数字信号处理原理 习题答案汇 刘泉 第2-5章 离散时间信号时域分析-快速傅利叶变换

2.1给定离散信号(1)画出序列的波形，并标出各序列值；(2)试用延迟的单位冲激序列及其加权和表示序列；(3)试分别画出序列和序列的波形。解(1)的波形如图2.1所示。(3)和的波形分别如图2.2和图2.3所示。 图2.1图2.2图2.32.2判断下列序列是否为周期序列。若是周期的，请确定其周期。(1)，式中为常数 (2)解(1)为有理数，所以是以16为周期的周期序列。(2)因为,而为无理数，所以此序列是非周期序列。2.3已知线性非移变系统的输入为，系统的单位采样响应为，试求系统的输出并作图。(1)， (2)，(3)， (4)，解(1),输出如图2.4所示。，输出如图2.5所示。图2.4 图2.5(3)输出如图2.6所示。(4)当时，当时，，输出如图2.7所示。图2.8 图2.6 图2.72.4已知一个线性非移变系统的单位采样响应为试用直接计算卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。解(1)当时,得(2)当时,得故所求系统的单位阶跃响应为2.5图P2.8所示的是单位采样响应分别为和的两个线性非移变系统的级联，已知,,,，试求系统的输出。图P2.8题2.5图解因为2.6判断下列系统是否为：(a)线性系统；(b)非移变系统；(c)稳定系统；(d)因果系统。请予以证明。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)(a)所以是非线性系统(b)因为所以是非移变系统(c)设,则有，所以是稳定系统(d)因为n时刻的输出y(n)只取决于n时刻的输入x(n)，所以是因果系统(2)(a)所以是非移变系统(b)因为所以是非移变系统(c)设有界，则有界，所以系统稳定(d)因为时，时刻的输出时刻以后的输入有关，所以是非因果系统(3)(a)所以是线性系统(b)故为移变系统(c)设，则，所以是稳定系统(d)因为n时刻的输出y(n)只取决于n时刻输入x(n),所以是因果系统(4)(a)所以是线性系统(b)因为所以是移变系统(c)设，令g(n)=n,则(d)时刻的输出只取决于时刻的输入，所以是因果系统(5)(a)因为(b)因为所以是非移变系统(c)设，则，当时，有，所以不是稳定系统(d)n时刻的输出只取决于时刻的输入，所以是因果系统(6)(a)因为，所以是线性系统(b)因为所以是非移变系统(c)设，则，当时，有，所以不是稳定系统(d)当时，时刻的输出与时刻以后的输入有关，所以是非因果系统2.7讨论下列各非移变系统的因果性和稳定性。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)因为时，，所以该系统为非因果系统由稳定充要条件得,所以系统稳定(2)因为时，，所以该系统为因果系统由稳定充要条件得，所以系统稳定(3)因为时，，所以该系统为非因果系统由稳定充要条件得所以当时，系统稳定；当时，系统不稳定(4)因为时，，所以该系统为因果系统由稳定充要条件得，所以系统不稳定(5)因为时，，所以该系统为因果系统由稳定充要条件得(为有限值),则系统稳定(6)因为时，，所以该系统为非因果系统由稳定充要条件得，所以系统稳定2.8设系统的差分方程为其中为输入，为输出。当边界条件分别为时，试判断系统是否为线性系统或是否为非移变系统。解（1）当边界条件为时①设，则 由差分方程得 递推得 当时， 因而 递推得 综上可知 ②设 由差分方程得 递推得 即 当时， 因而 递推得 综上可知 由①和②的结果可知，与是移1位的关系，但与不是移1位的关系，所以在的条件下，系统是移变系统。③设 当时， 递推得 即 当时， 则 递推得 综上得 所以，该系统在条件下是线性系统。（2）当边界条件为时①设 得 ②设 得 由①和②的结果可知，与是移位的关系，但与也是移位的关系，所以在的条件下，系统是非移变系统。③设 当时， 当时， 综上得 所以该系统在的条件下是线性系统。2.9设系统的框图如图P2.9所示，试列出该系统的差分方程，并按初始条件，求输入为时的输出。图P2.9题2.9图解由图可得方程组 联立整理得到系统的差分方程为 由于时，，则通过迭代可得 归纳可得 整理化简得2.10设一因果系统的输入/输出关系由下列差分方程确定：(1)求该系统的单位采样响应；(2)利用(1)得到的结果，求输入为时系统的响应。解(1) 因为 所以⋮可以推出 即 2.11设系统的单位采样响应，系统的输入是一些观测数据。若假设系统的初始状态为零状态，且，试利用递推法求系统的输出。解当n<0时，h(n)=0，此时系统输出为0。当n>0时系统的输出为系统输入与系统单位采样响应的线性卷积，即利用递推法可求系统输出如下：当n=0时，当n=1时，当n=2时，当n=3时，⋮依此类推，可得：则系统的输出为：2.12有一连续时间信号，式中f=20Hz,φ=π/2。(1)试确定的周期；(2)若用采样间隔T=0.02s对进行采样，试写出采样信号的表达式；(3)画出对应的时域离散序列的波形，并求出的周期。解(1)的周期为(2)采样信号的表达式为(3)的数字频率为,又因为,所以的周期为。离散序列可描述为,其波形如图2.10所示。图2.102.13试用MATLAB绘出题2.2中各信号的波形。(1)%参数设置A=1;%振幅An=0:50;%n的范围，从0到50phi=pi/6;%相位偏移phi=π/6%计算cos函数y=A*cos(5*pi*n/8+phi);%绘图stem(n,y);%使用stem函数绘制离散图xlabel('n');%x轴标签ylabel('Amplitude');%y轴标签title('y=Acos(5\pin/8+\pi/6)');%图标题gridon;%显示网格(2)%定义n的范围n=0:50;%计算序列x(n)x_n=exp(1j*(n/8-pi));%分别绘制实部和虚部figure;subplot(2,1,1);stem(n,real(x_n),'filled');title('实部');xlabel('n');ylabel('实部');subplot(2,1,2);stem(n,imag(x_n),'filled');title('虚部');xlabel('n');ylabel('虚部');2.14试用MATLAB实现题2.3中的卷积运算，并绘出相应的信号波形。(1)x=[1];%h=[11111];%y=conv(x,h);stem(y,'fill');(2)n=0:10;%可以自定义范围u1=(n>=0);%第一个阶跃函数u2=(n>=0);%第二个阶跃函数result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);axis([010020]);(3)n=0:10;u1=0.5.^n.*(n>=0&n<3);%u2=(n==2);%result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);(4)n=-10:10;%可以自定义范围u1=2.^n.*(n<0);%u2=0.5.^n.*(n>=0);%result=conv(u1,u2);figure;stem(-20:(length(result)-1)/2,result);%-20由自定义范围得出2.15试用MATLAB实现题2.12的采样过程，绘出相应的时域和频域波形。(1)时域波形closeallclearall%定义采样间隔Ta=2*pi/(40*pi);N=32;Ts=Ta/N;t=(0:N-1)*Ts;x=cos(40*pi*t+pi/2);%绘制采样后的信号stem(t,x,"filled");xlabel('时间(s)');ylabel('x(t)');title('采样后的信号');gridon;(2)频域波形%计算采样信号的FFTX=fft(x);X=fftshift(X);%计算频率轴f=((0:N-1)-N/2)/Ta;figure%计算幅度谱magnitude=abs(X)/N;%绘制频域波形stem(f,magnitude,'fill');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度');title('抽样信号的频域波形');gridon;3.1设Xeiω和Yeiω分别是xn1xn−n05x解2DTFTx∗34所以DTFT5=n=−∞+∞xn=或者DTFT6dX所以DTFT(7)因（DTFT3.2已知X求Xejω的傅里叶反变换解:因为当ω0<ω<ω0时,所以x=3.3线性非移变系统的频率响应Hejω=Hejωy证明:假设输人信号xn=eiωy上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定系统的频率响应，即有xy=上式中Heiω是ω的偶函数，相位函数是ω的奇函数，即Hejωy3.4试求以下序列的傅里叶变换。13xn=解2==343.5已知xn=解:序列xDTFT=DTFTx03.6若序列ℎn是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式求序列ℎn及其傅里叶变换H解：因为

HℎH3.7若序列ℎn是实因果序列，ℎ0=1，其傅里叶变换的虚部为H1ejω解而DTFT则ℎ所以H3.8设系统的单位冲激响应ℎn=x完成下面各题：12分别求出解:(1)系统输出为

y由2DTFTDTFTDTFT=3.9已知xat=2cos2πf0t，式中f0=1写出2写出3分别求出解:X=2πδω−2π=2πδ2xxn3===800而3.10求下列序列的Z变换，指出收敛域，并画出零极点图。1an41nn≥15解:1由Z变换的定义可知X=极点为z=a,z=a−1，零点为z=0,z=∞，因为az<1，且az−1<1，即得Z变换的收敛域为aMatlab实现程序如下：cleara=0.5;b=0c=1−zplaneb,c图3.1零极点图2极点为z=12，收敛域为z>图3.2零极点图3Z极点为z=12，零点为z=0，收敛域为z<1图3.3零极点图4由Z变换的定义可知X因为则X极点为z=1,z=0，零点为z=∞，而Xz的收敛域和dXzdz的收敛域相同，所以Xz收敛域为z图3.4零极点图5Y所以X极点为z=ejω0,z=图3.5零极点图6y=cosφ⋅cos则

Y=而

x则

X极点为z=reiω0,z=re−jω图3.6零极点图3.11求序列xn=n解令再令i=nX3.12用长除法、留数定理法和部分12X3解：1长除法：由于是右边序列，所以按降幂级数排列，X所以x留数法:xn=12πjc11+当在c内有z=−12一个极点，则有x由于xn为因果序列,故n<0时，xn部分分式法：由题得，因为zx2长除法：由于极点为z=14，收敛域为z<14，X所以x留数法：xn=12πjc1−2当nx当nx当nx综上所述，有部分分式法：X则Xz=8−71−14z−1，x3长除法：因为极点为z=1a，由z>1a可知Xx留数法：xn=12πjcz−a1−azzx当n=0时，Xzzn−1在cx当n<0x部分分式法：X3.13已知一个线性非移变系统，用差分方程描述如下y求系统的系统函数Hz，求系统的单位冲激响应。可以看出系统为一个不稳定系统，求满足上述差分方程的一个稳定（但非因果）系统的冲激响应。解：(1)差分方程两边取Z变换得：Y系统函数为

H零点为z=0,极点为z1=1+52,图3.7 零极点图（2）H3H得到ℎ此时系统稳定，但非因果。3.14设一个线性非移变系统的因果系统，其系统函数为Hz23证明这个系统是一个全通系统。解：1由题意可得系统函数有一个极点z=a，若要求它是一个稳定系统，该系统函数的极点应全部在单位圆内，因此a<1，因为a为实数，所以一1<2系统函数的零点为z=a−1,极点为z=aa0a01/aRe(z)Im(z)图3.83H因此，此系统是一个全通系统。3.15设线性非移变系统的差分方程为y试求它的单位冲激响应，并判断它是否为因果系统，是否为稳定系统。解：在差分方程两边求Z变换得1所以该系统的系统函数为HH该系统的极点有z=13当|z|<1/3时，ℎ(n)=−3/8∗[因为收敛域不含∞，所以是非因果系统；收敛域不含单位圆，不是稳定系统。(2)当1/3<|z|<3因为收敛域不含∞，所以是非因果系统；收敛域含单位圆，是稳定系统。当3<|z|时，因为收敛域包含∞，所以是因果系统；收敛域不含单位圆，不是稳定系统。3.16某系统的差分方程为y求输人为xn=12解:对差分方程的两边取单边Z变换，得Y将初始条件代人上式整理得YY=故零输入响应y由xY=故零状态响应为y综上所述，系统的相应为y3.17设确定性序列xn的自相关函数为

rxx=n=−∞∞xnxn+m

，试用xn解:Z令n+m=iZ所以Z由于Xeiω是单位圆上的Z变换，所以3.18已知线性因果网络用下面差分方程描述y1求网络的系统函数2写出频率响应He3设输入解:1对差分方程两边取Z变换得Y系统函数为H因为H所以ℎ2

系统的零点为z=−0.9，极点为z=0.9，如图3.9所示。将系统的幅频响应记为He①当②随ω的增大，由0变到π，B越来越小,A越来越大，则∣Hejω∣越来越小；④随ω的继续增大，由π变到2π,B越来越大,A越来越小⑤当ω=2π时0Re(z)0Re(z)Im(z)-110π2πHω19图3.9幅频特性图3X其中,Y所以，当输入为xny3.19研究一个线性非移变的系统，其差分方程为y判断该系统是否稳定，是否因果没有限制；研究这个差分方程的零极点图，求系统单位冲激响应的三种可能的选择方案，验证每一种方案都满足差分方程。解:对所给的差分方程的两边作Z变换得YH则系统函数为可求得极点为z1=2,z21当收敛域ℎ经验证，将以上的单位抽样响应代入原方程计算，两边相等，即满足差分方程。(2)ℎ3当收敛区域为ℎ经验证，将以上的单位抽样响应代入原方程计算，两边相等，即满足差分方程。2.20若序列ℎnH求序列ℎn及其傅里叶变换H解：因为H令z=H求上式逆Z变换，得序列ℎn的共轭对称序列ℎ则F因为ℎn是因果序列,ℎe当n≥1ℎ当n=0F所以ℎ又因为ℎ所以ℎℎ其对应的傅里叶变换为H3.21试用Matlab编程计算习题3.8和3.9。解：（1）3.8题编程。求系统输出yncloseall;clear;a=0.5;n=100;x=[102];h=a.^[0:n-1];%(a)卷积输出y=conv(x，h);figure(1)，plot(0:length(y)-1，y)图3.10卷积结果图计算x(n)，h(n)，y(n)的傅里叶变换，代码如下。%代码中，有一个可替换的参数，其中对于x(n)，BBB=1+2*exp(-2*j*w)，结果参看图3.11；%对于h(n)，BBB=1./(1-0.5*exp(-j*w))，结果参看图3.12;对于y(n)，BBB=1./(1-%0.5*exp(-j*w))+2*exp(-2*j*w)./(1-0.5*exp(-j*w))，结果参看图3.13。closeall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=BBB;%计算复数的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('频率')ylabel('幅值')%计算相位phase=angle(func);%将相位转换为度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('频率')ylabel('相位/度')图3.11x(n)的频谱图3.12h(n)的频谱图3.13y(n)的频谱（2）3.9题编程。x由奈奎斯特采样定理：XajΩcloseall;clear;figure;w=[-2000:1:2000];func=zeros(1，length(w));fori=-100:100func=func+dirac(w-800*i-200)+dirac(w-800*i+200);endfunc=800*pi*func;%计算复数的幅值magnitude=abs(func);magnitude(magnitude==inf)=3;plot(w，magnitude)xlabel('频率')ylabel('幅值')图3.14xaX(n)傅里叶变换：Xejωcloseall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=zeros(1，length(w));fori=1:1000func=func+exp(j*(pi/2-w)*i)+exp(-j*(pi/2-w)*i);end%计算复数的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('频率')ylabel('幅值')%计算相位phase=angle(func);%将相位转换为度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('频率')ylabel('相位/度')图3.15x(n)的频谱3-1计算下列序列的N点DFT1x(n)=12x(n)=δ(n)

解:

123456X=7X(k)&=X(k)=9X(k)=10X(k)=再将Y=X(k)=−当k=0时，因为WX(k综上可得X(k)=3-2已知下列X(k)，求其离散傅里叶逆变换x1式中，m为整数0<m<解：3-3已知周期序列xn，其主值序列x(n)=[5,4,3,2,1,3,2]，试求xn的傅里级数系数解:根据已知条件，xnXX(0)=XXXX(4)=X(5)=XX(k)即是以N=7为周期，以{X(0),X(1),X(2),X(3),X(4),X(5),X(6)}3-4设有两个序列为{1,2,3,4,5,0,0}和它们的圆周卷积(序列长度为N=7);用圆周卷积定理求两序列的线性卷积(请用N1=7解：(1)设这两个序列分别为x1(n)和x2(n)，其周期取为N=7来计算圆周卷积。做两个同心圆，把序列yy3y4y5y综上得到两个序列的圆周卷积为y(n)={6,3,6,10,14,12,9}。(2)对x1(n)和所以x1(n)3-5设有两序列x(n)=&x(n),    &&0⩽n⩽5&0,    &&其他和y(n)=&y(n),    &&0⩽n⩽15&0,    &&解:序列x(n)长度N1=6,序列y(n)的长度N2=16,故其线性卷积的长度N=3-6设x(n)长度为N，且X令H(k)=求解：

令,，则因此，，即综上，3-7已知x(n)是长度为N的有限长序列，Xy(n)=试求Y(k)=DFT解3-8已知x(n)是长度为N的有限长序列，Xk=DFTxn,y(n)=&x(n/r),    &&n=ir,i=0,1,⋯,N−1&0,    &&其他解因为

X(k)=Y(k)=又已知n=ir,i=0,1,⋯,N−1时令

n所以

Y(k)=3-9如果xn是周期为N的周期序列，那么xn是周期为2N的周期序列。假定X1(k)表示xn以N为周期的DFS的系数,X2(k)解:依题意可得XX令n'X所以

X3-10若x1(n)与x2(n)都是长度为N的序列,X1(k)与解：

因为X(k)=上式第二项求和得X1X(k)=3-11一个有限长序列x(n)={1,1,1,1,1,1},设其Z变换为Xz。如果在Zk=ej2πk/4,k=0,1,2,3点时对解：对Xz在单位圆上等间隔采样4点将造成x(n)y(n)=[所以y(n)=2δ(n)+2δ(n−1)+δ(n−2)+δ(n−3)3-12一个长度为N1=100点的序列x(n)与长度为N2=64点的序列h(n)用解：因为线性卷积的长度为N3=N1+3-13xn表示一周期为N的周期序列,Xk表示其离散傅里叶级数的系数,Xk也是一周期为N的周期序列。试由式x解因为

X所以

DFS[因为

k=0则

DFS3-14有限时宽序列的N点离散傅里叶变换相当于其Z变换在单位圆上的N点等间隔采样;求出X(z)在半径为r的圆上的N点等间隔采样，即X试给出一种用DFT计算得到X(k)解因为

X(z)=所以。X计算方法是：先构造一个序列x(n)r−n,5.1一台通用计算机的速度为：平均每次复数乘法需要100μs，每次复数加法需要20μs，今用来计算N=1024点的DFT[x(n)]。问直接运算需要多少时间？用FFT运算需要多少时间？解直接计算DFT需要N2次复数乘法、N(N-1)次复数加法；当N=1024=210复数乘法：N2=10242复数加法：N(N-1)=1024×(1024-1)≈10242=1048576所以直接运算需要的时间为1048576×100μs+1048576×20μs=125829120μs≈125.829s而如果用DIT-FFT算法，需要的运算量如下：复数乘法：m复数加法：m所以采用DIT-FFT算法需要的时间为5120×100μs+10240×20μs=716800μs=0.7168s5.2一个线性非移变系统的单位取样响应为，已知输入信号为，请用FFT方法求，要求画出详细的运算流图，并写出计算步骤。解由题意y(n)=x(n)∗ℎ(n)，根据圆周卷积定理可知Y(k)=X(k)H(k)，又因为当N≥N1+N2−1=时，可用圆周卷积替代线性卷积。若用基-2FFT，N取4，先计算x(n)和ℎ(n)的FFT，再求X(k)和H(k)乘积得到Y(k)图5.6图5.7因此，Y(k)=X(k)H(k)={3,1求Y(k)的IFFT的方法有两种：方法一：因为y(n)=1NDFTY图5.8所以y(n)=方法二：可利用4点的DIF-IFFT计算y(n)结果，如图5.9所示。图5.9所以y(n)=1,5.3试画出为复合数时的FFT算法求的结果（采用基）。解依题意：，∴对于，有有，同样，令对于频率变量有，∴∴图5.105.4已知是一个点实序列的DFT，现在要用为求，为提高运算效率，试设计一个点IFFT运算一次完成。解将x(n)奇偶分组得{x1因为x(n)为实序列，因此构造一个复序列wn设{X{X(所以如果已知X(k)，可得令{WWk=也即wn5.5一个长度为的复序列与一个长度为的复序列卷积。(1)求直接进行