2025年江西省赣州市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年江西省赣州市高考数学模拟试卷

一、单选题

1.已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）:

甲组：27、28、39、40、加、50；

乙组：24、n、34、43、48、52.

?71

若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则一等于（）

n

121047

A.—B.—C.一D.

7734

2.与椭圆97+4/=36有相同焦点，且满足短半轴长为2遍的椭圆方程是（）

41

3.已知等比数列｛斯｝中所有项均为正数，若口血册=送（血，nCN*）,则一+一的最小值为（

mn

4.如图，在正方体48CD-481C1D1中，E,尸分别为棱N5,的中点，过E,F,G三点作该正方体

的截面，则（）

A.该截面是四边形

B./iC_L平面CiEF

C.平面平面。跖

D.该截面与棱BBi的交点是棱BBi的一个三等分点

5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，沙区心理协会派遣具有社会心理工作

资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助

两名学生，则不同的安排方法共有（）种.

A.90B.125C.180D.243

第1页（共20页）

6.如图，在等腰梯形48CD中，AB//CD,AB=5,AD=4,DC=\,£是线段4B上一点，且/£=4即,

—>—>

动点P在以E为圆心，1为半径的圆上，则DP-4C的最大值为()

A.V3-VHB.2V3-6C.V21-6D.-V3

7.设锐角△/3C的三个内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且c=l,N=2C,则△45。周长的取值范

围为()

A.(0,2+V2)B.(0,3+V3)C.(2+V2,3+b)D.(2+V2,3+何

8.已知双曲线E：l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为八，F2,过点尸2的直线与双曲线E的右

支交于4,2两点，若|48|=|/乃|,且双曲线E的离心率为企，贝！Icos/BN为=()

A3"口301„1

A.--g-B,-4C,-D.-g

二、多选题

(多选)9.已知函数/(x)=4sin(a)x+(p)(4>0,a)>0,0<(p<n)的部分图象如图所示，则下列判断

正确的是()

卜4

A.3=耳

97r

B-0=而

C.点G，0)是函数/(x)图象的一个对称中心

D.直线x=—(兀是函数/(x)图象的一条对称轴

(多选)10.已知，为虚数单位，复数z=彳义打，下列说法正确的是()

i(3+W)

第2页(共20页)

AI—IJ10

A.\z\=—

B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限

3.

C.-i-z<0

D.z+看为纯虚数

(多选)11.已知曲线G：f(x)=勿(2x7)在点M(xi，yi)处的切线与曲线C2：g(x)=e2>i相切

于点N(X2,”)，则下列结论正确的是()

A.函数h(x)=/g(x)-1有2个零点

21

B.函数血。)=讶?/。)一在(2，1)上单调递减

1

cg(%2)=2/一1

1

D.-------+2x=0

X\一1?-

三、填空题

9_1

12.已知集合4={用r皆fW0},全集U=R,贝1JCU/=.

13.在正四面体尸-48C中，M为山边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径

为R,最小的截面半径为厂，则营=;若记该正四面体和其外接球的体积分别

为V\和Vi,贝U/2=•

14.已知函数/。)=爱订(a>0且aWl),若3x6(0,3),/(x2+3)+f(.-ax-a)-220是假命题，

则实数q的取值范围是.

四、解答题

15.已知函数/(x)=alnx-x.

(1)当°=1时，求函数/G)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数/(x)的最大值.

16.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多

名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、

物理、化学学科夏令营活动.

(I)若数学组的7名学员中恰有3人来自/中学，从这7名学员中选取3人，彳表示选取的人中来自

A中学的人数，求己的分布列和数学期望；

第3页(共20页)

(II)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮

竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，

甲、乙答对每道题的概率分别为P1，P2.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当P1+P2=*

时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.

17.已知在多面体尸Q48CD中，平面平面48CD,四边形4BCD为梯形，且四边形以。0

为矩形，其中M和N分别为和/尸的中点，AB=®BC=5,AD=DC=2.

(1)证明：平面皿W_L平面QDC；

(2)若二面角N-8M-C的余弦值为一学，求直线80与平面所成角的正弦值.

18.已知尸为抛物线及产=2?；5>0)的焦点，O为坐标原点，M为E的准线/上一点，直线板的斜

1

率为-1,△OEW的面积为7.已知P(3,1),Q(2,1),设过点尸的动直线与抛物线E父于/、2

两点，直线/。，30与E的另一交点分别为C,D.

(I)求抛物线E的方程；

(II)当直线与CD的斜率均存在时，讨论直线CD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是,

19.若数列｛即｝满足|*1-翊=1(后=1,2,3,•••,n-1(心2)),则称数列｛斯｝为口数列.记的=41+°2+。3+

…■'ran•

(1)写出一个满足。1=。5=1，且$5=5的T］数列；

第4页(共20页)

(2)若ai=24,“=2000,证明：口数列｛斯｝是递增数列的充要条件是斯=2023；

(3)对任意给定的整数〃(〃23),是否存在首项为1的n数列｛外｝，使得5=1?如果存在，写出一个

满足条件的T］数列｛斯｝;如果不存在，说明理由.

第5页(共20页)

2025年江西省赣州市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1.已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）：

甲组：27、28、39、40、m、50；

乙组：24、n、34、43、48、52.

m

若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则一等于（）

n

12104:

A.—B.—C.-D.■

773,

【解答】解：因为6X30%=1.8,6X80%=4.8,

所以乙组的30百分位数为〃=28,甲组的80百分位数为冽=48,

m4812

则—=——=—.

n287

故选：A.

2.与椭圆9x2+4/=36有相同焦点，且满足短半轴长为2代的椭圆方程是（）

【解答】解：・・•椭圆方程97+4/=36可化为：+

・・•所求椭圆与椭圆9f+4歹2=36有相同焦点，

・•・所求椭圆的焦点在y轴上，且。=回7=遮，又6=2祈,

a1=b2+c2=20+5=25,

、、V2/

故所求椭圆方程为焉+茄=1.

故选：B.

41

3.已知等比数列｛斯｝中所有项均为正数，若Qm册=城（血，nEN*）,则一+一的最小值为（）

mn

【解答】解：若Qm。九二谈（血，nCN*）,

则冽+〃=6,可知｛二工，或｛:二：或｛；二;或｛:二j或代入可得：3+；=£或;或，或T或春

413

所以当加=4,〃=2时，一+一取最小值二.

mn2

第6页（共20页）

故选：A.

4.如图，在正方体48CD-/I8ICLDI中，E,尸分别为棱N5,的中点，过E,F,G三点作该正方体

的截面，则（）

A.该截面是四边形

B.小。_1_平面CiEF

C.平面《以功〃平面Ci所

D.该截面与棱BBi的交点是棱BBi的一个三等分点

【解答】解：对/：如图，将线段跖向两边延长，分别与棱C2的延长线，棱CD的延长线交于点G,

H,

连接CiG,CiH,分别与棱8小，交于点尸，Q,得到截面G尸所。是五边形，故/错误;

对2：因为出国工面BCCLBI，8cIU面BCCiBi,故ZLBULBCI；

XBCiA.B1C,BiCC\AiBi—B\,B\C,/iBiu面/iBC,故8。_1_面/1囱。,

又4Cu面4bBe故8c山1C;

假设41clei尸,又CiPnBCi=Ci,CiP,BCiu面BCCiBi,故4G面BCCM

又出用，面BCCiBi，显然过一点作一个平面的垂直只能有一条，假设不成立，即4C与。尸不垂直;

又GPu平面Ci£凡所以/C与平面不垂直，故3错误；

对C：。。_1面小囱。1。1，BAU面/由Ci。，故又mMCi,

AiCinCCi=Ci,AiCi,CCiu面41clC,故81n，面4clC,又4Cu面41clC,

第7页（共20页）

故囱D_L4C,同理可得NiC_L4Di,XAD\^B\D\^D\,AD\,BLDIU面48m1,

故4C_L平面/BiDi,又NiC与平面CLEF不垂直，

所以平面/Bid与平面Ci即不平行，故C错误；

,…I1…，BPBG1

对D：易知BG=5BC=亍丸的，所以Q「=77,

乙乙rD^81cliZ

所以截面CiPEFQ与棱BBi的交点尸是棱Affi的一个三等分点，故。正确.

故选：D.

5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，沙区心理协会派遣具有社会心理工作

资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助

两名学生，则不同的安排方法共有（）种.

A.90B.125C.180D.243

【解答】解：根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生,

要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生,

则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1,然后分配给3位专家,

所以不同的安排方法共有丁•=90种.

故选：A.

6.如图，在等腰梯形45cZ）中，AB//CD,AB=5,40=4,DC=\,£是线段45上一点，且4£=4防,

—>—>

动点P在以E为圆心，1为半径的圆上,则DP-AC的最大值为（)

C.V21-6D.-V3

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：4（-4,0）,C(—l,2V3),。(—2,2b)，设P

(cosa,sina),

第8页（共20页）

DC

Bx

AC—(3,2-\/3),DP=(coscr+2,sina—2V3),

DP-AC=3cosa+6+2y/3sina-12=V21stn(a+<p)—6,其中tan"=等.

/.sin(a+(p)=1时，DP•力C取最大值值一6.

故选：C.

7.设锐角△/BC的三个内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且c=l,N=2C,则△/3C周长的取值范

围为()

A.(0,2+V2)B.(0,3+V3)C.(2+V2,3+V3)D.(2+&,3+V3]

【解答】解：锐角△NBC可得0°<A<90°,即0°<2C<90°,

5=180°-A-C=180°-3C,而0°<180°-3C<90°,

可得30°<C<45°,

7sinBsin3CsinZCcosC+coslCsinC

b=.7；=—------------------------------

stnCstnCsine

=2cos2C+cos2C=4cos2C-1,

贝I」a+b+c=4COS2C+2COSC

-11

=4(cosC+^)

由30。<C<45°,可得今-VcosCV苧,

即有cosC=孝时，可得a+6+c=2+VL

cosC=孚时，可得a+6+c=3+V^,

则a+b+c的范围是(2+3+V^).

故选：C.

第9页（共20页）

8.已知双曲线£-l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为为，Fi,过点正2的直线与双曲线E的右

支交于/,8两点，若=且双曲线E的离心率为加，则cosNB/6=（）

A.-挈B.C.-D.

。48o

【解答】解：根据对称性，不妨设4点在第一象限，

•：\AB\=\AFi\,

：.\BF2\=\AB\-\AF^\=\AFx\-\AFi\=2a,

：.\BFi\=\BF2\+2a=4af

，・,双曲线£的离心率e==V2,\F\F2\=2C=2V2a,

在45回尸2中，由余弦定理可得:

16a2+4Q2-8a2_3

COSZFI5F2=2-4a-2a-4'

cosZBAF\=cos(a-2NF1BF2)

=-cos(2/F1BF2)=-(2COS2ZFIBF2-1)

91

=一(2x正—1)=-g.

故选：D.

二、多选题

（多选）9.已知函数/（x）=/sin（oox+（p）（4〉0,a）>0,0<（p<ir）的部分图象如图所示，则下列判断

AA.3=54

9TT

B.「访

C.点/，0）是函数/（x）图象的一个对称中心

D.直线X=—（兀是函数/（X）图象的一条对称轴

T3TT5TT

【解答】解：根据图象和题目条件可知/=1,-=27T--=—,

244

第10页（共20页）

所以「=苧==,解得3/正确；

Z60□

将％=苧代入，可得三X丁+8=―,解得0=需，B正确；

所以/(%)=sin^x+,

7T47197r71

由于f(7)=sin(-x-+—)=-sin—WO,故C错误；

4541010

由于/(一爷)=sin[-X(一竽)+y^-]=-sin-=-l,可得直线％=-彳兀是函数/(x)图象的一条对称

轴，故。正确.

故选：ABD.

(多选)10.已知i为虚数单位，复数z=不，下列说法正确的是()

L(3+H)

A|-IJi。

A.\z\=—

B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限

3_

C.-i-z<0

D.z+看为纯虚数

r冷刀比x冷刀_2_2_2(1—3i)_1—3i

【解口】解：Z=-3+/)=7(3=0=(1+30(1-30=I-)

、生T否I-I_11+3(Jl+9V10Tr#,

选项A|z|=|---1=―g—=§，正确；

1Q

选项5,复数2在复平面内对应的点为(?-1),位于第四象限，正确；

选项C，1=--1<0,正确；

-4O,-*1Q*3

选项。，-5-+-=不是纯虚数，错误.

故选：ABC.

(多选)11.已知曲线Ci：/(x)=ln(2x-l)在点M(xi，州)处的切线与曲线C2：g(x)=e2xT相切

于点N(X2,")，则下列结论正确的是()

A.函数h(x)=/g(x)-1有2个零点

Q1

B.函数zn(%)=2一在(2，1)上单调递减

1

C.刎2)=k1

1

D.----+2x=0

勺一1?2

第11页(共20页)

【解答】解：对于/：h(x)=fg(x)-1=x2e2x_1-1=>/?z(x)—lx(x+1)e"i,

当x>0时，h'(x)>0,h(x)单调递增，

当-l<x<0时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

当x<-l时，h'(x)>0,h(x)单调递增，

函数h(x)的极大值为〃(-1)=e-3-1<0,极小值为〃(0)=-1<0,

因此当x<-1时，h(x)<0,当-l<x<0时，h(x)<0,

又〃(1)=e-1>0,所以人(0)-h(1)<0,则h(x)在(0,1)上存在零点，

因此函数〃(x)只有一个零点，故/不正确；

对于B：m(x)=23/(%)—xg(x)=-^eln^x—1)—xe2x~r,

则zn(%)=2~~i—(2%+l)e2x-1,

令H(x)=—(2x+l)e2i,%e(J,1),则〃(x)=-(4x+4)e"i<0,

所以〃(x)在1)上单调递减，又丫=篇在G，1)上单调递减，

11

当1)时，函数M(x)单调递减，所以当1)时，m'(x)>m'(1)=0,

Q1

所以函数m(%)=-在(2，1)上单调递增，故5错误；

9

对于C：/(%)=ln(2x—1)=>/(%)=2x-[,

因此曲线(x)=ln(2x-1)在点M(xi,yi)处的切线方程为：

99r7Y4

y一)(2/-1)=一/)=丫=^i+"(2/一1)一2^，

由g(x)=e2%i=g/(%)=2e2x'1,得曲线C2：g(%)=在N(刈，y2)处的切线方程为：

2x2-12%2-12x212%2-12x2-1

y—e=2e(x—x2)=>y=2e~x+e—2e%2»

因为曲线Ci：f(x)=勿(2x-1)在点M(xi,g)处的切线，与曲线C2：g(%)=相切于点N(x2,

y2),所以

21

^^=2/犯-1,即^^=?2冷-1,

2x^—12x^—1

1

因此。(久2)=e2%2_1=2巧_1，故C正确；

=e2%2-1

对于。：由上可知：\巧一.，

22-12x2-1

^ln(2x1—1)—.二=e^—2ex2

第12页（共20页）

因此有一2冷+1-悬I=2^=1一肆T

1

=>2%I%2—2%2+1=0=>2%2(%I—1)=-1=>x_1+2久2=0，故。正确.

故选：CD.

三、填空题

9_11

12.已知集合4={%r|爸矣<。}，全集。=凡则CuZ=—(—8,+8)_.

9_11

【解答】解：集合4={%|爸r我40}二{%|-1〈汽〈/},全集U=R,

1

所以Cu4=(—8,+8).

i

故答案为：(-8,+8).

13.在正四面体尸-/5。中，〃为边的中点，过点又作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径

为R,最小的截面半径为厂，则：=_亨―；若记该正四面体和其外接球的体积分别为H和匕，则

3V3

---7T.

2--

【解答】解：将正四面体P-/2C放置于正方体中，可得正方体的外接球即为该正四面体的外接球，如

图,

外接球球心O为正方体的体对角线的中点，设正四面体P-/2C的棱长为2a,则正方体棱长为四a,

由外接球直径等于正方体的体对角线，得正四面体P-ABC外接球半径R=|V3xV2a=^a,

当过我中点M的正四面体外接球截面过球心。时，截面圆面积最大，截面圆半径为七

当该截面到球心。的距离最大时，截面圆面积最小，此时球心。到截面距离为。用=¥小

可得最小截面圆半径7=、R2一。用2=a,因此5=客；

正四面体P-ABC外接球体积匕=粤R3=苧.(乎a)3=V67TGL3,

正四面体p-ABC的体积匕=(V2a)3-4x|x|x(V2a)3=^a3,因此削=

第13页(共20页)

辽田V63V3TT

故答案为：—;~--

14.已知函数f(%)=Q%+](Q>0且),若mxE(0,3),f(，+3)+f(-ax-a}-2三0是假命题,

则实数Q的取值范围是M)V〃V1或心31.

【解答】解：因为/(%)=篝？=3(鼠尸=3_悬了

若由于y=△单调递减，则/(x)在R上单调递增；

若由于y=外：1单调递增,则/G)在R上单调递减，

44

又/(%)+f(-％)=6--._%+1=2,故2-/(-％)=/(X),

因为(0,3),f(/+3)+f(-ax-a)-220是假命题，

故VxE(0,3),f(/+3)+f(-ax-a}-2Vo恒成立为真命题，

即不等式f(X2+3)<2-f(-ax-a)=f(ax+a)对VxC(0,3)恒成立，

-y*2_1_,2A.

当q>l时，x+3Vtz(%+1)=_-Va,即(％+1)H—匚j—2Va在VxG(0,3)恒成乂，

I.LKI-L

设t=x+l(1<?<4),即a>t+9-2在始(1,4)恒成立.

由于对勾函数八(t)=t+*-2在(1,2)单调递减，在(2,4)单调递增，

因为〃⑺<h(1)=h(4)=3,因此。23；

r2_l_Q

当0VaV1时，%2+3>a(x+1)=>a<'r~x^T,

4,,

即aV(%+1)+久+]—2在VxE(0,3)恒成乂，

当t=2时，函数九(t)=t+9—2有最小值/(2)=2,

即a<2,又因为0<a<l,故0<a<l.综上可知：{a|0<a<l或a23}.

故答案为：{砸<°<1或心3}.

四、解答题

15.已知函数/(x)=alnx-x.

(1)当a=l时，求函数/(x)的单调区间；

(2)当。>0时，求函数/(x)的最大值.

【解答】解：(1)/(x)的定义域为(0,+8),

11_y

当Q=1时，/(x)=Inx—x,/<%)=［一1二-^―,

第14页(共20页)

由y（x）=T>0,解得0Vx<1,

1_y

由f（%）=—V。，解得x>1.

：.f（x）的单调增区间为（0,1）,单调递减区间为（1,+8）.

（2）/（X）的定义域为（0,+8），1=?,

当a>0时，令/（%）>0,得0<x<°；令/（%）<0时，得x>a,

：.f（x）的递减区间为（a,+8）,递增区间为（0,a）.

:.f（x）max=alna-a=a（Ina-1）,

16.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多

名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、

物理、化学学科夏令营活动.

（I）若数学组的7名学员中恰有3人来自/中学，从这7名学员中选取3人，S表示选取的人中来自

A中学的人数，求孑的分布列和数学期望；

（II）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮

竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，

甲、乙答对每道题的概率分别为"1，"2.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当P1+P2=1

时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.

【解答】解（I）由已知得胡艮从超几何分布，己的所有可能取值为0,1,2,3,

日（苫—0）_C4_4p（LI）_1废_18尸_4以_12_C3_1

且0p熊一°）一弓一希；P聂一1）一可一新；「熊一2）一可一新；Pp（W—3）一希，

t的分布列如下:

0123

418121

p

35353535

41R1219

E（《）=0x+1x+2x+3x=亍

（II）甲乙两人在每轮答题中取得胜利的概率为:

22222

p=X[P1（1-Pi）p2+P2（1-p2）P11+P1P2=-3（PW2）2+蜀>2=-3（P1P2-Q+|f，

4

因为Pi+P2=w，且OWpiWLOW/22WI,

149.414

2

所以§wPi<1,则。s=@Pi—p-=一（P1--）+g,可得m/eq-],

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所以当P1P2=*时，Pmax=招.

17.已知在多面体PQ48CD中，平面为DQ_L平面/BCD,四边形NBCD为梯形，且/D〃8C,四边形力。。

为矩形，其中M和N分别为和NP的中点，AB=V7,BC=5,AD=DC=2.

(1)证明：平面平面QDC；

(2)若二面角N-2"-C的余弦值为—洛，求直线2。与平面皿W所成角的正弦值.

【解答】解：(1)证明：,••四边形E4。。为矩形,

J.DQLAD,又•.•平面平面/BCD,

平面BlDQri平面ABCD=AD,

.♦.£>Q_L平面ABCD,：.DQ±BM,

在边上取点E,使CE=4D=2,连接/E,

又,：AD〃CE,二四边形/£CD为平行四边形.

：.AE=2,

在AABE中，BE=BC-CE=3,

AE2+BE2-AB2_4+9-7_1

由余弦定理知

cosNAEB=2AE-BE=2x2x3=2'

故N/E2=60°,过点/作NF_L2C于R

在RtZUEF中，AF=AE-sim.AEB=V3,EF=AEcosZAEB=l,

故BF=BE-EF=2,

以NRAD、/尸所在直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

所以B(百，-2,0),M(0,1,0),D(0,2,0),C(V3,3,0),

:.BM=(―陋,3,0),DC=(V3,L0),

TT

BM-DC=-V3XV3+3X1+0=0,

：.BMLCD,

^•：CD^DQ=D,

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平面QDC,又平面AW,

平面平面QDC.

(2)平面BMC的一个法向量为茄=(0,0,1),

―>

设N(0,0,h)(〃>0),则MN=(O,-1,h),

设平面3AW的法向量为n=(x,y,z),

即j-V3x+V3y=0

则?,B?=。取2=1,则％=gh,y=h,

-MN=0k—y+hz=0

・・・平面的一个法向量为1=(gh,h,1),

设二面角N-BM-C的平面角为a,

1

\cosa\-\cos(m,n)\-蛆曰===-4>解得h=l,

\m\-\n\V;3/i2+/i2+l5

平面3MN的一个法向量为£=(遮，1,1),

：.Q(0,2,2),BQ=(一,，4,2),

设80与平面所成角为仇贝Us讥e=|cos〈£访〉|=弁9=可率

\n\-\BQ\

18.已知歹为抛物线£：y2=2px(/?>0)的焦点，。为坐标原点，M为£的准线/上一点，直线板的斜

1

率为-1,△0*11的面积为77.已知尸(3,1),Q(2,1),设过点尸的动直线与抛物线E交于/、8

两点，直线N。，8。与£的另一交点分别为C,D.

(I)求抛物线E的方程；

(II)当直线N8与C〃的斜率均存在时，讨论直线⑦是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是,

请说明理由.

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【解答】解：（I）设准线/与X轴的交点为N,

:直线板的斜率为-1,=|儿用=p,又\0F\=

11T）11

・・・S/OFM=2•I。可•|MN|=2・1p=田解得p=2，

故抛物线E的方程为：?=%.

（II）设4（XI，＞1）,B（X2，＞2）,

过点P（3,1）的直线45的方程为：％-3=，（＞-1）.

则联立歹2=%,整理得:y2-ty+t-3=0,

由韦达定理可得：yi+y2=tfy\yi=t-3.

又设。（孙歹3）,D（X4，1y4），

可得CD的直线方程为：（》+%）y=x+y3y4,

由/,。，。三点共线可得：（yi-1）（%3-2）=（»3-1）（