14.2乘法公式特训

14.2乘法公式特训14.2乘法公式教学目标1.会推导平方差公式和完全平方公式．2.了解公式的几何意义．3.能利用公式进行乘法运算．教学重点推导平方差公式和完全平方公式．教学难点乘法公式的应用．平方差公式

探究

计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）(x＋1)(x－1)＝

；

（2）(m＋2)(m－2)＝

；（3）(2x＋1)(2x－1)＝

．x2－1m2－44x2－1上面的几个运算都是形如a＋b的多项式与形如a－b的多项式相乘．由于(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式（formulaforthedifferenceofsquares）．

例1运用平方差公式计算：（1）(3x＋2)(3x－2)；

（2）(－x＋2y)(－x－2y)．

分析：在（1）中，可以把3x看成a，2看成b，即(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22．(a＋b)(a－b)＝a2－b2

解：（1）(3x＋2)(3x－2)

＝(3x)2－22

＝9x2－4；

（2）(－x＋2y)(－x－2y)

＝(－x)2－(2y)2

＝x2－4y2．

例2计算：（1）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；（2）102×98．解：（1）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝y2－22－(y2＋4y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1；（2）102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝10000－4＝9996．完全平方公式

探究

计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝

；

（2）(m＋2)2＝

；（3）(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝

；（4）(m－2)2＝

．p2＋2p＋1m2＋4m＋4p2－2p＋1m2－4m＋4上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，由于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2，所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．你能根据下面二图中图形的面积说明完全平方公式吗？思考提示:两图给出了完全平方公式的几何解释.

例3

运用完全平方公式计算：（1）(4m＋n)2；（2）(y－)2.

解：（1）(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)

·n＋n2

＝16m2＋8mn＋n2；（2）(y－)2＝y2－2·y·＋(

)2.＝y2－y＋

.

例4运用完全平方公式计算：（1）1022；

（2）992．

解：（1）1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404；（2）992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801．

思考(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2

相等吗？为什么？添括号法则：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．即a＋b＋c＝a＋(b＋c)；

a－b－c＝a－(b＋c)．例5运用乘法公式计算：（1）(x＋2y－3)(x－2y＋3)；

（2）(a＋b＋c)2．

解：（1）(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9；（2）(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2

＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2

＝a2＋b2＋c2

＋2ab＋2ac＋2bc．（1）a＋b－c＝a