专题强化训练二 与球有关的内切、外接问题-2021-2022学年高一数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

专题强化训练二：与球有关的内切、外接问题

技巧归纳

1.多面体与球接'切问题求解策略

（1）截面法：过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，利用平面几何知识寻找几

何体中元素间的关系.

（2）补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4卡2=/+序+/求解.

2.球的切、接问题的常用结论

（1）长、宽、高分别为a，Ac的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即必诉？=2R.

（2）若直棱柱（或有一条棱垂直于一个面的棱锥）的高为h,底面外接圆半径为x,则该几何体外接

球半径R满足火2=住）+Z

（3）外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心.

（4）球（半径为R）与正方体（棱长为a）有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R=a；二

是球与正方体的十二条棱相切，此时27?=啦&；三是球外接于正方体，此时2R=/a.

题型归纳

题型一：直接法（公式法）

1.（2022•全国•模拟预测）一个正方体的内切球的表面积和它的外接球的表面积之和是16万，则该正方体的体积为

（）

A.2夜B.8C.4D.16

2.（2022•四川成都•高三阶段练习（文））长方体4BC。-4瓦C,2的底面ABC。为正方形，AB=\,直线AR与直线

CC,所成的角为30%则该长方体外接球的表面积为（）

A.4兀B.6兀C.5兀D.8兀

3.（2022・湖南•高一课时练习）若一个球的外切正方体的表面积等于6cm2,则此球的体积为（）

A.^cm3B."兀cm3c.—cm3D.cm，

6836

题型二：构造法（补形法）

4.（2022・陕西西安・一模）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,

若四棱锥P-ABCO为阳马，侧棱底面A8CO,且P4=2&，AB=BC=2,则该阳马的外接球的表面积为

C.16乃D.324

5.（2022・江西上饶•高三阶段练习（文））已知三棱维A-BCQ中，侧面A3C,底面3CQ,ZkABC是边长为6的正

三角形，ABC。是直角三角形，且NBC£>=/,CO=4,则此三棱锥外接球的表面积为（）

A.367rB.487rC.647rD.1287r

6.（2022.陕西•武功县普集高级中学一模（理））已知正四面体S-A8C的外接球表面积为6万，则正四面体S-ABC

的体积为（）

A.迪B.毡30

c5

33

题型三：确定球心位置法

7.（2022・全国•模拟预测）如图，已知三棱锥P-A8c的四个顶点都在球。的表面上，平面A8C,AC=BC=6,

AB=2,球心O到平面43c的距离为G，则球。的体积为（）

C.16万D.32〃

8.（2022・陕西陕西・一模）四面体。一43。内接于球。，（0为球心），BC=2,AC=4,ZACB=60。.若四面体O—ABC

体积的最大值为4,则这个球的体积为（)

256G16"128G

A.B.---------7CC.128〃D.

27927

9.（2022•云南师大附中高三阶段练习）三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PC，平面ABC,PC=4,

AB=Vio,AC=3，L点M是8。的中点，AM=JT5,则球。的表面积为（)

A.24〃B.28万C.36%D.4()乃

题型四：球表面积和体积最值问题

10.（2021・重庆・西南大学附中高一期末）己知正方形A8CD中，AB=2,E是CD边的中点，现以AE为折痕将

折起，当三棱锥D-43E的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（）

11.（2021・四川成都•高一期末（理））已知A,B是球。的球面上两点，ZAOB=yP为该球面上动点，若三棱

锥。-办8体积的最大值为空，则球。的表面积为（）

3

A.12%B.16%C.24%D.36〃

⑵（2。21.山东莱西・高一期末）已知AMC是面积为竽的等边三角形’其顶点均在球。的表面上,当点尸在球。的

表面上运动时，三棱锥P-MC的体积的最大值为毡，则球。的表面积为（）

4

入“c32»〃27万r

A.[6万B.----C.---D.4兀

34

专题精选强化

一、单选题

13.（2021.黑龙江鸡西.高一期末）已知三棱锥P-ABC的顶点都在球。的球面上，A8=AC=2,8c=20，PB1

平面48C,若球。的体积为36兀，则该三棱锥的体积是（）

A.也B.5C.也

33

14.（2022.全国.高一）在体积为述的直三棱柱A8C-ABC中,

△ABC为等边三角形，且AABC的外接圆半径为

2

誓,则该三棱柱外接球的表面积为（）

A.12兀B.8兀C.6兀D.3兀

15.（2021・全国•高一课时练习）已知A,区是球。的球面上两点，ZACB=90°,。为该球面上的动点，若三棱锥

O-ABC体积的最大值为36,则球。的表面积为（）

A.36万B.647rC.128乃D.144万

16.（2021♦全国•高一课时练习）长方体的三个相邻面的面积分别是2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,

则这个球的表面积为（）

A.—B.56%

2

C.147rD.16乃

17.（2021•广东顺德•高一期末）已知三棱锥P-ABC的底面是正三角形，AB=43,PA=2,PA1BC,PBVAC,

PCLAB,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

4326

AA.—TCBR.------n

327

C.47rD.—7t

3

18.（2021•江苏常州•高一期末）如图，在四棱锥尸-ABC。中，已知尸底面A88,ABJ_BC,AO_LC£>,且

ZBAD=\2O^PA=AB=AD=2f则该四棱锥外接球的表面积为（）

A.871B.2071C.20扇D.生金冗

3

19.（2021・江苏・金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展

览中获得了一致好评.其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知

圆锥的顶点和底面圆周都在球。面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为斗，面积为31，则球。的表面积等于

()

8178U121^

A.B.D.------

.82

20.（2021•云南省昆明市第十中学高一期中）己知三棱锥P-A8C,PA,依、PC两两垂直，PA=\,PB=0PC=2,

则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

A.兀B.5兀C.6兀D.87t

21.（2021嘿龙江.哈师大附中高一期末）矩形ABC。中，AB=3,BC=\,现将八48沿对角线AC向上翻折，得至U

四面体ABC,则该四面体外接球的体积为（）

A.独B.10万C.5M4D.407r

3

22.（2021・重庆八中高一期中）设直三棱柱ABC-AgG的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是空叵，

3

AB=AC=AA]fZBAC=120°f则此直三棱柱的高是（)

A.1B.2C.2近D.4

23.（2020・江苏宿迁•高一期末）在直三棱柱48C-A4G中，AB=2,AC=6ABAC=30,A4,=石，则其外

接球的体积是（）

A.忌B.2C.双红D.史

232

24.（2021•吉林•高一期中）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早

系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，

蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.己知某蹴鞠的表面上有四个点S、

A、B、C,满足S-A8C为正三棱锥，M是SC的中点，且AMJ.S8,侧棱&4=2,则该蹴鞠的表面积为（）

A.6万B.124C.32乃D.36»

二、多选题

25.（2021.全国•高一课时练习）已知三棱柱A8C-A8G的6个顶点全部在球。的表面上，AB=AC,ZBAC=120s

三棱柱ABC-A/C的侧面积为8+4百，则球。体积可能是（）

3228

A.127rB.—兀C.—兀D.10兀

33

26.（2021•江苏•无锡市第一中学高一期中）一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球

面面积比值为£，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）

A4「8〃4n8

A.—B.—C.-D.-

272799

27.（2020•江苏连云港•高一期末）正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为6-1,

则（）

TT

A.正方体的外接球的表面积为127rB.正方体的内切球的体积为2

C.正方体的棱长为1D.线段MN的最大值为6+1

28.（2021・辽宁•高一期末）在菱形4BCO中，AB=20,ZABC=60,将菱形ABC。沿对角线AC折成大小为

。（0<6<180）的二面角3-AC-O,若折成的四面体A8CO内接于球。，则下列说法正确的是（).

A.四面体ABC。的体积的最大值是3gB.BO的取值范围是（3a,6）

C.四面体A8C。的表面积的最大值是12+66D.当夕=60时，球。的体积为年善万

三、填空题

29.（2022•全国•高一）点A,B,C在球。表面上，AB=2,BC=26,ZABC=90°,若球心O到截面ABC的距

离为2夜，则该球的体积为.

30.（2021.天津.高一期末）已知正四棱锥尸-A8co中，底面边长为2,侧面积为4石，若该四棱锥的所有顶点都

在球。的表面上，则球。的体积为.

31.（2021♦江苏裸阳•高一期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九

章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，PA_L平面ABCD,PA=5,

AB=4,AD=3,则该阳马的外接球的表面积为.

32.（2021•广东惠州•高一期中）在三棱锥D-ABC中，已知平面8a>J_平面ABC,ZCBD=90°,N3C4=45。,

AB=2垃,BD=2,则三棱锥A-88的外接球的表面积为.

参考答案

1.B

【解析】

【分析】

设正方体的边长为2a,分别求出正方体内切球与外接球的半径，再建立等式求得正方体的棱长即可求其体积.

【详解】

设正方体的边长为2a,则正方体的内切球的半径为外接球的半径为6/,依题意得4%/+4万（6。『=16万，解

得a=l,.,.正方体的体积为（2a）'=8/=8.

故选：B.

2.C

【解析】

【分析】

根据条件求出长方体外接球的半径即可求解.

【详解】

直线AR与直线CC,所成的角，即直线BC、与直线CC,所成的角,

从而可知在Rr^GCB中，ZBC,C=30\

所以CC=G,

设长方体外接球的半径为广，则有4/=I2+12+（＞/3）2=5n/,

该长方体外接球的表面积为4万/=5万.

【解析】

【分析】

设球的半径为Rem,正方体棱长为acm,根据表面积和棱长的关系求出棱长，进而可得半径，再用体积公式求球

的体积即可.

【详解】

设球的半径为Rcm,正方体棱长为acm,

.".6a2=6,.'.a—1cm,即2R=1,，R=；cm,

・•♦球的体积V=—cm3.

33{2J6

故选：A.

4.C

【解析】

【分析】

补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可得出答案.

【详解】

解：因为四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱丛，底面ABC£),

如图，补全该阳马所得到的长方体，

则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为R,

=AB2+BC2+PA2=4+4+8=16,

所以R=2,

所以该阳马的外接球的表面积为4万/?2=16%.

故选：C.

5.C

【解析】

【分析】

把三棱锥放置在长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再由三棱锥外接球的表面积公式计算.

【详解】

三棱锥A-3C£＞中，侧面45CL底面BCO,把该三棱锥放入长方体中，如图所示

设三棱锥外接球的球心为0,则AG=|AM=|X3石=26,

0G=-CD=2,

2

三棱锥外接球的半径R=OA=yj0G2+AG2=百+(2回=4,

则三棱锥外接球的表面积为S=4万/?2=4^x42=64万.

故选：C.

6.A

【解析】

【分析】

由题意求出外接球的半径，将正四面体补成正方体，求出其棱长，用正方体的体积减去四个小的三棱锥体积即为所

求.

【详解】

设外接球半径为R,则S=4iR?=6;r,解得R=迎,

2

将正四面体S-A3C恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，

9

则正四面体S-ABC的外接球即为正方体的外接球，

则正方体的体对角线等于外接球的直径，

椒ABx丝乂6=瓜,解得AB=2,正方体棱长为2x』;=夜

2：

故该正四面体的体积为何-旧亭必必应善2,

故选：A.

7.A

【解析】

【分析】

由已知可证得BC，PC,从而可得球心。是PB的中点，取A8的中点D,连接0。，然后在RtZ\0£>8中

可求得球的半径，进而可求得球的体积

【详解】

如图，因为AC=BC=0，AB=2,

所以AC'+BC?=ABh所以月C_18c.

因为P4J•平面ABC,A8,BCu平面ABC,

所以B4_LAB,PA1BC.

又ACcPA=A,所以BCJ■平面PAC,

所以BCLPC,所以球心。是PB的中点.

取A3的中点3,连接。。，则

所以。。_1_平面A3C,所以。。=6.

设球。的半径为R,在Rtz2\OD8中，R=OB=[OD?+DB。=J（可+『=2,

所以球。的体积为:7W=gx乃x2?=等，

故选：A.

8.A

【解析】

【分析】

在AMC中利用余弦定理求得第三边，并判断AMC为直角三角形且面积为定值，由面积公式求得AMC的面积,

从而分析知当D到平面ABC的距离取得最大值时球的体积最大.

【详解】

在AABC中，VBC=2,AC=4,Z4CB=60°,

=AC2+BC2-2ACBCcosZACfi=16+4-2x4x2xl=12,

2

AC2=AB2+BC2,ZABC=90°.

AABC外接圆半径r=，AC=2.

2

如图所示，设AC的中点为。一则。1为过45C的截面圆的圆心，设球的半径为R,所以球心。到平面A3C的距离

为OOX=—产=，尸一4

当点。_L平面ABC时，四面体。-ABC体积的最大

即：^A4SC-(/?+OO,)=^X2V3(/?+OO1)=4,解得R=延，

333

..4万,4&25673

故选：A.

9.C

【解析】

【分析】

先求得AMC的外接圆的半径r,再由K=求得外接球的半径求解.

【详解】

如图所示:

cM

+（呵-（洞2（§+（同—（3同

由余弦定理可得~—..........=~—...........

2x,x岳2X8CXV13

22

解得3C=2.

（布）2+（3及）2-2221

故cosNBAC=sinNBAC=

2x710x372

设AMC的外接圆半径为，、由正弦定理可得缶=2,

BC

故r=---------------

2sinNBAC

所以球。的半径为R==3

球。的表面积为S=4成2=36兀，

故选：C.

10.C

【解析】

【分析】

设棱锥O-ABE的外接球球心为。，半径为R,则平面BCEF,因为的面积为定值，所当高最大时,

三棱锥O-ABE的体积最大，过。作。尸于尸，设点M为ZXAfiE的外心，则有

(DF-OM)2+FM-=R2,OM2+EM2=心通过计算可得点M为外接球的球心，从而可求得结果

【详解】

解：过。作_LAE于/，设点M为△ABE的外心，G为AE的中点，连接用G,MF,

因为正方形48co中，AB=2,E是C£＞边的中点，

所以DE=1,则===EG=9，DF=^-^~=^,

2A2755

所以EF=JDE2-DF?=Ji^=^,MG，EG=ZEM=-,

V55244

所以FG=EG-EF=J^-K=^~,

2510

所以FM=yjMG2+FG2=J—+—=,

V1610020

设棱锥ABE的外接球球心为。，半径为R,则OML平面3CEF,设OM=x,

因为△ABE的面积为定值，所当高最大时，三棱锥D-ABE的体积最大,

此时平面ADE_L平面BCEF,

因为DE_LAE,平面APED平面8CEF=A£；,

所以£>尸_1_平面BCEF,

所以（OF-OMy+FM?=R2,o"+EM2=收,

所以（。尸-。同y+尸例？=0M2+《〃2,

所以。尸2一2。尸.。知+五例2=四2,

所以3-2x2.OM+?="，解得OM=0,

558016

所以△相£：的外心为三棱锥£>-A8E•外接球的球心,

所以R=£M=?

所以三棱锥外接球的表面积为4万胃=4万*?=华

11.B

【解析】

【分析】

当点尸位于垂直于面AO3的直径端点时，三棱锥o-as的体积最大，利用三棱锥。-尸43体积的最大值为2叵求出

3

半径，即可求出球。的表面积.

【详解】

解：如图所示，当点尸位于垂直于面AO8的直径端点时，三棱锥。-的的体积最大，

设球O的半径为R,

止匕时V-PAB=VpfoB=gx；R,X与XR=,

O

解得R=2,则球。的表面积为4万R?=16%,

故选：B.

【解析】

【分析】

作出图形，结合图形知，当点P与球心。以及△ABC外接圆圆心M三点共线且尸与^ABC外接圆圆心位于球心的

异侧时，三棱锥P-ABC的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥尸-ABC的高〃，并注意到此时该三棱

锥为正三棱锥，利用心AQAM,求出球0的半径R,最后利用球体的表面积公式可求出答案.

【详解】

如图所示，

设点M为AABC外接圆的圆心，当点尸、O、M三点共线时，且P、M分别位于点。的异侧时，三棱锥P-A3C的

体积取得最大值.

因为AABC的面积为毡，所以边长为3,

4

由于三棱锥P-ABC的体积的最大值为Lx%叵xPM=»叵，得PM=3,

344

易知SML平面ABC,则三棱锥P-ABC为正三棱锥，

△ABC的外接圆直径为2AM=1历=2®,所以A〃=G,

S，n3

设球。的半径为R,则R2=OA2=AM2+(PM-P0)2=3+(.3-R)2,

解得R=2,

所以球的表面积为S=4TW=]6a

故选：A

13.A

【解析】

【分析】

三棱锥P-A3C放入长方体内，所以长方体的体对角线即为外接球直径，即PC为球直径，由球的体积求出尸C的长

度，再求出尸8,由三棱锥体积公式求解即可.

【详解】

因为A3=AC=2,BC=2也，

易知三角形A8C为等腰直角三角形，

又尸8,平面ABC,所以PB为三棱锥P-AfiC的高，

则可将三棱锥P-ABC放入长方体内，如图，

长方体的体对角线即为外接球直径，即PC为球直径,

,“4PCX..

..V=­7r=367r

3I2J9

:.PC=6

又PC=y]PB2+BC2=yJPB2+8=6>

解得PB=2出,

所以三棱锥的体积V=-x—x2x2x2>/7=勺自,

323

故选：A

14.A

【解析】

【分析】

由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积.

【详解】

国a乂后

设△ABC的边长为。，由△ABC的外接圆半径为号可得一一2、亍，故a=S，

3sin—

3

则AABC的面积5=3/=述由三棱柱的体积为速可得5.9=述.44述，故e=2西，

442-4।2”3

设三棱柱外接球的半径为R,则/?2=（容）+（竽j=g+|=3,

故该三棱柱外接球的表面积为4兀店=12兀.

故选：A.

15.D

【解析】

【分析】

根据给定条件确定出三棱锥0-ABC体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.

【详解】

设球的半径为R,因4408=90。，则“。8的面积％。8=3收，

而^O-ABC~^C-AOB»且AAOB面积为定值，则当点C到平面AOB的距离最大时，^O-ABC最大，

于是，当C是与球的大圆面A03垂直的直径的端点时，三棱锥O-ABC体积最大，最大值为gxgx=36,解得R=6,

所以球。的表面积为4万穴2=4乃x62=144万.

故选：D

16.C

【解析】

【分析】

根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对

角线，即可得到球的直径，进而可根据球的表面积公式求出球的表面积.

【详解】

ah=2a=1

解析：设长方体的三条棱长分别为a,b,c,由题意得•ac=3得,方=2

be=6c=3

二长方体的体对角线长为jT+22+32=屈,

•••其外接球的半径为近

2

/.S球=4乃7?2=144.

故选：C

17.D

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，证得三棱锥P-ABC为正三棱锥，结合球的截面性质求得外接球的半径，利用球的表面积公式,

即可求解.

【详解】

如图所示，过点P作PG_L平面ABC,连接AG交8c于£）,

所以PGLBC,又由尸A_L3C且%=所以BCL平面PAG,可得8CLAD,

同理可证4?，CG,则G为等边AABC的垂心，即中心，

则三棱锥P-43c为正三棱锥，

设其外接球的球心为。，则。再PG上，连接04,

在等边A4?C中，由AB=石，可得AG=gj3-哼尸=1，则PG=J%2_AG2=下,，

设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R,则R2=（G-R）2+『，解得《=2叵，

3

所以三棱锥P-A8C的外接球的表面积为S=4乃六=4万义（等）2=等

故选：D.

18.B

【解析】

【分析】

取PC中点。，连接OAO8,OD8D先证明点0就是四棱锥外接球的球心，再求出外接球的半径即得解.

【详解】

p

取PC中点O,连接0AoBD.

由题得R4LAC,又OP=OC,所以OP=OC=Q4,

因为8_LAQ,8_LPA,A£>nPA=A,A£>,A4u平面PA。，

所以C£>J•平面PAD,又P£>u平面PAO,

所以80XPO=OC,:.OP=OC=OD.

同理OP=OC=O3,

所以OP=OC=04=O8=O£>,

所以点。就是四棱锥外接球的球心.

因为ZBAD=120°,AB=AD=2,

所以ADAC=60ZDCA=30,:.AC=4.

所以PC="7?=2卮所以外接球的半径为6.

所以该四棱锥外接球的表面积S=4"（百）2=20万.

故选：B

19.A

【解析】

【分析】

设球半径为R,圆锥的底面半径为广，利用扇形的弧长和面积公式求得R,即可求解.

【详解】

B

A

2

圆锥的顶点和底面圆周都在球。面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为一万，面积为3%,

3

\O

设母线为/,则乃x『=3万，可得：1=3,

2

由扇形的弧长公式可得：2仃=§乃/,所以/・=1,

圆锥的高O。=/2-F=2&，

由产+(2&=尸，解得：R=n，

Q1Q1

所以球0的表面积等于4万代=4少夫=?》，

328

故选：A

20.D

【解析】

【分析】

若三棱锥从一个顶点出发的三条棱互相垂直，则该三棱锥的外接球与以这三条棱为邻边的长方体的外接球相同.

【详解】

因为三棱锥P-ABC中，PA,PB、PC两两垂直，

所以其外接球半径R满足2R=+户］+pc?=24,R=@

故三棱锥尸-ABC的外接球表面积为4万x(亚，=8".

故选：D.

21.A

【解析】

【分析】

设AC的中点为。，连接08.0。，则由矩形的性质可知04=OC=O3=OD,所以可得。为四面体。-他C外接球

的球心，求出04的长可得球的半径，从而可求出球的体积

【详解】

解：设AC的中点为。，连接08,00,

因为四边形ABCD为矩形，所以。4=OC=O8=OD,ZABC=90°,

所以。为四面体O-ABC外接球的球心，

因为A8=3,8C=1,所以47=，4玄+302=6+一=&5，

所以OA=，AC=叵，所以面体£)-ABC外接球的半径为叵，

222

所以该四面体外接球的体积为万［粤］=粤*

故选：A

22.B

【解析】

【分析】

先确定底面AABC的外接圆圆心及半径，再确定球心位置，并利用球心和圆心的连线垂直于底面，得到直角三角形,

利用勾股定理求解.

【详解】

设AB=AC=A4t=2机，

三角形A3C外接圆0,的半径为r,直三棱柱ABC-AqG外接球。的半径为R.

因为NB4C=120。，所以NAC3=3()。，

AB

于是2r=*---------4m,r=2m,O^C-lm.

sin30°

又球心。到平面ABC的距离等于侧棱长AA的一半，所以。a=".

在中,由0C~=。。/+0［C~,得&=W+4机2,R=-jsm.

所以球的体积丫=3加遥机)3=型叵，解得“7=1.

33

于是直三棱柱的高是M=2m=2.

故选：B.

23.B

【解析】

【分析】

首先在AABC中利用余弦定理求出8C的长，进一步可判断AMC为直角三角形，根据直角三角形和直棱柱的性质

即可求出球心和半径，由体积公式即可求解.

【详解】

c

在AA3C中，AB=2,AC=6，ZBAC=30,

由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2-2ACABxcos30=3+4-4y/3x—=],

2

所以5C=1,

所以8c2+AC)=AB?,可得A45C为直角三角形，

所以A8的中点。即为AABC外接圆的圆心，

设A4的中点为E,则DE的中点。即为直三棱柱ABC-ABC外接球的球心，

设外接球的半径为R,OD=-AA.=—,CD=^-AB=\,

2'22

3

所以Rnjo/P+C。=—,

2

所以外接球的体积是力店=0x(式=2%,

33⑶2

故选：B.

24.B

【解析】

【分析】

推导出M、SB、SC两两垂直，然后将正三棱锥S-ABC补成正方体S4D8-CEFG,计算出正方体&⑦8-CEFG

的体对角线长，即为三棱锥S-ABC的外接球直径，利用球体的表面积公式可得结果.

【详解】

取AC中点N,连接BN、SN,

QN为AC中点，SA=SC,/.ACYSN,同理ACJ_8V,

•.•SNfW=N,平面SBN,

SBu平面SBN,.IAC_LSB,

•.•58_14加且4。门4〃=4,，581.平面54。，

-.-SA.SCu平面SAC,:.SAISB,SBA.SC,

•.•三棱锥S-ABC是正三棱锥，.•.&!、SB、SC三条侧棱两两互相垂直.

将正三棱锥S-A8C补成正方体SAAB-CEFG,如下图所示：

因为&4=2,所以正方体SADB-CEFG的体对角线长为SF=而A=2石，

所以，正三棱锥S-A8C的外接球的直径27?=2百，

所以，正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是S=4万/J?=lx(2R『=127，

故选：B.

【点睛】

方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定

在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

25.AB

【解析】

【分析】

设三棱柱ABC-44G的高为3AB=AC=a,三棱柱侧面积得Q+g)"=8+46,可得“=4,设N,M分

别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心。是MN中点，由正弦定理求得AA3C外接圆的半径小由勾股

定理结合基本不等式求得外接球半径R的最小值，再由球的体积公式结合选项即可求解.

【详解】

设三棱柱ABC—44cl的高为h,AB=AC=a.因为ABAC=120°,

所以BC=2ABcos30=Ga,

则该三棱柱的侧面积为(2+G)必=8+4代，故必=4,

设N,“分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心。是MN中点,

设AABC的外接圆半径为r,则MC=r=———=—叵一=a,

2sinNBAC2xsin120

设球。的半径为A,则。72=7?2=/+/21=。2+汇=2+汇24,

⑶4人24

所以R22,故球O的体积为：弓九

32

结合选项可知：球。体积可能是12兀，-yTt,

故选：AB.

M

26.AB

【解析】

【分析】

设圆锥的底面半径为「，球的半径为凡由圆锥的底面面积与球面面积比值为《，得到r与R的关系，计算出圆锥的

高，从而求出圆锥体积与球体积的比.

【详解】

设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,

•.•圆锥的底面面积与球面面积比值为9,

.开产2m2V2

47TR293

设球心到圆锥底面的距离为d,则d=依-户=；R,

42

所以圆锥的高为〃=d+R=-R^h=R-d=—Rf

设圆锥体积为K与球体积为匕，

A一九-------R-A

当力=£R时，圆锥体积与球体积的比为匕=3—.=313J3=_8_,

3匕4.27

33

当力=?/?时，圆锥体积与球体积的比为匕=j=313)3:4.

3匕，叱7、27

33

故选：AB

27.AD

【解析】

【分析】

设正方体的棱长为“，由线段MN的最小值为百-1求出。，按照球的性质逐一判断每个选项即可.

【详解】

设正方体的棱长为。，则其外接球的半径为R=@a,内切球的半径为R=9，

正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,由于两球球心相同，

可得MN的最小值为叵-g=6-l,解得。=2,故C错误；

22

所以外接球的半径为百，表面积为47x3=12%,故A正确；

4

内切球的半径为1,体积为:乃，故B错误；

A/N的最大值为R+??，=6+1，故D正确；

故选：AD.

【点睛】

本题考查正方体的外接球与内切球，正确求出正方体的外接球与内切球的半径是关键，考查了学生的空间想象能力,

属于中档题.

28.ACD

【解析】

【分析】

求出当8=90时，四面体A8CD的体积最大，利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；利用余弦定理可判断B

选项的正误；利用/区4。=90时，四面体A3CD的表面积的最大，可判断C