基本不等式（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第05讲基本不等式

（10类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第18题第一问,4分基本不等式求范围导数综合

2023年新I卷，第22题第二问,8分基本不等式求最值圆锥曲线大题综合

2022年新I卷，第18题第二问,6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形

2022年新H卷，第12题,5分基本不等式求最值三角换元及三角函数相关性质

2021年新I卷，第5题,5分基本不等式求最值椭圆方程及其性质

2020年新I卷，第20题第二问,6分基本不等式求最值空间向量及立体几何

2020年新II卷，第12题,5分基本不等式求最值指对函数的性质及单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易

上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右

【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”

2.能正确处理常数“1”求最值

3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值

4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最

值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。

知识点1基本不等式的基本公式

考点5二次与二次（一次）的商式求最值

核心考点考点6两次应用基本不等式求最值

考点7条件等式变形求最值

考点8利用基本不等式在恒成立问题中求叁数的范围

考点9利用基本不等式判断或证明不等式关系

考点10基本不等式多选题粽合

知识讲解

1.基本不等式

如果“20,620,那么学w而（当且仅当_____时取"="）.

说明:

①对于非负数6,我们把个称为。8的,疝称为。力的.

②我们把不等式而《等（020,620）称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的

几何平均数不大于它们的算术平均数.

③“当且仅当。=6时取。号”这句话的含义是：一方面是当—时，有族=审；另一方面当______时,

有。=b.

④结构特点：和式与积式的关系.

2.基本不等式求最值

（1）设x,y为正数，若积犯等于定值尸，那么当x=y时，和x+y有最小值—（简记为：积定和最

小）.

（2）设x,夕为正数，若和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值;9（简记为：和定积最

大）.

3.几个重要不等式（含基本不等式链）

a+b

22)；(2)--->______(Q/ER)；

(1)a+b>______(a,beR2——

ab、

(3)—+—>______—（同号）；（4）ab<_________或__________(a,6eR)；

ba

2

[a,bGR,6Z,6>0)

(5)_______>________>111

—+—

T-ab

考点一、直接用基本不等式求和或积的最值

典例引领

L（23-24高三上・河南信阳•阶段练习）已知x>0,y>0,且x+>=2,则中的最大值为（）

A.0B.1C.-1D.2

2.（2024・全国•模拟预测）若x>0）>0,3x+2y=l,则8"+4，的最小值为（）

A.V2B.2亚C.3行D.4亚

即时性测

1.（2023•上海•模拟预测）已知正实数°、6满足。+4b=1,则油的最大值为.

2.（2024・云南•模拟预测）已知正数无，>满足x+y=4,则工-与的最小值为________.

x4

考点二、巧用“1”或常数关系求最值

典例引领

1.（2024•江苏扬州•模拟预测）已知x>0,y>0,且2x+y=l,则x一+^V的最小值为（）

孙

A.4B.4&C.6D.2亚+3

41

2.（2024•河南•三模）在AA8C中，角4B,C的对边分别为。力,。，若a+6+c=2,则一7+―的最小值

a+bc

为.

即时检测

1.（2024・安徽•三模）已知x>0,y>0,且2x+y=l,则'的最小值为（）

xy

A.4B.472C.472+1D.2V2+I

1o

2.（2024•宁夏石嘴山,模拟预测）已知加,〃€（。,+（»）,—+n=4,则加+-的最小值为.

mn

3.（2024•江苏南通•二模）设x>0,y>0,-+2y=2f则％+,的最小值为（）

%y

3/—3rr

A.-B.2A/2C.—+-\/2D.3

考点三、拼凑法求最值

典例引领

12

1.（2024•山西临汾•三模）若Ovxvl,则一+;---的最小值是（）

x1-x

A.1B.4C.2+2夜D.3+2收

2.（2024高三•全国•专题练习）若函数=--->3）在x=Q处取最小值，贝.

x—3

y4x

3.（2024•江西赣州•二模）已知歹>%>0,则一2---——的最小值为____.

y—x2x+y

21

1.（2024•全国•模拟预测）已知%>1,歹>。，且工■•=2,则^+歹的最小值是_______.

yx-1

121

2.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知实数。>01>2,且--+则2〃+6的最小值是

Q+1b-23

考点四、换元法求最值

典例引领

4xV

1.（2022高三上•全国,专题练习）已知工，y〉0,求^----+二一的最大值.

2.（2023・全国•模拟预测）已知。>1,b>\,-^-+-^-=1,则工+1的最大值为____.

2a-v2b-1ab

即

1.（2020•甘肃兰州•二模）设m,"为正数，且〃""=2,则一二+”|的最小值为_______.

m+1n+2

21

2.（2024・浙江•模拟预测）已知。>0,b>0,若2、，+.—T=l，则湖的最大值为（）

a+2abo+ab

A.2-72B.2+72C.4+2V2D.4-2V2

考点五、二次与二次（一次）的商式求最值

典例引领

L（2023高三・全国・专题练习）函数〃x）=2x2：x+3（x<0）的最大值为.

3k3+3k

2.（23-24高一上•上海浦东新•期中）已知实数左>0,贝：[3/+].114r+』）的最大值为

即0唧（

3X-3

1.（22-23高三上•福建泉州•期中）函数/（XL：,在泉,+8）上的最大值为____________.

2x-x+l

2.（2023高三•全国•专题练习）当x>T时，求函数y=-+2x+3的最小值.

X+1

考点六、两次应用基本不等式求最值

典例引领

1.（23-24高一上•上海徐汇・期中）若x,y,z均为正实数，则彳詈三彳的最大值是.

2.23-24高三下•重庆•阶段练习）对任意的正实数。，4c,满足6+c=1,则3abi+0+的最小值为

bea+\

An

1.（23-24高一上•江苏南京•阶段练习）已知正数见仇c满足〃+262。，则一十：^一的最小值为

a2b+c

2.（2023•江西•一模）已知。，b,c是正实数，且6+c=&,则M一+2曙/-最小值为________.

beQ+1

考点七、条件等式变形求最值

典例引领

1.（2024•安徽芜湖•模拟预测）若e，-6=守，则X-〉的最小值为（）

11-5In2

A.—B.yj2C.1D.---

24

2.（2024・四川德阳•模拟预测）已知正实数》,y,z满足/+中+乃+宓+工+2=6,则3x+2y+z的最小值

是.

3.（2023・江西・二模）实数。，b>0,满足：a3+b3+7ab=9,则a+6的范围是（）

A.（2，BB.2,1]C.（2,啊D.[2,网

即时检测

1.（2024•全国•模拟预测）已知。>0,b>0,且ab=32,则4/+6+缶）的最小值为.

2.（2024・浙江绍兴•三模）若xj,z>0,且无？+孙+2xz+2yz=4,则2x+y+2z的最小值是

Q3

3.（22-23高三上•天津和平•阶段练习）已知正数X/满足2二+——『=1，则孙的最小值

3x+2xyxy+2y

是.

考点八、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围

典例引领

1.（23-24高三上•福建漳州•阶段练习）已知Vx>3,2机恒成立，则实数加的取值范围是

2.（2023高一上•全国•专题练习）已知x,ye（l,2）且x+y=3,若丁二+J—2。恒成立，则实数。的范

2x-y2y-x

围是•

3.（2023•广东湛江•二模）当x,ye（O,+s）时，£±1泞±^1<；恒成立，则〃?的取值范围是（）

x4+2xzy+yz4

A.（25,+oo）B.（26,+8）C.D.（27,+8）

即时

22

1.（2024•江西・一模）己知正数x,y满足x+»=6,若不等式。4\+二二恒成立，则实数。的取值范围

x+1y+2

是.

22

2.设正实数x，V满足1不等式上4x■+v2加恒成立，则加的最大值为（）

2y-12x-\

A.8B.16C.2A/2D.4V2

3

3.（23-24高三上•浙江宁波•期末）设实数x,»满足x>5，y>3,不等式

M2x-3）（y-3）W8尤3+/-12/-3/恒成立，则实数人的最大值为（）

A.12B.24C.2GD.4>/3

考点九、利用基本不等式判断或证明不等式关系

典例引领

1.（23-24高三上•江苏扬州•期末）若a>6>l,x=ln,y=g（Inq+Inb）,z=Jlnq.Inb,贝Ij（）

A.x<z<yB.y<z<x

C.z<x<yD.z<y<x

211

2.（23-24高三上•陕西榆林•阶段练习）已知正数。力,c满足一+：+-=2.

abc

（1）若。=2,求b+c的最小值；

1113

（2）证明：——-+-----+--<-.

a+2ba+2cb+c4

3.（2024・甘肃张掖•模拟预测）已知。也。为正数，且,+!+，=1.证明：

abc

⑴/+/）2+c2>abc;

112/-

（2）~i=+-r=+-^<y/6.

7a7b7c

即时啰!）

1.（2023•安徽蚌埠•模拟预测）已知实数a,6,c满足。<6<。且。儿<0,则下列不等关系一定正确的是（）

A.ac<beB.ab<ac

2.（2024高三•全国•专题练习）已知实数〃，b,c满足a+6+c=l.

1?

⑴若2a?=5,求证：0<a<—；

金+上+3

⑵若。，b,cG（0,+oo）,求证:

l-tz1-b1-c2

3.（2024•青海•一模）已知正数〃也。满足〃+6+c=2.求证:

22

⑴〃2+b+C>1-；

(2)j3a+2+736+2+J3c+2<6.

考点十、基本不等式多选题综合

典例引领

1.（2024•全国•模拟预测）若实数0,6满足3/+3^+49=5,则下列结论正确的是（）

2

A.ctb<1B.abN—

5

C.（j2+b2^2D.Ja+b工

2.（2024•河北保定•二模）已知Q2+4/+2Q6=1,则（）

A.必的最大值为gB.1+4/的最小值为9

C.1+4/的最大值为2D.g的最小值为

3.（2024•浙江•二模）已知正实数。,6,c,且。>6>c,x,y,z为自然数，则满足3+—二+<>0恒成立

a-bb-cc-a

的九乃z可以是（）

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.x=2,y=2/=7D.x=l,y=3,z=9

14

L（2024•全国•模拟预测）已知〃>0,b>0且一+丁=2,则下列说法正确的是（）

ab

9

A.有最小值4B.a+b有最小值2

c.2的+。有最小值2石D.Mz7工3的最小值为4亚

2.（2024•广东广州•模拟预测）已知a<6<c（a,6,ceR）,且a+2b+3c=0,则下列结论成立的是（）

八ca

A.a+c<0B.—I—<—2

ac

c**/士，口0?rb+2c1

C.存在“，。使得〃2一25。2=0D.--------<--

a+c2

3.（2024•重庆渝中•模拟预测）已知实数满足尤2+4./_2孙=1,则（）

A.x+2y<lB.x+2y>-2

C.x2+4/<2D.x2+4/>1

FL好题冲关.

基础过关

一、单选题

1o

1.（2024•安徽•模拟预测）已知见〃£（0,+8）,—+n=4,则加+—的最小值为（）

mn

A.3B.4C.5D.6

14

2.（2024•河南•模拟预测）已知点P（x,y）在以原点。为圆心，半径/=后的圆上，则+了u的最小值

为（）

二、多选题

3.（2024・全国•模拟预测）已知x>0,y>0,且x+y=l,则（）

xy22

A.2~>B.log2x+log2_y<-2C.yfx+y[y^-j2D.x+y

4.（2024•福建泉州•模拟预测）已知a>0,b>Q,且。+。=4,则（）

A.a+26>4B.（a-l）（Z?-l）>1

C.log2a+log26>2D.2"+"28

三、填空题

5.（2024・上海奉贤•三模）若。+6=1,则仍有最大值为.

6.（2024•河南商丘•模拟预测）若正数。力满足=则。的最小值是

7.（2024•天津•模拟预测）若a>0,b>0,且a+6=l,贝U++[的最小值为

一_14

8.（2024・河南・模拟预测）已知向量。=（刃,〃）（"?,〃>0）,6=0,2）,若£%=1，则一+—的取值范围

mn

为.

9.（2024高三•全国•专题练习）若实数x，N满足孙=1,则f+2/的最小值为_.

XZ

10.（2024・广东•三模）设实数X、八z、，满足不等式14x4"z4/W100,则一+一的最小值为____.

了t

能力提升

一、单选题

1.（2024•北京顺义三模）设无/21,a>l,6>1.若小=〃=3,°+6=26，则一+,最大值为（）

xy

31

A.2B.-C.1D.-

22

2.（2024・江苏盐城•模拟预测）sinxjl+2cos2x的最小值为（）

A_1RV2r372n_3

2244

1m

3.（2024高二下•湖南•学业考试）已知勿>1,">0,m2-2m+n=0,若不等式一；+—N彳恒成立，则

m-1n

实数彳的最大值为（）

A.2B.3C.4D.6

4.（2024•广西•模拟预测）已知e（-8,0）,且a+46=a6-5,则ab的取值范围为（）

A.[25,+oo）B.工+8）C.（0,5]D.（0,1]

二、填空题

1O

5.（2024•上海•三模）已知函数/（x）=/+2x,若加>0,n>0,且/（2"）+〃“-1）=〃0）,则—+—的最

mn

小值是

6.（2024・河南信阳•模拟预测）若实数x,丁满足41nx+21nyN尤2+4了-4,贝|孙=.

7.（2024・河北•三模）己知函数〃x）=|lgx|,若/⑷=/优）（"与，则当2"・3〃取得最小值时，

a_

~b~-----------

8.（2024高三•全国•专题练习）已知正实数x,y满足4/+4肛+1=},则工+计3y的最小值

XX

为

9.（23-24高三下•重庆•开学考试）已知实数满足片一副+〃=1,则湖的最大值为____；1+--

a+1b+

的取值范围为.

三、解答题

29x2v2

10.（2024高三•全国•专题练习）设正实数X/满足x>；,y>2,不等式工+卢二2机恒成立，求机的

3y-23x-2

最大值.

具题感理

1.（2024•北京•高考真题）已知（为,弘），（%，%）是函数了=2"的图象上两个不同的点，贝U（）

A.log2寄〈宁B.log221±A>^

C.10g2必；％<西+x?