设43是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则/,使对于集合力中

的任意一个元素x,在集合3中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应广A-B为

从集合力到集合3的一个映射。记作：

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？

映射可以一对一，多对一，但不能一对多。函数是特殊的映射。

⑵例题讲解：

例7：P22以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？

(1)集合力=｛尸IP是数轴上的点｝,集合mR对应关系f：数轴上的点与它所代表的实

数对应；

(2)集合Z=｛P|P是平面直角坐标系中的点｝,岳｛(x,y)|xeR,yeR｝,对应关系f：平面

直角坐标系中的点与它的坐标对应；

(3)集合力=｛x|x是三角形｝,集合岳｛x|x是圆｝,对应关系f:每一个三角形都对应它

的内切圆；

(4)集合力=｛x|x是新华中学的班级｝,集合岳｛x|x是新华中学的学生｝,对应关系：每

一个班级都对应班里的学生。

4、课堂练习：

课本P23练习4;

四、归纳小结：

映射的概念

五、作业：课本P23练习1,2,3,4;

1.3.1单调性与最大(小)值(1)

一、教学目标：

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1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；

2、掌握增(减)函数的证明和判别；

3、运用函数图象理解和研究函数的性质。。

二、教学重点：函数的单调性及其几何意义。

教学难点：利用函数的单调性的定义判断、证明函数的单调性。

三、教学过程：

1、引言：

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢?

⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

①随x的卡大，y的值有什么变，七?

----------1-1----------►--------------1----------------

②能否看小函数的最大、最力绅

③函数图象是否具有某种对称性?

2、新课教学：

⑴增函数：

①根据f(x)=x、f(x)=x2的图象进行讨论：

观察、分析：

函数图像的"上升下降"反映了函数的一个基本性质——单调性。

②请观察函数y=x2的表格，回答下列问题：

X・・・-4-3.-101234・・・

f(x)=x2・・・16941014916.・・

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当x€(—8,0),x增大时，图中的y值减小;

当xW[0,+oo),x增大时，图中的y值增加;

即f(x)=x2在区间xW[0,+8)上,当X1<x?时，有f(xj<f(x2)。

③增函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任

意两个自变量Xi,x2,当X1VX2时,都有f(xJ<f(X2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。

⑵减函数：

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1,

X2,当X1VX2时,都有f(xJ>f(X2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。

归纳：在单调区间上增函数的图象是上升，减函数的图象是下降。

⑶利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取Xi,x2€D,且X1<X2；

②作差f(X1)-f(x2);

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差f(Xi)-f(X』的正负)；

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

⑷例题讲解：

例1P29如图是定义在区间[—5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间，以及

在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？(略)

例2P29物理学中的玻意耳定律〃=[(々为正常数)，告诉我们对于一定量的气体，当其体

积P增大时，压强。如何变化？试用单调性定义证明。(略)

⑸探究：

画出反比例函数丫=，的图象。

X

(1)这个函数的定义域I是什么？

(2)它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。

通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想

的正确性，是研究函数性质的一种常用方法。

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3、课堂练习：

课本P32练习3,4

四、归纳小结：

⑴增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；

⑵增(减)函数的证明和判别；

⑶函数图象上升和下降来判别增(减)函数。

1.2.2单调性与最大(小)值(2)

一、教学目标：理解函数的最大(小)值及其几何意义.；

二、教学重点：求函数的最大(小)值。

教学难点：能利用单调性求函数的最大(小)值。

二、教学过程：

1、复习回顾：

配方法求最值。函数f(x)=x2的单调区间及单调性。函数f(x)=x?的最小值的情况。增函

数、减函数的定义。

2、引入:

思考：函数f(x)=-x2的最大值的情况。

画图，指出函数图象的最高点。

3、新课教学：

⑴最大值的概念：

设函数y=f(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：对于任意的XC/,都有f(x)<M;存

在XoW/,使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

⑵最小值的概念：

设函数y=f(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：对于任意的x€/,都有f(x)>M;存

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在XoW/,使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值。

⑶例题讲解：

例3P3。“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如

果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为〃⑺=-4.9产+14.7/+18,那么烟花冲出

后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1m)?

例4P31求函数丫=工在区间［2,6］上的最大值和最小值.

4、课堂练习：

课本P32练习5；

四、归纳小结：

⑴函数的最大(小)值的定义

⑵函数最值的常用方法有：配方法，数形结合法。

五、作业：课本P32练习3,4,5;

1.3.2奇偶性

一、教学目标：

1、理解奇函数、偶函数的概念及几何意义；

2、熟练判别函数的奇偶性。

二、教学重点：熟练判别函数的奇偶性。

教学难点：符号“产43”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

二、教学过程：

1、引入：“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们

看看下列各函数有什么特征？

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函数/(x)=r是定义域为全体实数的抛物线；函数f(x)=2-|x|是定义域为全体实数的折

线；各函数之间的特征为图象关于y轴对称.观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关

系？

归纳：若点3.f(x))在函数图象上，则相应的点(rj(x))也在函数图象上，即函数图象上

横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。f(-3)=9=f(3),f(-2)=4=f(2),f(-l)=l=f(l)。

2、新课教学：

⑴偶函数的概念：

一般地，对于函数/(X)定义域内的任意一个X,都有/(-x)=/(x),那么函数/(X)叫偶函数。

⑵奇函数的概念：

①观察下图，这两个函数图象有什么共同特征吗？

f(x)=xf(x)=—

yy

Oxx''A

oI

函数之间的特征为图象关于原点对称.观察一对关于原点对称的点的坐标有什么关系？

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归纳：若点(x,/(x))在函数图象上，则相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上，即函数图象

上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也互为相反数。f(-3)=-3=-f(3)

②如果对于函数定义域内的任意一个x,都有/(-x)=-f(x),那么函数/(x)叫奇函数。

⑶注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一

个x,则r也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

③偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

⑷例题讲解：

思考：f(x)=x3+3的奇偶性。

例5：判断下列函数的奇偶性

(1)/(X)=X4(2)f{x)=x5(3)/(%)=%+-(4)f(x)=\.

XX

归纳：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定/(-X)与〃幻的关系；

③作出相应结论：

若/(一幻=/(x)或/"(—)-/(%)=0,贝犷(x)是偶函数；

若/(一幻=一/(幻或/X—X)+/(%)=0,贝依x)是奇函数•

3、课堂练习：

课本P36练习1,2

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四、归纳小结:

⑴函数的奇偶性；

⑵判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法；

⑶学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。

五、作业：课本P36练习1,2

2.1.1指数与指数塞的运算⑴

一、教学目标：

1、掌握n次方根、根式、分数指数塞的概念；

2、理解根式、分数指数塞的意义；

3、进行根式的运算、分数指数塞的运算。

二、教学重点：分数指基的意义及其运算性质；

教学难点：根式的概念及分数指数基的概念。

二、教学过程：

1、复习回顾：

幕、平方根、立方根、二次根式、三次根式。

2、引入:

课本P56的问题1和问题2。(1+7.3%)1,(1+7.3%)2,(1+7.3%)3,(-)1

2

600010000

4(1A?73O(1A5730、

2(1),是正整数指数骞。I、I的意义是什么呢?

指数取值从整数推广到实数。

3、根式：

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(l)n次方根：

如果x2=a,那么x叫做a的平方根，例如±2是4的平方根

如果x3=a,那么x叫做a的立方根，例如2是8的立方根

(±2)'=16,±2是16的4次方根，25=32,2叫做32的5次方根。

一般地，如果xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中，n>l,且nWN"

①n为奇数时，正数的n次方根是正数；负数的n次方根是负数；0的n次方根是0;

近=亚=2,打五=’(_2)5=_2,•妤=痴)3=々2

②n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数。记：土加。

负数没有偶次方根；0的n次方根是0,记作花=0。

⑵根式：像标的式子就叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。

(3)探究：(族)“、也7的意义及结果？

①丽)"=a.

②n为奇数时，值=。

,.I—,[cia20

n为偶数时，"a"=।IaI=(

—aa<0

⑷例题讲解：

例1、求下列各式的值：

(1)/产(2)&-IO)?⑶取3一一尸(4)4a-b)2(a>b)

4、课堂练习：

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课本P54练习1

四、归纳小结：

1、n次方根、根式的概念

2、进行根式的运算

2.1.1指数与指数幕的运算(2)

一、教学目标：

1、理解分数指数塞的概念；

2、掌握根式与分数指数寨的互化；

3、掌握有理数指数塞的运算。

二、教学重点：分数指数塞的概念；

教学难点：有理数指数基的运算，无理数指数塞的意义。

二、教学过程：

1、复习回顾：

什么叫根式？根式运算性质：(&)"=?、历'=?。

2、引入：

_________________________12

(1)=a2=a5(a>0)yla12=J(a，)4=a3=a4(a>0)

当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数募。

—2£

(2)Va2=a3(a>0)4b=b2(b>0)

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以表示为分数指数募。

3、分数指数塞：

⑴正数的正分数的指数塞的意义是：a"=值(a>0,m,n《N*,且n>l);

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-巴1

(2)正数的负分数的指数塞的意义是：a”(a>0,m,n^N*,且n>l);

疝

(3)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数骞没有意义

4、有理数指数募的运算：

指数规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整

数指数第的运算性质也同样可以推广到有理数骞.

指数骞的运算性质：

(l)aras=a'+s(a>0,r,s^Q)

(2)(a)'=a"(a>0,r,s^Q)

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r£Q)

5、例题讲解：

⑴例2、P51求值：

2j_3

(1)♦⑵25」(3)(J-⑷即4

⑵例3、Psi用分数指数寨的形式表示下列各式(其中a>0)

(3)例4、P52计算下列各式(式子中字母都是正数):

21115

(1)(2。？2)(一6a2〃)+(―3。6〃6)

J.-1

(2)(m4n0)8

⑷例5、P52计算下列各式：

(1)(V25-V125)-V25

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2

(2)LL(a>0)

6、无理数指暮：

(1)5栏中指数是无理数，近似值看表P53的结果？

①当V2的不足近似值从小于近的方向逼近正时，56的近似值从小于50的方向逼近

5餐

②当V2的过剩近似值从大于近的方向逼近后时，5®的近似值从大于5右的方向逼近

5^0

(2)无理数指数幕的定义：

一般地，无理数指数骞aa(a>0,a是无理数)是一个确定的数。

注意：有理数指数骞的运算性质同样适用于无理数指数骞。

7、课堂练习：

课本P54练习2,3

四、归纳小结：

1、分数指数是根式的另一种写法；

2、分数指数哥的运算性质；

3、无理数指数塞的意义。

五、作业：

课本P54练习1,2,3;

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2.1.2指数函数及其性质(1)

一、教学目标：

1、理解指数函数的概念和意义；

2、根据图象理解和掌握指数函数的性质；

3、体会数形结合的思想。

二、教学重点：指数函数的概念和性质；

教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用；

二、教学过程：

1、复习回顾：

根式，分数指数骞，根式的运算，分数指数幕的运算。

2、引入：

t

⑴在本章的开头，问题⑵对于任意的1>0,。=(£|'""都有意义，即碳14含量p是时

间t的函数。

(2)探究：问题(2)中的函数与问题(1)的函数y=(1+7.3%)x(xGN*,x<20)有什么共

同特征？

把P=[('而变成P=[(g)看]，得到这两个关系式中的底数是一个正数，自变量

为指数，即都可以用丫=优(。>0且〃#1)。

3、指数函数的定义：

(1)一般地，函数>=优(〃>0,且叫做指数函数，其中X是自变量，函数的定义

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域为R.

当x>0H寸,"等于0

①若。=0,<

当xWO时，优无意义

②若aV0,如y=(-2)',x=；在实数范围内的函数值不存在。

③若a=l,y=l*=l,,是一个常量，没有研究的意义。

⑵我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合

的方法来研究。

①a>1的情况

画出函数y=2'的图象

-0.5

0.30.71.42.

124

51183

②研究OVaVI的情况

画出函数y=的图象

一一

111L0.0.5111-----------►-

0

2.81.40.70.3

421

3115

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▲

17

③思考：从图中我们看出＞=2,与y=（；），的图象有什么关系?

通过图象看出y=2'与尸（非的图象关于），轴对称，实质是y=2'上的点（yy）与

关*y加对‘称。’0............-

讨论：y=2,与尸（3的图象关于），轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗?

⑶探究:从图上看＞=能（«＞D与k优（OVaVl）两函数图象的特征?

17

根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、

奇偶性.„

,',函数性质'1'

a>10<a<1

函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为（0,+8）

过定点（0,1）

增函数减函数

四、归纳小结：

1、指数函数的定义；

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2、指数函数性质；

2.1.2指数函数及其性质（2）

一、教学目标：

1、掌握指数函数的性质；

2、指数函数的性质的运用。

二、教学重点：掌握指数函数的性质；

教学难点：指数函数的性质的运用。

三、教学过程：

1、复习回顾：

复习指数函数的图象和性质。

2、例题讲解：

⑴例6P56已知指数函数=（。＞0且awl）的图象过点（3,兀），求

⑵例7P57比较下列各题中的个值的大小

⑴172・5与1.73

⑵0.8对与0.8心

⑶1.7°尔与0.931

⑶例8P57截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平

均均增长率控制在1%,那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到

亿）？

⑷探究：P58探究：

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①如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33

年后的我国人口数.

②如果年平均增长率保持在2%,利用计算器20202100年，每隔5年相应的

人口数.

③你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？

④如何看待计划生育政策？

3、课堂练习：

课本P58练习1,2,3

四、课堂小结：

指数函数性质的运用。

五、作业：

课本P58练习1,2,3

2.2.1对数与对数运算(1)

一、教学目标：

1、了解对数、常用对数、自然对数的概念；

2、掌握对数式与指数式的相互转化。

二、教学重点：对数概念的理解；

教学难点：对数式与指数式的相互转化。

二、教学过程：

1、引入：

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在2.1.2的例8中，关系y=13X1.01x,能算出任意年头x的人口总数y。反过来，如

果问“哪一年的人口数可达到18亿、20亿？”如何解决？

2、讲授新课：

⑴对数的概念：

上述问题中，y=18和y=20时，有!|=1.0匕m=1。「，即已知底数和塞的值，求指

数，这就是我们要学习的对数问题。

一般地，如果废=N（a>0,且aW1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log/,

其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。（指数与对数的底数相同）

18|«18

例如：百=1.01'写成对数形式：x=log101B,称为x是以1.01为底内的对数。

16

42=16,写成对数：2=log4,以4为底16的对数是2。

⑵常用对数与自然对数：

①以1。为底的对数叫常用对数,logJ记为IgNo

②以e=2.71828…为底的对数叫自然对数，并把自然对数log,N记为InN.

⑶对数与指数间的关系：

当a>0,且a#l时，a'=N<=>x=log„A，o

零和负数没有对数（即N>0）o

因为a°=l,〃=a,所以有：logj=0,log/=lo

3、例题讲解：

⑴例663将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

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(1)5'=625(2)2-6=^⑶W=5.73(4)log,-4

(5)lg0.01=-2(6)lnl0=2.303

⑵例2P63求下列各式中x的值

9

x_2

(1)logM~J(2)logv8=6(3)lgl00=x(4)-\ne-x

4、课堂练习：

课本P64练习1,2,3,4

四、归纳小结：

1、了解对数、常用对数、自然对数的概念；

2、掌握对数式与指数式的相互转化。

五、作业：

课本P64练习1,2,3,4

2.1.1对数与对数运算(2)

一、教学目标：

1、掌握对数的运算性质、换底公式；

2、运用运算性质解决问题。

二、教学重点：运用对数运算性质解决问题；

教学难点：对数运算性质的推导。

三、教学过程：

1、复习回