年中考数学复习-第九章解直角三角形第二节解直角三角形及其应用课件

第二节解直角三角形及其应用考点一解直角三角形的应用例1(2018·湖南岳阳中考)图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM＝60°.(1)求点M到地面的距离；(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米)【分析】(1)构建直角△OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；(2)左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE＝0.65，车宽EH＝2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．【自主解答】(1)如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N.在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON＋OB＝3.3＋0.6＝3.9，∴点M到地面的距离是3.9米．(2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9－2.55－0.65＝0.7.如图，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P.∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝∴GP＝OP≈∴GH＝3.3＋0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．1.(2018·贵州遵义中考)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．(计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为

m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解：(1)11.4(2)如图，过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E.在Rt△ADE中，∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，∴DE＝sin64°·AD≈20×0.9＝18(m)，即DH＝DE＋EH＝18＋1.5＝19.5(m)．答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m.考点二利用解直角三角形解决测量问题例2(2018·海南中考)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A，B，C三点在同一水平线上．(1)计算古树BH的高；(2)计算教学楼CG的高．(参考数据：≈1.4，≈1.7)【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；(2)作HJ⊥CG于G，则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ＝GJ＝BC＝x.构建方程即可解决问题．【自主解答】(1)由题意知四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝7(米)，AD＝BE＝1.5(米)．在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，∴HE＝DE＝7(米)，∴BH＝EH＋BE＝8.5(米)．(2)如图，作HJ⊥CG于G，则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ＝GJ＝BC＝x.2．(2018·四川宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B，E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．(结果保留根号)解：如图，作CH⊥AB于H，则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH.由题意得∠ACH＝30°，∠CED＝30°.设CD＝x米，则AH＝(30－x)米．3.(2018·天津中考)如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数)．(参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60)解：如图，作AE⊥CD交CD的延长线于E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝78，AB＝CE.在Rt△ACE中，EC＝AE·tan58°，在Rt△AED中，DE＝AE·tan48°，∴CD＝EC－DE＝AE·tan58°－AE·tan48°≈78×1.6－78×1.11≈38(m)．答：甲、乙建筑物的高度AB为125m，DC为38m.考点三利用解直角三角形解决航海问题例3(2018·广西桂林中考)如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45.结果精确到0.1小时)【分析】延长AB交南北轴于点D，根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．【自主解答】如图，∵A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D.∵∠BCD＝45°，BD⊥CD，∴BD＝CD.解决方向角问题的方法方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，就需要添加辅助线．在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解．这类题目主要考查学生解决实际问题的能力．4．(2018·四川绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是()(结果保留小数点后两位．参考数据：≈1.732，≈1.414)A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里B5．(2018·湖南湘潭中考)随着航母编队的成立，我国海军日益强大.2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？(参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里)解：在△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，则AC＝PC.∵AP＝400海里，∴由勾股定理知，AP2＝AC2＋PC2＝2PC2，即4002＝2PC2，故PC＝200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°，∴PB＝2PC＝400≈566(海里)．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．考点四利用解直角三角形解决坡度问题例4(2018·重庆中考B卷)如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45)(

)A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N.首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°＝，构建方程即可解决问题．【自主解答】如图，作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N.在Rt△CDN中，∵设CN＝4k，DN＝3k，∴CD＝10，∴(3k)2＋(4k)2＝100，∴k＝2，∴CN＝8，DN＝6.∵四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝8，BC＝MN＝20，EM＝MN＋DN＋DE＝66.在Rt△AEM中，tan24°＝，∴0.45＝，∴AB＝21.7(米)．故选A.解决坡度、坡角问题时的注意点首先要认真读题，弄清题意，理解坡度、坡角的实际意义及坡度与坡角的关系，其次是从图中确定要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相关数据，正确选择关系式．6.(2018·贵州安顺中考)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？(计算最后结果保留一位小数)．(参考数据：＝1.414，＝1.732)解：由题意知AH＝10米，BC＝10米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10米．在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝＝10(米)．∵DH＝AH－DA＝AH－(DB－AB)＝10－10＋10＝20－10≈2.7(米)，2.7<3，∴建筑物需要拆除．7.(2018·江苏泰州中考)日照间距系数反映了房屋日照情况．如图1，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图2，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m.(1)求山坡EF的水平宽度FH；(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？解：(1)在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，∴tan∠EFH＝i＝1∶0.75＝＝.设EH＝4x，则FH＝