第十三章 轴对称（4个易错点）

第十三章轴对称（易错点）【易错一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，则它的周长为________．【变式训练】1．若的三边长分别为，7，6，当为等腰三角形时，则的值为__________．2．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的底边长为______．【易错二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是______．【变式训练】1．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____．2．在中，，，点D在边上（不与B、C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为___________．【易错三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是______．【变式训练】1．在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是______．【易错四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为和两部分,则此三角形的底边长为()A． B． C．或 D．无法确定【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（）A． B． C． D．或2．在中，，是边上的高，，则____________．3．在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______．

第十三章轴对称（易错点）答案全解全析易错专练【易错一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，则它的周长为________．【答案】【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案．【详解】解：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时，，不能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，，能构成三角形，的周长为；综上所述，的周长为故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式训练】1．若的三边长分别为，7，6，当为等腰三角形时，则的值为__________．【答案】3或4##4或3【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当时，当时，再结合三角形三边关系检验即可．【详解】解：∵为等腰三角形，∴当时，解得，∴三边长为6，6，7∵，∴符合三角形三边的条件，当时，解得，∴三边长为7，7，6∵，∴符合三角形三边的条件，∴的值为4和3．故答案为：4和3．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．2．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的底边长为______．【答案】12或7【分析】可设一边为，则另一边为，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．【详解】解：设一边为，则另一边为，①当长为的边为腰时，此时三角形的三边长分别为、、，由题意可列方程：，解得，此时三角形的三边长分别为：、和，满足三角形三边之间的关系，符合题意；②当长为的边为底时，此时三角形的三边长分别为：、、，由题意可列方程：，解得：，此时三角形的三边长分别为：、、，满足三角形的三边之间的关系，符合题意；∴这个三角形的底边长为或．故答案为：12或7．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．【易错二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是______．【答案】或【分析】分的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：当的角是底角时，则底角为，当的角是顶角时，则底角为，故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．【变式训练】1．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____．【答案】或或【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是，①是顶角，是底角时，，解得，所以，顶角是；②是底角，是顶角时，，解得，所以，顶角是；③与都是底角时，，解得，所以，顶角是；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．2．在中，，，点D在边上（不与B、C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为___________．【答案】或【分析】在中，根据，，得到，再根据是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案．【详解】解：如图所示,在中，∵，，∴，若是等腰三角形，①当时，，，②当时，，，，综上所述或．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出的腰．【易错三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是______．【答案】或或【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵，，∴，沿射线方向平移m个单位得到，∴，，点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况①当时：如图，此时；

②当时：如图，

则：，在中，，即：，解得：；③当时，如图：

此时，∵，∴，∴；综上：，或；故答案为：或或．【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【变式训练】1．在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是______．【答案】或或【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值．【详解】解：，，，，，分三种情况讨论：如图所示，当点与点重合时，，

，，，，即是等腰三角形，此时，；如图所示，当时，是等腰三角形，

，由折叠可得，，，又，是等腰直角三角形，设，则，中，，解得，舍去，；如图所示，当点与点重合时，，

，，即是等腰三角形，此时，综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．【易错四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为和两部分,则此三角形的底边长为(

)A． B． C．或 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解．【详解】解：如图所示，根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：．可设，∴．由题意得：或，解得：或．当时，即此时等腰三角形的三边为，，，，符合三角形的三边关系，此情况成立；当时，即此时等腰三角形的三边为，，，，符合三角形的三边关系，此情况成立．综上可知这个等腰三角形的底边长是或．故选：C．【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，

∵，∴顶角；如图2，三角形是钝角时，

∵，∴顶角，综上所述，顶角等于或．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2．在中，，是边上的高，，则____________．【答案】或/或【分析】根据三角形的内角和定理，求出的度数然后再求出的度数；【详解】如图，当在内时

如图当在外时

故答案为或【点睛】本题考查的是等腰