专题12.27 全等三角形几何模型分类专题（全章专项练习）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题12.27全等三角形几何模型分类专题（全章专项练习）【模型目录】【模型1】“共顶点等角”模型；【模型2】“8字”模型；【模型3】“一线三直角”模型；【模型4】“一线三等角”模型；【模型5】“手拉手”模型；【模型6】“倍长中线”模型；【模型7】“截长补短”模型；【模型8】“半角”模型.【模型1】“共顶点等角”模型；1．（2024·陕西西安·二模）如图，点E在外部，点D在边上，若，，，求证：．2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，，，试说明：．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，.求证：(1)．(2)【模型2】“8字”模型；4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点D在延长线上，点E是外一点，连接．若，，求证：．

5．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，点在的外部，点边上，交于点，若，，．求证：．6．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接．(1)求的长；(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；【模型3】“一线三直角”模型；7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，，直线经过点，且于，于．(1)如图1的位置时，求证：；(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．8．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，，垂足分别是．(1)求证：；(2)猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由．9．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知：于点B，于点C，点E在线段上，且．

(1)请写一对相等的角：__________________．(2)求证：．【模型4】“一线三等角”模型；10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接AD，作，DE交线段于．(1)当时，，；(2)当等于多少时，，请说明理由．11．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上．①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由；②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．(2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．12．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．

(1)若直线经过内部，且E、F在射线上，设：①如图1，若，，求证：．②如图2，若，①中结论是否成立？请说明理由．(2)如图3，直线经过外部，若，请直接写出线段，，之间的数量关系．【模型5】“手拉手”模型；（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证：(1)；(2)．14．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，，，，求证：．15．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以AD为边作，连接CE．(1)发现问题：如图①，当点在边上时．①请写出和之间的数量关系为，位置关系为；②求证：；(2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．(3)拓展延伸：如图③，当点在的延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积．【模型6】“倍长中线”模型；16．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围．17．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.(1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围；同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请你根据同学们的方法解答下面的问题：①根据题意，补全图形；②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）；③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）；(2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由．18．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：．【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围；（3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．【模型7】“截长补短”模型；19．（14-15八年级上·四川自贡·期末）如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．

20．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

21．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，，，分别平分和，经过点．求证：．【模型8】“半角”模型.22．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．

(1)猜想线段、、之间的数量关系并证明；(2)若，，求的周长．23．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若．求证：；（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论．24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题背景】在四边形中，，，，分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______．【探索延伸】在四边形中如图，，，分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离是______海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时．参考答案：1．见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，根据证明，得出结论即可．【详解】证明：，，，∵和中，，．．2．详见解析【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．【详解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．3．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（）证明即可求证；（）证明即可求证；本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】（1）证明：在和中，，∴，∴；（2）证明：∵，，即，在和中，，∴，∴．4．证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质先证明，进而证明，则可证明．【详解】证明：∵，，∴，又∵，，∴，∴．5．见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．根据三角形内角和定理得到，再根据，，，判定，即可得到．【详解】证明：，，，，，，，在与中，，，．6．(1)(2)，理由见解析【分析】（1）根据是的高，可得，再结合，，即可证得，从而求得的长；（2）根据，可得，再根据三角形外角的性质可将转化为的内角和，再根据，即可求得，从而证得．【详解】（1）解：是的高，，即，又，，，，；（2）解：，理由如下：如图，延长交于点，，，又，，又，，．【点睛】本题考查的是三角形的高的含义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，四边形内角和，掌握以上知识是解题的关键．7．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．（1）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此仍然可以证明，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，仍然，然后利用全等三角形的性质可以得到．【详解】（1）证明：中，，，又直线经过点，且于，于，，，在和中，，，，，；（2）证明：中，，直线经过点，且于，于，，，，在和中，，，，，；（3）如图3，中，，直线经过点，且于，于，，，，在和中，，，，，；、、之间的关系为．8．(1)见解析(2)，见解析【分析】本题考查了全等三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到，结合图形解答即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∴．9．(1)A，2．（答案不唯一）(2)证明见详解【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定以及性质．（1）由直角三角形两锐角互余可得出，，等量代换可得出．（2）利用证明，由全等三角形的性质可得出，，由已知等量代换可得出．【详解】（1）解：∵，，∴∴，又∵，∴，故答案为：A，2．（答案不唯一）（2）由（1）可得，在和中，，∴，∴，，∵，∴．10．(1)，(2)【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．（）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（）当时，利用，，求出，再利用，即可得出．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）解：当时，，理由如下：，，又，，，在和中，，．11．(1)①证明见解析；②，理由见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故．②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证．（2）题干已知条件可证，故，，从而可证明．【详解】（1）解：①证明：∵，∴．又∵，∴．在和中，，∴．∴．②解：，理由如下：∵，∴．又∵，∴．又∵，∴．∴．∴．在和中，，∴．∴．（2）解：，理由如下：∵，∴，又∵，∴．∴．在和中，，∴．∴，．∴，即．12．(1)①见解析；②成立，见解析(2)【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．（1）①证明，得出，，根据即可得出结论；②先证明，再证明，得出，，即可得出结论；（2）先证明，再证明，得出，，即可得出结论．【详解】（1）证明：①由图知：，又，在中，，，，，，，；②结论成立，理由如下：，，，又∵在中，，，，，，，，即①中两个结论还成立；（2）解：，，又，且，，，，，，，．13．(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得，即可得出．（2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供．【详解】（1）证明：，，，在和中，，．∴；（2）解：∵，，，，，则．14．见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理．由，推导出，即可证明，得，即可由，，又，证明．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，，又，∴．15．(1)①，；②见解析(2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析(3)，【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰直角三角形的性质：（1）①根据条件，，，，判定，即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到；（2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到；（3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，，即可求得线段的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）①如图1，由题意，，，，，，，在和中，，，，，，即；故答案为：，；②由①得，，；（2）不成立，存在的数量关系为．理由：如图，由同理可得，在和中，，，，，；（3）如图3，由(1)同理可得，在和中，，，，，，，．，，即．16．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论．【详解】解：如图，延长到，使，连接，∵是的中线，，在与中，，，，，，即，．17．(1)①见解析；②；③(2)，理由见解析【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形．（1）①根据题意补全图形即可；②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答；③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此；（2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可．【详解】（1）解：①根据题意画出图形：；②解：是中线，，在和中，，．故答案为：；③解：，，，，即，，，．故答案为：；（2）解：，理由如下：如图，延长，使得，连接，根据（1）中原理可得，，，，，，，，，∴．18．（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．（1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证；（2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案；（3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证．【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示：∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：延长至点，使，连接，如图所示：∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，设，在中，由三边关系可得，即，∴；（3）证明：延长至点，使，连接，如图所示：∴，∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．19．见解析【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论．【详解】在上取点F，使

∵，分别是，的平分线∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键．20．证明见解析【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．【详解】证明：，，、分别平分、，，，，，，如图，在上截取，连接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．21．证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取，连接，证明和，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：如图，在上截取，连接，，分别平分和，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．22．(1)；理由见解析(2)13【分析】（1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案；（2）根据，得出求出结果即可．【详解】（1）解：；理由如下：延长，则的延长线上取，连接，如图所示：

∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的