人教版高中数学复习：正弦函数、余弦函数的性质（一）

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)

【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义2会求函数y=Asin(ox+0)&y=

Acos(ox+0)的周期.3.掌握函数y=sinx,y=cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.

IT问题导学--------------------------

知识点一函数的周期性

思考1如果函数式功满足yu+3)=x尤)，那么3是五x)的周期吗？

答案不一定.必须满足当尤取定义域内的每一个值时，都有於+3)=段)，才可以说3是加)

的周期.

思考2所有的函数都具有周期性吗？

答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.

思考3周期函数都有最小正周期吗？

答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数/U)=c(c为常数，xGR),所有

非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.

梳理函数的周期性

(1)对于函数兀明如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有加土

Q=心),那么函数1x)就叫做周期函数，非零常数7叫做这个函数的周期.

(2)如果在周期函数1x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做*x)的最小

正周期.

知识点二正弦函数、余弦函数的周期性

思考1证明函数〉=$始了和y=cosx都是周期函数.

答案sin(x+2?t)=sinx,cos(x+2兀)=cosx,

.•.尸sinx和产cos尤都是周期函数，且2兀就是它们的一个周期.

思考2证明函数/U)=Asin(ox+°)(或/(x)=Acos(0x+0))(/0WO)是周期函数.

答案由诱导公式一知，对任意xGR,都有Asin[(cax+e)+2TT]=Asin(cox+p),

所以Asin[tt)G+普)+0]=Asin((ux+0),

即《无+离=©

一2冗

所以“x)=Asin(Gx+e)(G#0)是周期函数，高就是它的一个周期.

同理，函数/(X)=ACOS(GX+9)(①W0)也是周期函数.

梳理由sin(x+2kji)=sinx,cos崖+2左兀)=cosx(k£Z)知,y=sinx与y=cosx都是周期函数,

2fai(左£Z且左WO)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2兀.

知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性

思考对于xGR,sin(一%)=—sinx,cos(一尤)=cosx,这说明正弦函数、余弦函数具备怎样

的性质？

答案奇偶性.

梳理(1)对于y=sinx,xGR恒有sin(—x)=—sinx,所以正弦函数y=sinx是壹函数，正弦

曲线关于原点对称.

(2)对于y=cos%,尤GR恒有cos(—x)=cos尤，所以余弦函数y=cos尤是假函数，余弦曲线关

于y轴对称.

2题型探究

类型一三角函数的周期性

例1求下列函数的最小正周期.

TT

(1)y=sin(2x+1)(x£R)；

(2)y=|sin(x£R).

IT

解⑴方法一令z=2x+],因为尤GR,所以zGR.

函数/(x)=sinz的最小正周期是2兀，

即变量z只要且至少要增加到z+2%,

函数/U)=sinz(zGR)的值才能重复取得.

TTJT

而z+2兀=2x+]+2兀=2(工+兀)+],所以自变量工只要且至少要增加到x+兀，函数值才能重

复取得，所以函数/(x)=sin(2x+g(x£R)的最小正周期是兀.

方法二/(x)=sin(2x+§的最小正周期为苧=兀

(2)因为y=|sinx\

fsinxQkiiWxW2kn+兀),

=\(MZ).

[——sinx(2kji+兀＜％W2kn+2K)

其图象如图所示，

y

—2TT-TVOTT27r3IT

所以该函数的最小正周期为兀

27r

反思与感悟对于形如函数y=Asin@x+e),4GW0时的最小正周期的求法常直接利用丁=两

来求解，对于y=|Asin①x|的周期情况常结合图象法来求解.

跟踪训练1求下列函数的周期.

⑴y=(2)y=|cos2x\.

解(1)7=告9IT=4兀

L习

71

(2)T=》

类型二三角函数的奇偶性

例2判断下列函数的奇偶性.

(l)fl.x)=sin

(2加%)=lg(1—sinx)—lg(1+sinx)；

l+sinx—cos2^

次

(3v)=1+sinx'

解⑴显然无£R,fix)=cos

(1>1

x)=cosl_2^)=cos1x=/a)，

・・・加)是偶函数.

fl—sinx>0,

⑵由得一l<sin尤<1.

U十sinx>0,

IT

解得定义域为{x|x£R且xWZ兀+],%£Z}.

・・/>)的定义域关于原点对称.

又'・"(%)—lg(l—sinx)—lg(l+sinx),

•*-A-^)=lg[l_sin(-x)]-lg[l+sin(-x)]

=lg(1+sinx)—lg(1—sinx)——fix).

・7/@)为奇函数.

(3)V1+sin%W0,sinxW—1,

兀

；.xeR且尤#2也一,，k^Z.

•••定义域不关于原点对称，

该函数是非奇非偶函数.

反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：

关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；

关键点二：看八无)与一尤)的关系.

对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.

跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.

(1)j[x)=cosg兀+2x)+x2sinx；

=yj1-2cosx+^2cosx-l.

解(l)/(x)=sin2%+fsinx,

「x£R,—x)=sin(—2x)+(—x)2sin(~x)

=­sin2x—j^sinx=-fix),

・・・加)是奇函数.

fl—2cosx^0,i

⑵由。i>n得cosx=2.

[2cosx—1^0,乙

71

.\J(x)=0,x=2E±9，kRZ.

既是奇函数又是偶函数.

类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用

例3定义在R上的函数八尤）既是偶函数又是周期函数，若式尤）的最小正周期是兀，且当

尤G0,时，危）=sinx,求《引的值.

解,.•/（X）的最小正周期是兀，

二痣）=/管—2%）=｛苫）.

••V（x）是R上的偶函数，

反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可

求值区间内.

跟踪训练3若兀0是以名为周期的奇函数，且媚=1，求（一篇的值.

解因为式x）是以胃为周期的奇函数，所以（一期）=/（一知+5）=d—9=一周=-L

类型四函数周期性的综合应用

71

例4已知函数次元）=COSQ无，求犬1）+犬2）+式3）+…+黄2020）的值.

jr12,71147115兀

角星V/1)=COS2=2»7(2)=cos§=­2，y(3)=cos兀=——1,f(4)=cos-=fi5)=co^~

2，/(6)=cos27i=l,

1)+八2)+黄3)+黄4)+八5)+五6)=0.

同理，可得每连续六项的和均为0.

：.J(l)+fl2)+fi3)+-+fi2020)

=人2017)+/(2018)+八2019)+/(2020)

2017兀，2018兀，2019兀，2020兀

—cos十cos十cos十cos

兀2兀4兀

=cos2+cos^"+cosK+COS-^-

1113

=1+(-，)+(-D+(-5)=-]

反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值

的变化情况，再给予推广求值.

TT

跟踪训练4设函数段)=singx,则#1)+式2)+/(3)+…+人2015)=.

答案0

解析•・7(x)=sin李:的周期7=^=6,

3

・・・犬1)+八2)+/(3)+…+黄2015)

=335[f(l)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+/(2011)+式2012)+/2013)+犬2014)+/2015)

cc/.兀1.2

=335(sm1十sin卒十sm兀十sinq兀十sin铲十sm2兀I

+/335X6+1)+X335X6+2)+7(335X6+3)+

A335X6+4)+/(335X6+5)

=335X0+Al)+A2)+A3)+A4)+X5)

7i245

=sing+sin可兀+sin兀+sin371+sin郅=0.

3当堂训练

1.函数y（X）=A/§sin（j-xGR的最小正周期为（）

71

A，2B.兀C.2兀D.4兀

答案D

2.下列函数中最小正周期为71的偶函数是（）

A•%CX

A.y=sin2B.y=cos]

C.y=cosxD.y=cos2x

答案D

3.设函数兀c)=sin(2尤一5〉xGR,则大尤)是()

A.最小正周期为兀的奇函数

B.最小正周期为无的偶函数

C.最小正周期为鄂勺奇函数

D.最小正周期为胃的偶函数

答案B

解析：sin(2无一号=-sin^—2x)=—cos2x,

.•.危)=—cos2x.

又K-x)=-cos(-2x)=­cos2x=f(x),

.•.«r)是最小正周期为兀的偶函数.

TT

4.函数尸sin0x+a)的最小正周期为2,则co的值为.

答案士兀

解析V7=^=2,二・|初=兀，=±7i.

3兀

5.若函数式x)的定义域为R,最小正周期为宇，且满足

71

危尸,cosx,2则<小1党5兀、

sinx,0<xV兀，

规律与方法.------------------------------]

1.求函数的最小正周期的常用方法：

⑴定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使"元+7)

=/(%)成立的T.

(2)图象法，即作出y=«x)的图象，观察图象可求出T,如y=|sin%].

(3)结论法，一般地，函数y=Asin(s+9)(其中A、①、夕为常数，AWO,co>0,x£R)的周期

2兀

T=—

CD

2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变

形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看八一X）与犬X）的关系，从而判断奇

偶性.

课时作业

一、选择题

1.下列函数中，周期为彳的是（）

.X

A.y=singB.y=sin2x

x

C.y=cosiD.y=cos（—4x）

答案D

解析7=岛=，

2.函数无）=sin（ox+号）的最小正周期为其中。＞0,则。等于（）

A.5B.10C.15D.20

答案B

3.已知aGR,函数兀c）=sinx—|a|（xGR）为奇函数，则。等于（）

A.OB.lC.-lD+1

答案A

解析因为人%）为奇函数，

所以一尤）=sin（一尤）一|。|=~j（x）=一sin无十同，

所以⑷=0,从而a=0,故选A.

4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是兀的函数是（）

A.y=cos|2x|B.y=|sinx\

C.y=sin（5+2x）D.y=cos。^-

答案D

解析y=cos|2x|是偶函数，y=|sin是偶函数，j=sin（j+2x）=cos2x是偶函数，y=

cos传一2x）=—Sin2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T=n.

5.函数尸cos/+飘＞0）的最小正周期不大于2,则正整数上的最小值应是（）

A.10B.llC.12D.13

答案D

解析Vr=y^2,即々,4兀,

4

・・・正整数左的最小值是13.

6•函数>=回平高誓的奇偶性为（）

A.奇函数

B.既是奇函数也是偶函数

C.偶函数

D.非奇非偶函数

答案D

解析由题意知，当l-sinx#O,

即sin尤#1时，

|sinx|（l—sinx）

y==Isin,

J1—sinx

JT

所以函数的定义域为{X|XW2E+5，kez},

由于定义域不关于原点对称，

所以该函数是非奇非偶函数.

7.函数段）=3sin（|x+空）是（）

A.周期为3兀的偶函数B.周期为2兀的偶函数

47r

C.周期为3兀的奇函数D.周期为竽的偶函数

答案A

二、填空题

TTTT

8.若0<a</,g(x)=sin(2x+1+a)是偶函数，则。的值为.

答案f

jr

解析要使g（x）=sin（2x+[+a）为偶函数，

JTJT

则需a+a=E+]，女RZ,

71

••cc—kn~\~k^Z.

•0<a<5，♦・（z=不

9.函数危尸让sin管+2x）+1的图象关于对称.（填“原点”或“y轴”）

答案y轴

角毕析1Ax）=

:八一只=病），尤）是偶函数.

•..偶函数的图象关于y轴对称，

.\Ax）的图象关于y轴对称.

10.关于尤的函数/（x）=sin（x+夕）有以下说法：

①对任意的＜p,都是非奇非偶函数；

②存在9，使兀r）是偶函数；

③存在夕，使兀V）是奇函数；

④对任意的9,y（x）都不是偶函数.

其中错误的是.（填序号）

答案①④

解析当夕=0时，«x）=sinx是奇函数.

1T

当°=5时，y（x）=cosx是偶函数.

三、解答题

11.判断下列函数的奇偶性.

兀

(1次V)=COS(]+2x)cos(7l+X)；

(2)f(x)=\l1+sinx+yj1—sinx；

gsinx_|_g_sinx

(3)XX)-eSinx_sinx,

TT

解(1)VxER,y(x)=COS(2+2x)cos(7l+x)

=­sin2x-(—cosx)=sin2xcosx.

，火―x)=sin(—2x)cos(-x)=­sin2xcosx

••・)=启)是奇函数.

(2)，•,对任意—iWsinxWl,

l+sinx^0,1—sinx^O,

•，•fix)=71+sinx+y1—sinx的定义域是R.

又VX—x)="\/]+sin(—x)—sin(—x),

=yj1—sinx+yj1+sinx=J(x),

；・y=/(x)是偶函数.

(3)Vesinx-e-sin^0,,sinxWO,

.二尤£R且xWku,%£Z.

・,•定义域关于原点对称.

__-

esin(x)_|_esin(x)

又,•7(一尤)=gSin(-x)_sin(-x)

sinx_|_gSinx

一sinx_gSinx

=-7（x），

•力二五%）是奇函数.

12.已知危）是以兀为周期的偶函数，且