人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册教学设计2：§8 3　列联表与独立性检验教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§8.3列联表与独立性检验教学目标1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．教学知识梳理知识点一分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．知识点二2×2列联表1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．知识点三独立性检验1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验．2．χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.3．独立性检验解决实际问题的主要环节(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．(3)根据检验规则得出推断结论．(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．思考独立性检验与反证法的思想类似，那么独立性检验是反证法吗？〖答案〗不是．因为反证法不会出错，而独立性检验依据的是小概率事件几乎不发生．教学案例案例一等高堆积条形图的应用例1.某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．解：作列联表如下：性格内向性格外向总计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475总计4265941020相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．反思感悟等高堆积条形图的优劣点(1)优点：较直观地展示了eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)的差异性．(2)劣点：不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率．跟踪训练1.研究人员选取170名青年男女大学生，对他们进行一种心理测验．发现60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有18名，否定的有42名.110名男生在相同的题目上作肯定的有22名，否定的有88名．试判断性别与态度之间是否有关系．解：根据题目所给数据建立如下列联表：肯定否定总计女生184260男生2288110总计40130170相应的等高条形图如图所示．比较来看，女生中肯定的人数比要高于男生中肯定的人数比，因此可以在某种程度上认为性别与态度之间有关．案例二由χ2进行独立性检验命题角度1有关“相关的检验”例2.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为eq\f(70,500)×100%＝14%(2)χ2＝eq\f(500×(40×270－30×160)2,200×300×70×430)≈9.967.因为9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．反思感悟用χ2进行“相关的检验”步骤(1)零假设：即先假设两变量间没关系．(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα.(4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论．跟踪训练2.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：〖50,60)，〖60,70)，〖70,80)，〖80,90)，〖90,100〗分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)．从中随机抽取2名工人，记至少抽到一名25周岁以下组工人的事件为A，故P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)，故所求概率为eq\f(7,10).(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))＝eq\f(100×(15×25－15×45)2,60×40×30×70)＝eq\f(25,14)≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．命题角度2有关“无关的检验”例3.对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病未发作心脏病合计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68324392试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别.解：根据列联表中的数据，得到K2==1.78.因为1.78＜3.841,所以我们没有理由说“心脏搭桥手术”与“又发作过心脏病”有关，可以认为病人又发作心脏病与否与其做过何种手术无关.反思感悟独立性检验解决实际问题的主要环节(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．(3)根据检验规则得出推断结论．(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．跟踪训练3.为了研究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高一在校生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？解：问题是判断学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关．列出2×2列联表如下：理文总计有兴趣13873211无兴趣9852150总计236125361由公式得K2的观测值k＝eq\f(361×（138×52－73×98）2,236×125×211×150)≈1.871×10－4.因为1.871×10－4<2.706，故可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．课堂小结1．知识清单：(1)分类变量．(2)2×2列联表．(3)等高堆积条形图．(4)独立性检验，χ2公式．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题．当堂检测1.下面是一个2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0a2173X＝182533合计b46则表中a，b处的值分别为()A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,52〖答案〗C〖解析〗∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：性别作业量合计大不大男生18927女生81523合计262450则推断“学生的性别与认为作业量大有关”这种推断犯错误的概率不超过()A．0.01 B．0.005C．0.05 D．0.001〖答案〗C〖解析〗由公式得χ2＝eq\f(50×(18×15－8×9)2,26×24×27×23)≈5.059>3.841＝x0.05.∴犯错误的概率不超过0.05.3．(多选)若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是()A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟和患肺癌有关系B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有〖答案〗AD〖解析〗独立性检验的结论是一个统计量，统计的结果只是说明事件发生的可能性的大小，具体到一个个体，则不一定发生．4．某销售部门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系，对本部门200名销售人员进行调查，所得数据如下表所示：能按时完成销售任务不能按时完成销售任务合计具有相关大学学历574299不具有相关大学学历3665101合计93107200根据上述数据能得出结论：有________以上的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”．〖答案〗99%〖解析〗由公式χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，得χ2＝eq\f(200×(57×65－42×36)2,99×101×93×107)≈9.67.因为9.67>6.635＝x0.01，所以有99%以上的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”．5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据．总成绩好总成绩不好总计数学成绩好478a490数学成绩不好39924423总计bc913(1)计算a